江苏省淮阴师院附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）试题

淮阴师院附属中学2015～2016学年度第二学期期中考试
高二年级数学试卷（1班用）
命题人：王大贵 审核人：徐建敏 分值：160分 时间：120分钟
一、填空题（14×5分＝70分）
1．集合，集合，则＝_____.
2．若集合为偶函数，则f(x)的单调减区间为____________.
3．已知复数，，若，则实数a的取值范围__________.
4．已知，，，……可以归纳出：_______.
5．函数的值域为_____________.
6．曲线在点（0，1）处的切线与x轴交点的坐标__________.
7．若关于x的不等式在实数集上恒成立，则实数a的取值范围__________.
8．圆上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a的取值范围_____________.
9．，若，则实数a的取值范围_________.
10．设椭圆的两个焦点F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰Rt△，则椭圆的离心率_____________.
11．已知，，方程在[0，1]内只有一个根，则在区间[0，2016]内根的个数____________.
12．已知函数f(x)的导函数，x∈(－1,1)，f(0)＝0，若，则实数x的取值范围___________.
13．如图，在长方体ABCD—A1B1C ( http: / / www.21cnjy.com )1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，则三棱锥B1—ABD1的体积___________cm3.
14．已知函数，x∈R，若方程恰有4个互异实数根，则实数a的取值范围______________.
二、解答题（14分＋14分＋15分＋15分＋16分＋16分）
15．求函数在[－1，3]上最值.
16．如图：已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点.
（1）求证：MN∥面PAB；
（2）若平面PMC⊥面PAD，求证：CM⊥AD.
17．已知两圆，的圆心分别为c1，c2，，P为一个动点，且.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，
使得C1C＝C1D 若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
18．如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m，在施工过程中发现O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上（点P，Q分别在点O的正东、正北方向），且要求PQ与圆A相切.
（1）当点P距O处2百米时，求OQ的长；
（2）当公路PQ的长最短时，求OQ的长.
19．设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F（－2，0）左准线方程为l1，且l1与 x轴的交点坐标N（－3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.
（1）求直线l和椭圆方程；
（2）求证：点F在以AB为直径的圆上.
20．已知函数在点（1，f(1)）处的切线为y＝1.
（1）求a，b的值；
（2）问是否存在实数m，使得当x∈（0，1]时，的最小值为0？若存在求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
高二年级数学试卷答案
一、填空题
1． 2．（－∞，0] 3．（－1，1）
4． 5．
6．（） 7．（0，8） 8．（）
9．a＞1或－1＜a＜0 10． 11．2016 12．（1，）
13．1 14．
二、解答题
15．解： ∴x＝0或x＝2
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3
＋ － ＋
f(x) 大 小 大
∴ ∴
∴
16.（1）取PB的中点E，连接EA，EN，
在△PBC中，EN//BC且，
又，AD//BC，AD＝BC （3分）
所以EN//AM，，EN＝AM.
所以四边形ENMA是平行四边形， （5分）
所以MN//AE. 又，，
所以MN//平面PAB. （7分）
（2）过点A作PM的垂线，垂足为H，
因为平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，
所以AH⊥平面PMC，又
所以AH⊥CM. （10分）
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CM. （12分）
因为PA∩AH＝A，
所以CM⊥平面PAD.
又所以CM⊥AD. （14分）
17．（1）两圆的圆心坐标分别为C1（1，0），C2(－1，0).
因为，
所以根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心、C1C2为焦点、长轴长为的椭圆，且，c＝1，
所以椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，此时直线l不存在.
故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为
由得 ①
依题意，有，解得
当时，设交点C(x1，y1)，D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），则，所以.
要使C1C＝C1D必须C1N⊥l，即，所以，
即－1＝0，矛盾.
所以不存在直线l，使得C1C＝C1D.
综上所述，不存在满足题意的直线l，使得C1C＝C1D.
18．规范解答 如图，以O为原点、直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
设P（p, 0），Q（0, q）且PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为
（1）由题意可设直线PQ的方程为，
即
因为PQ与圆A相切，
所以，解得， （3分）
故当点P与O处2百米时，OQ的长为百米. （5分）
（2）设直线PQ的方程为，
即.
因为PQ与圆A相切，
所以，化简得
在Pt△POQ中，. （8分）
令
则 （10分）
当时，，即f(q)在（上单调递减；
当时，，即f(q)在上单调递增.
所以f(q)在时取得最小值，
故当公路PQ的长最短时，OQ的长为百米. （13分）
答：（1）当点P距O处2百米时，OQ的长为百米；（2）当公路PQ的长最短时，OQ的长为百米. （16分）
19．解（1）：，即，椭圆方程
（2）将直线l方程代入椭圆方程化简，得
解得，当时，；
当时，
令.
，则，
，，则FA⊥FB，所以F在以AB为直径的圆上.
20．解：（1）因为，其定义域为（0，＋∞），所以
依题意可得解得a＝1，b＝2.
（2），
所以
①当m≤0时，，则g(x)在（0，1]上单调递减，所以
②当0＜m≤2时，，则g(x)在（0，1]上单调递减，
所以
③当m＞2时，则时，时，
所以g(x)在（0，）上单调递减，在（，1]上单调递增，
故当时，g(x)取最小值为g().
因为g()＜g(1)＝0，所以
综上所述，存在m满足题意，其取值范围为（－∞，2].