第十六章 二次根式 能力提优测试卷（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十六章　二次根式
能力提优测试卷
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.若x=2能使下列某个二次根式有意义,则这个二次根式可以是 (　　)
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是 (　　)
A.3-=3 B.+= C.×=7 D.÷=2
3.已知a=,b=,用含a,b的代数式表示,这个代数式是 (　　)
A.a+b B.2a C.2b D.ab
4.若是整数,则正整数n的最小值为 (　　)
A.4 B.6 C.12 D.24
5.计算+()2的值为 (　　)
A.0 B.2a-4
C.4-2a D.2a-4或4-2a
6.在数学课上,老师将一长方形纸片的长增加2 cm,宽增加7 cm,就成为一个面积为192 cm2的正方形,则原长方形纸片的面积为 (　　)
A.18 cm2 B.20 cm2 C.36 cm2 D.48 cm2
7.我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即若一个三角形的三边分别为a,b,c,S为面积,则该三角形的面积公式为S=.已知△ABC的三边a,b,c分别是3,,,则△ABC的面积是 (　　)
A. B. C.2 D.3
8.设a1=1++,a2=1++,a3=1++,…,an=1++,其中n为正整数,则+++…+的值是 (　　)
A.2023 B.2023 C.2024 D.2024
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.计算5÷×的结果是　　　　.
10.方程x=-1的解是　　　　.
11.当112.若x=,y=,则x4-y4的值是　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共52分)
13.(10分)计算:(1)(2-1)2+(+2)(-2);
(2)(-2)×-6.
14.(8分)已知x=-,y=+,求x2+3xy+y2的值.
15.(10分)著名数学家斐波那契曾研究一列数,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列),这个数列的第n个数为[()n-()n](n为正整数),例如这个数列的第8个数可以表示为[()8-()8].根据以上材料,写出并计算:
(1)这个数列的第1个数;
(2)这个数列的第2个数.
16.(10分)如图,有一张边长为6 cm的正方形纸板,现将该纸板的四个角剪掉,制作一个有底无盖的长方体盒子,剪掉的四个角是面积相等的小正方形,此小正方形的边长为 cm.
(1)剪掉四个角后,求制作长方体盒子的纸板的面积;
(2)求长方体盒子的体积.
17.(14分)阅读材料:小明在学习了二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2,善于思考的小明进行了以下探索:
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn,∴a=m2+2n2,b=2mn.
这样小明就找到了一种把形如a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=　　　　,b=　　　　;
(2)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值;
(3)化简:.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C C D B C A A B
1.C　【解析】当x=2时,x-3=2-3=-1<0,无意义;1-x=1-2=-1<0,无意义;-2x=-2×2=-4<0,无意义.
2.C　【解析】3-=2;与不能合并;÷=.
3.D　【解析】∵×=,∴=×=ab.
4.B　【解析】∵==2,而是整数,n为正数,∴正整数n的最小值为6.
5.C　【解析】要使有意义,必须2-a≥0,解得a≤2,则原式=2-a+2-a=4-2a.
6.A　【解析】∵一个面积为192 cm2的正方形纸片,边长为8 cm,∴原长方形的长为8-2=6(cm),宽为8-7=(cm),∴原长方形纸片的面积为6×=18(cm2).
7.A　【解析】∵△ABC的三边分别是3,和,∴△ABC的面积是
S=
=
==.
8.B　【解析】∵n为正整数,
∴=
=
=
==
=1+,
∴+++…+=(1+)+(1+)+(1+)+…+(1+)=2023+1-+-+-+…+-=2023+1-=2023.
二、填空题
9 10 11 12
1 x=1 -2a+3 8
9.1　【解析】原式=×=1.
10.x=1　【解析】x=-1,x=(-1)÷==1.
11.-2a+3　【解析】∵112.8　【解析】由题意,得x2+y2=2++2-=4,x2-y2=2+-(2-)=2,x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)=8.
三、解答题
13.解:(1)原式=12-4+1+3-4
=12-4; (5分)
(2)原式=-2-3
=3-6-3
=-6. (10分)
14.解:∵x=-,y=+,
∴x2+3xy+y2=(x+y)2+xy (3分)
=(-++)2+(-)(+)
=24+6-2
=28. (8分)
15.解:(1)第1个数:当n=1时,
(-)=×=1. (5分)
(2)第2个数:当n=2时,
[()2-()2]
=(+)(-)=×1×=1. (10分)
16.解:(1)制作长方体盒子的纸板的面积为(6)2-4×()2
=108-12
=96(cm2); (5分)
(2)长方体盒子的体积:(6-2)(6-2)×
=4×4×
=48(cm3). (10分)
17.解:(1)m2+6n2　2mn (2分)
提示:∵(m+n)2=m2+6n2+2mn,a+b=(m+n)2,
∴a=m2+6n2,b=2mn.
(2)∵(m+n)2=m2+3n2+2mn,a+4=(m+n)2,
∴a=m2+3n2,mn=2,
∵m,n均为正整数,
∴m=1,n=2或m=2,n=1,
∴a=13或7. (7分)
(3)===2+1,
则====-1. (14分)