江苏省淮阴师院附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试题

淮阴师院附属中学2015～2016学年度第二学期期中考试
高二年级数学试卷（3班用）
命题人：徐建敏 审核人：王大贵 分值：160分 考试时间：120分钟
一、填空题（14×5分＝70分）
1．抛物线的准线方程是_____________.
2．若双曲线的离心率e＝2，则m＝_____________.
3．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有_____________种不同选法.
4．底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为_____________.
5．已知直线与曲线相切，则a＝_____________.
6．若的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝_______________.
7．观察下列等式：
；；；；；；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为_______________.
8．已知函数，则__________.
9．以点（2，－2）为圆心并且与圆相外切的圆的方程是________.
10．直线（t为参数）的斜率为____________.
11．若从1、2、3、…、9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有____________种.
12．设α、β、γ为三个不同的平面，m是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥γ，
β⊥γ，则α⊥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.
其中为真命题的是______________.（填序号）
13．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是__________.
14．若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________.
二、解答题（14分＋14分＋15分＋15分＋16分＋16分）
15．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点.
（1）求异面直线DC1、B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.
16．已知矩阵，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点.
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.
17．已知，.
（1）当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论.
18．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A、B、C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的.
（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；
（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
19．如图，已知椭圆（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
（1）若∠F1AB＝90°求椭圆的离心率；
（2）若，，求椭圆的方程.
20．已知函数在点（1，f(1)）处的切线为y＝1.
（1）求a，b的值；
（2）问是否存在实数m，使得当x∈（0，1]时，的最小值为0？若存在求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
高二年级数学期中试卷答案（理科）
一、填空题（14×5分＝70分）
1． 2．48 3．120 4． 5．－1 6．2
7． 8．e 9．
10． 11．66 12．①④ 13． 14．
二、解答题（14分＋14分＋15分＋15分＋16分＋16分）
15．解（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系C-xyz （2分）
则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，D(2，0，1).（4分）
所以，， （6分）
所以.即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为. （8分）
（2）因为，，，所以，，所以为平面ACC1A1的一个法向量。 （10分）
因为，，设平面B1DC1的一个法向量为n，n(x,y,z).
由 得令x＝1，则y＝2，z＝－2，n＝(1,2, －2). （12分）
所以
所以二面角B1―DC―C1的余弦值为 （14分）
16．解：（1）由
得
（2）由（1）知，则矩阵M的特征多项式为
令，得矩阵M的特征值为－1与4.
当时，
∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为；当时， ∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.
17．解：（1）当n＝1时，f(1)＞g(1)；
当n＝2时，f(2)＞g(2)；
当n＝3时，f(3)＞g(3).
（2）猜想：，即
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，，，
②假设当n＝k时，猜想成立，即
则当时，
而
下面转化为证明：
只要证：
需证：，
即证：，此式显然成立.
所以，当n＝k＋1时猜想也成立.
综上可知：对n∈N*，猜想都成立，
即成立.
18．解：（1）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为
（2）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B，那么，所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是
（3）解法1：随机变量ξ可能取的值为0、1、2、3、4. 那么，
，，
；
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
解法2：依题意，
所以ξ的分布列为，k＝0、1、2、3、4.即
ξ 0 1 2 3 4
P
所以
19．解（1）若，则△AOF2为等腰直角三角形，所以OA＝OF2，即b＝c.
所以，
（2）由题知A（0，b），F1(－c，0)，F2（c，0），其中，，设B(x，y).
由，得，解得，，即.
将B点坐标代入，得，即，解得.①
又由，得，即有②
由①②解得，，从而有 所以椭圆方程为
20．解：（1）因为，其定义域为（0，＋∞），所以
依题意可得解得a＝1，b＝2.
（2），
所以
①当m≤0时，，则g(x)在（0，1]上单调递减，所以
②当0＜m≤2时，，则g(x)在（0，1]上单调递减，
所以
③当m＞2时，则时，时，
所以g(x)在（0，）上单调递减，在（，1]上单调递增，
故当时，g(x)取最小值为g().
因为g()＜g(1)＝0，所以
综上所述，存在m满足题意，其取值范围为（－∞，2].