专项训练闯关卷(一)　二次根式的化简求值及勾股定理的应用 （含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册

专项训练卷(一)　二次根式的
化简求值及勾股定理的应用
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知x=-5,则代数式(x+4)2的值为 (　　)
A.3-2 B.2+2 C.1- D.3+2
2.如图所示,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面圆的直径是9 cm,内壁高是12 cm,则这只铅笔的长度可能是 (　　)
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
3.已知+=0,则+的值为 (　　)
A.1 B. C. D.
4.如图所示,将一根长为8 cm(AB=8 cm)的橡皮筋水平放置在桌面上,固定两端A和B,然后从中点C竖直向上拉升3 cm至点D,则拉长后橡皮筋的长度为 (　　)
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm
5.已知m=1+,n=1-,则代数式的值为 (　　)
A.9 B.±3 C.3　 D.5
6.如图所示,小明准备测量一段水渠的深度,他把一根竹竿AB竖直插到水底,此时竹竿AB离岸边C处的距离CD=1.5米,竹竿高出水面的部分AD长0.5米,若把竹竿的顶端A拉向岸边C处,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则水渠的深度BD的长为 (　　)
A.2米 B.2.5米 C.2.25米 D.3米
7.如图,这是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位: mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 (　　)
A.90 mm B.100 mm C.120 mm D.150 mm
8.已知m2-2m=6,则-3m+2021的值为 (　　)
A.2027 B.2028 C.2029 D.2030
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.若a=3-,则代数式a2-6a-9的值是　　　　.
10.如图所示,一扇卷闸门用一块底面宽为18 cm、长为80 cm的长方形木板(厚度不计)撑住,用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　　　　cm.
11.已知=4,因此将的分子、分母同时乘+3,分母就变成了4,即==,从而可以达到对根式化简的目的.根据上述阅读材料解决问题:若m=,则代数式m5+2m4-2021m3+2050的值是　　　　.
12.如图①所示,某温室屋顶结构外框为△ABC.立柱AD垂直平分横梁BC,∠B=30°,斜梁AC=4 m,为增大向阳面的面积,将立柱AD增高并改变位置后变为EF,使屋顶结构外框由△ABC变为△EBC(点E在BA的延长线上),且立柱EF⊥BC,如图②所示,若EF=3 m,则阴面斜梁EC的长为　　　　m.
三、解答题(本大题共5小题,共52分)
13.(8分)如图所示,在离水面高度为5米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13米,此人以0.5米/秒的速度收绳,6秒后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了大约多少米 (假设绳子是直的,结果精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732)
14.(8分)已知x=+1,求代数式(3-2)x2+(-1)x-2的值.
15.(10分)如图所示,一辆小汽车在一条城市街道上直线行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方120米的C处,过了8秒后,测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米,如果按照该市道路交通管理条例规定,小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h,那么请问这辆小汽车超速了吗 请说明理由.(参考数据:1 m/s=3.6 km/h)
16.(12分)观察、思考、解答:(-1)2=()2-2×1×+12=3-2,反之3-2=2-2+1=(-1)2,∴=-1.
(1)化简:.
(2)若=+,则m,n与a,b的关系是什么 并说明理由.
(3)已知x=,求(+)·的值.(结果保留根号)
17.(14分)阅读下面的情景对话,然后解答下列问题:
老师说:“我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作‘奇异三角形’.”
小强说:“等边三角形一定是‘奇异三角形’!”
小明说:“直角三角形是否存在‘奇异三角形’呢 ”
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小强的说法:等边三角形一定是“奇异三角形”,这句话是否正确 若正确,请说明理由;若不正确,请说明理由.
(2)在Rt△ABC中,两边长分别是a=10, c=10,这个三角形是不是“奇异三角形” 请说明理由.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是“奇异三角形”,求的值.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C B C A B D
二、填空题
9 10 11 12
2004 82 2050 2
11.2050　【解析】∵m==-1,∴m+1=,∴m2+2m+1=2022,∴ m2+2m-2021=0,∴m5+2m4-2021m3+2050=m3(m2+2m-2021)+2050=0+2050=2050.
12.2　【解析】∵立柱AD垂直平分横梁BC,∴AB=AC=4 m,∵∠B=30°,∴BE=2EF=6 m,AD=AB=2 m,在Rt△ABD中,BD==2(m),则BC=2BD=4 m,在Rt△BFE中,BF==3(m),因此CF=BC-BF=(m);在Rt△EFC中,EC==2(m).
三、解答题
13.解:在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=13米,AC=5米,∴AB==12(米),
∵此人以0.5米/秒的速度收绳,6秒后船移动到点D的位置,
∴CD=13-0.5×6=10(米),∴AD==5(米),∴BD=AB-AD=12-5≈3.3(米).
答:船向岸边移动了大约3.3米.
(8分)
14.解:∵ x=+1,∴x2=2+2+1=3+2,
∴原式=(3-2)(3+2)+(-1)(+1)-2=9-8+2-1-2=0. (8分)
15.解:超速了. (2分)
理由如下:根据题意得,AC=120米,AB=200米,在Rt△ABC中,根据勾股定理得BC2=AB2-AC2=2002-1202=25600,∴BC=160米, (5分)
160÷8=20 m/s=20×3.6=72 km/h,∵72>70,∴这辆小汽车超速了. (10分)
16.解:(1)===-1. (3分)
(2)a=m+n,b=mn.
理由:∵=+,∴a+2=m+2+n,∴a=m+n,b= mn. (6分)
(3) 原式=.
将x=-1代入,得=-1-. (12分)
17.解:(1)正确.
理由:因为等边三角形的三边相等,所以任意两边平方和等于第三边平方的2倍. (3分)
(2)①当a为斜边时,b2=a2-c2=100,∴c=b=10,∴b2+c2=200,2a2=400,∴b2+c2≠2a2,同理:a2+b2≠2c2.∴Rt△ABC不是“奇异三角形”. (5分)
②当b为斜边时,b2=c2+a2=300,∵b2+c2=400,2a2=400,∴b2+c2=2a2,
∴Rt△ABC是“奇异三角形”. (8分)
(3)在Rt△ABC中,∵c>b>a>0,∴2c2>a2+b2,2a2∵Rt△ABC是“奇异三角形”,∴a2+c2=2b2, ∴2b2=a2+(a2+b2),
∴b2=2a2,∴2b2=4a2,又∵c2=a2+c2=3a2,∴3c2=9a2,
∴==. (14分)