江苏省淮阴师院附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题（普通班）

淮阴师院附属中学2015～2016学年度第二学期期中考试
高二年级数学试卷（4班用）
命题人：汪洪洋 审核人：解金雷 分值：160分 考试时间：120分钟
一、填空题（5×14=70分）
1．命题的否定是____________________________________.
2． 已知集合A＝{－3，－1，1，2}，集合B＝[0，＋∞)，则A∩B＝________．
3．设，其中是虚数单位，则 ．
4．已知函数，则曲线在处的切线斜率为______________.
5．已知随机变量的分布列如下：
1 2 3 4
P m
则m=_____________.
6．圆内接矩形中正方形的周长最大，类比到空间中的结论为球的内接长方体中___________
的表面积最大.
7．函数的值域为______________.
8．已知函数，若在时取得极值，则.
9．不等式的_______________条件.
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
10．设,已知.
11． 如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．
12．在的展开式中，的系数是____________.
13．用数学归纳法证明“”时，第一步，左边为
_____________________.
14．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第100项是_______________.
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(14分)已知向量.
(1)求的值；
(2)求的值．
16．（14分）已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋，
(1)求函数f(x)的单调区间、极值；
（2）在区间[－3,3]上的最大值与最小值．
17．（15分）甲、乙两人参加一次考试， ( http: / / www.21cnjy.com )已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格.
（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.
18．（15分）已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并给出证明.
19．上海与周边城市的城际列车大大缓解了交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数t是每次拖挂车厢个数n的一次函数，每节车厢一次能载客110人.
（1）、试求t与n的函数关系式；
（2）、试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)．
20．（16分）设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明.
参考答案
一、填空题：（5*14=70）
1、，2、，3、-12, 4、-16， 5、， 6、正方体
7、， 8、5， 9、充分不必要， 10、，11、480， 12、1890
13、，14、14
二、解答题：（14+14+15+15+16+16）
15、解：（1），即
又，.
(2) .
16、解: ∵f(x)＝x3＋x2－2x＋，
∴f′(x)＝x2＋x－2.
令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1.
(1)列表：
-2 （-2,1） 1
+ 0 - 0 +
↗ 6 ↘ ↗
由表可知
（2）列表：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,1) 1 (1,3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 6 ↘ ↗
由上表知，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)max＝，当x＝1时，f(x)min＝.
17、解析 （1）设甲、乙考试合格分别为事件A、B，甲考试合格的概率为P（A）=，
乙考试合格的概率为P（B）=.
（2）A与B相互独立，且P（A）=，P（B）=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为
P（AB++A）=×+×+×=.
18、解：（1）由函数是奇函数可得
（2）由（1）知
证明：
（也可以用单调性定义证明）
19、解　（1）设t＝kn＋b.
由解得
∴t＝－2n＋24.
（2）设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y，
则y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2 640n)，
当n＝＝6时，总人数最多为15 840人．
答　每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．
20、【解题指南】(1)令x，y均为0可得f(0)；
(2)利用递推条件可得f(2)，f(3)，f(4)；
(3)证明时要利用n＝k时的假设及已知条件进行等式转化.
【解析】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4.
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9.
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.
(3)由(2)可猜想f(n)＝n2，
用数学归纳法证明：
(i)当n＝1时，f(1)＝12＝1显然成立.
(ii)假设当n＝k时，命题成立，即f(k)＝k2，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1
＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，
故当n＝k＋1时命题也成立，
由(i)，(ii)可得，对一切n∈N*都有f(n)＝n2成立.