第六章 平行四边形 能力提优卷（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第六章 平行四边形
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.在四边形ABCD中,AD∥BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还需要满足 (　　)
A.∠A+∠B=180° B.∠A+∠C=180°
C.∠B+∠D=180° D.∠B+∠C=180°
2.若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的边数是 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,AB的中点,点F是BC的延长线上一点,∠A=35°,∠AED=30°,则∠ACF的度数为 (　　)
A.85° B.80° C.75° D.65°
4.在 ABCD中,∠A=3∠B,则∠B的度数是 (　　)
A.60° B.45° C.36° D.30°
5.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的周长为14,则BC的长是 (　　)
A.12 B.9 C.8 D.6
6.如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,AC⊥BC,且AB=5,AD=3,则OA的长是 (　　)
A.2 B. C.2 D.4
7.如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,过点O且与AC垂直的线段OE交边AD于点E,若△CDE的周长为11 cm,则 ABCD的周长为 (　　)
A.20 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm
8.如图,△ABC的面积为20 cm2,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC=4CF,四边形DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.8 cm2 B.7 cm2 C.6 cm2 D.5 cm2
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若不添加任何辅助线,添加一个条件　　　　　　　　　,则四边形ABCD是平行四边形.(只需填一个即可)
10.正十一边形的内角和为　　　　.
11.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=4 cm,BD=10 cm,AC=6 cm,则 ABCD的面积为　　　cm2.
如图,在 ABCD中,已知AD=15 cm,点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以4 cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点Q也停止.设运动时间为t(t>0)(单位:s),若以P,D,Q,B四点为顶点的四边形是平行四边形,则t的值可以是　　　　.
三、解答题(本大题6小题,共52分)
13.(6分)一个多边形的内角和是它的外角和的4倍,求这个多边形的边数.
14.(8分)如图,在 ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.
求证:(1)AM=CN;(2)DM∥BN.
15.(8分)如图,在 ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE.
(1)求证:△ABC≌△EAD.
(2)若∠B=65°,∠EAC=25°,求∠AED的度数.
16.(8分)如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD.
(2)连接BF,若BF⊥AE,求证:C是BE的中点.
17.(10分)如图1,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF,分别交BC,AD于点E,F.
(1)求证:OF=OE.
(2)小明从图1中找到了一种将平行四边形面积平分的方法.图2是一块纸片,其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形,小明发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分,请你帮助小明设计三种不同的分割方案.
(3)如图3,兄弟俩共同承包了一块平行四边形的土地,现要进行平均划分,在这块地里有一口水井P,为了都能方便使用这口水井,兄弟俩在划分时犯难了,聪明的你能帮他们解决这个问题吗
18.(12分)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3,BC=5,点P从点A出发,沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,连接PO并延长交BC于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)求BQ的长;(用含t的代数式表示)
(2)当四边形ABQP是平行四边形时,求t的值;
(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时,求t的值.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D B D A B D
1.D　【解析】在四边形ABCD中,∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
2.C　【解析】 设所求正多边形边数为n,则60°·n=360°,解得n=6.
3.D　【解析】∵D,E分别是AC,AB的中点,∴DE为△ACB的中位线,∴DE∥BC,∴∠B=∠AED=30°,∴∠ACF=∠A+∠B=35°+30°=65°.
4.B　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠B=180°,∵∠A=3∠B,∴4∠B=180°,∴∠B=45°.
5.D　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,∵AC+BD=16,∴OC+OB=8,∵△BCO的周长为14,∴OC+OB+BC=14,∴BC=6.
6.A　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=3,OA=OC,∵AC⊥BC,∴AC===4,∴OA=AC=2.
7.B　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB=CD,AD=BC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,∵△CDE的周长为11 cm,∴△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+AE+DE=AD+CD=11 cm,∴ ABCD的周长为2(AD+CD)=2×11=22(cm).
解题思路　由平行四边形ABCD的对角线相交于点O,OE⊥AC,根据线段垂直平分线的性质,可得AE=CE,继而可得△CDE的周长等于AD+CD,从而可解.
【拓展设问】如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BD交AD于点E,连接BE,∠DBC=20°,则∠EBD=　　　　.
【答案】20°　因为四边形ABCD是平行四边形,所以OB=OD,AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC=20°.又因为OE⊥BD,所以OE是线段BD的垂直平分线,所以BE=DE.所以∠EBD=∠ADB=20°.
要点归纳　此类问题考查了平行四边形的性质,关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析.
8.D　【解析】如图,连接AF,EC.∵BC=4CF,S△ABC=20 cm2,∴S△ACF=×20=5(cm2),∵四边形CDEF是平行四边形,∴DE∥CF,EF∥AC,∴S△DEB=S△DEC,∴S阴影=S△ADE+S△DEC=S△AEC,∵EF∥AC,∴S△AEC=S△ACF=5,∴S阴影=5 cm2.
二、填空题
9.AD∥BC
10.1 620°　【解析】(11-2)×180°=1 620°.
11.24　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=6 cm,BD=10 cm,AB=4 cm,∴OA=OC=AC=3 cm,OB=OD=BD=5 cm,∴OA2+AB2=OB2,∴△OAB是直角三角形,且∠BAO=90°,∴ ABCD的面积=AB·AC=4×6=24(cm2).
12.6 s或10 s或12 s　【解析】设经过t秒,以点P,D,Q,B为顶点组成平行四边形,∵P在AD上运动,∴t≤=15,即t≤15,∵以点P,D,Q,B为顶点组成平行四边形,∴DP=BQ,分为以下情况:①点Q的运动路线是C-B-C,则4t-15=15-t,解得t=6 s;②点Q的运动路线是C-B-C-B,则15-(4t-30)=15-t,解得t=10 s;③点Q的运动路线是C-B-C-B-C,则4t-45=15-t,解得t=12 s.
三、解答题
13.解:设这个多边形的边数为n.
依题意,得(n-2) ×180=4×360, 解得n=10.
答:这个多边形的边数是10. (6分)
14.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=∠BCD,AD∥CB,
∴∠EAM=∠NCF
∴△AEM≌△CFN(ASA),
∴AM=CN; (4分)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴MB∥DN,AB=CD,
又∵AM=CN,∴BM=DN,
∴四边形BMDN是平行四边形,
∴DM∥BN. (8分)
解题思路　(1)根据平行四边形的性质和ASA证明△AEM≌△CFN,进而利用全等三角形的性质解答即可;(2)根据平行四边形的性质和判定证明四边形BMDN是平行四边形,进而解答即可.
【拓展设问】如图,在 ABCD中,延长AB到点E,延长CD到点F,使得BE=DF,连接EF,分别交BC,AD于点M,N,连接AM,CN.
(1)求证:△BEM≌△DFN.
(2)求证:四边形AMCN是平行四边形.
【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,AB∥CD,∴∠BAD=∠ADF,∠EBC=∠BCD,∠E=∠F,∴∠ADF=∠EBC,在△DFN和△BEM中,∵∠F=∠E,DF=BE,∠NDF=∠EBM,∴△DFN≌△BEM(ASA);(2)∵由(1)可知△DFN≌△BEM,∴DN=BM,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,且AD∥BC,∴AD-DN=BC-BM,∴AN=CM,AN∥CM,∴四边形ANCM是平行四边形.
15.解:(1)证明:在平行四边形ABCD中,∵AD∥BC,AD=BC,∴∠EAD=∠AEB,
∵AB=AE,∴∠B=∠AEB,∴∠B=∠EAD,
在△ABC和△EAD中,
∴△ABC≌△EAD(SAS). (4分)
(2)∵AB=EA,∴∠B=∠AEB=65°,
∴∠BAE=50°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+25°=75°,
∵△ABC≌△EAD,
∴∠AED=∠BAC=75°. (8分)
16.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BE,∴∠DAE=∠E,
∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠E,∴AB=BE,∴BE=CD. (4分)
(2)由(1)知AB=BE,∴△ABE是等腰三角形,
∵BF⊥AE,∴AF=EF,
在△ADF与△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(ASA),∴AD=CE,
由 ABCD知AD=BC,∴BC=CE,
∴C是BE的中点. (8分)
17.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AD∥BC,∴∠FAO=∠ECO,
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴OF=OE. (3分)
(2)如图2,3,4所示. (8分)
(3)如图,连接AC,BD相交于点O,过点O,P作直线分别交AD,BC于E,F,则一人分四边形ABFE,另一人分四边形CDEF. (10分)
18.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠PAO=∠QCO,
∵∠AOP=∠COQ,
∴△APO≌△CQO(ASA),
∴AP=CQ=t,
∵BC=5,∴BQ=5-t. (3分)
(2)∵AP∥BQ,∴当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,
即t=5-t,解得t=. (6分)
(3)如图,在Rt△ABC中,∵AB=3,BC=5,∴AC==4,∴AO=CO=AC=2,
∵S△ABC=AB·AC=BC·EF,∴AB·AC=BC·EF,
∴3×4=5×EF,∴EF=,∴OE=, (9分)
∵OE是AP的垂直平分线,
∴AE=AP=t,∠AEO=90°,
由勾股定理,得AE2+OE2=AO2,
∴t2+2=22,∴t=或-(舍),
∴当t=秒时,点O在线段AP的垂直平分线上. (12分)