第四章 因式分解 能力提优卷（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第四章 因式分解
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是 (　　)
A.a(x-y)=ax-ay
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3
D.x3-x=x(x+1)(x-1)
2.多项式x2-1与x2-2x+1的公因式是 (　　)
A.x+1 B.x-1 C.x2-1 D.(x-1)2
3.已知xy=3,x-y=-2,则代数式x2y-xy2的值是 (　　)
A.6 B.-5 C.-6 D.-1
4.已知9x2-mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式,则m的值为 (　　)
A.24 B.±24 C.12 D.±12
5.把多项式(a+b)(a+4b)-9ab分解因式正确的是 (　　)
A.(a-2b)2 B.(a+2b)2
C.a(a-3b)2 D.ab(a+3)(a-3)
6.下列各式:①x3+2xy+x=x(x2+2y);②x2+2xy+4y2=(x+2y)2;③-2x2+8y2=-(2x+4y)(x-2y).其中分解因式正确的个数为 (　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
7.已知a,b,c是△ABC的三边长,若a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,则△ABC为 (　　)
A.锐角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
8.若实数x满足x2-2x-1=0,则2x3-7x2+4x+2 023的值为 (　　)
A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.分解因式:16x4-1=　　　　　　　　　.
10.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x+1)(x-2),则b+c=　　　　.
11.已知长方形的周长为16 cm,两邻边长分别为x cm,y cm,且满足(x-y)2-2x+2y+1=0,则该长方形的面积为　　　 　cm2.
12.已知ab≠0,(a+b)(a-b)+b(a-b)=0,则的值为　　　　.
三、解答题(本大题6小题,共52分)
13.(6分)先因式分解,再求值:2-2,其中a=2,b=-.
14.(8分)某同学碰到这么一道题“分解因式a4+4”,不会做,去问老师,老师说:“能否变成平方差的形式 在原式加上4a2,再减去4a2,这样原式化为(a4+4a2+4)-4a2……”老师话还没讲完,此同学就恍然大悟,他马上就做好了此题.你会吗 请完成此题.
15.(8分)已知a+b=5,ab=6,求下列代数式的值.
(1)a3b+2a2b2+ab3;(2)(a-b)2.
16.(8分)利用因式分解证明98-314能被72整除.
17.(10分)基本事实:“若ab=0,则a=0或b=0.”如:方程x2-x-6=0可通过因式分解化为(x-3)(x+2)=0,由基本事实得x-3=0或x+2=0,即方程的解为x=3或x=-2.
(1)试利用上述基本事实解方程:4x3-x=0.
(2)若(x2+y2)(x2+y2-14)+49=0,求x2+y2的值.
18.(12分)阅读下面的用配方法分解因式的过程,并回答下列问题.
x2+10x+16=x2+2×5·x+52-52+16=(x+5)2-9=(x+8)(x+2).
(1)模仿:根据材料运用配方法分解因式:x2-12x-28.
(2)领悟:x2+2mx+　　　　=(x+　　　　)2.
(3)应用:已知a,b是一个等腰三角形的两边长,且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求这个等腰三角形的周长.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D B C B A D B A
1.D　【解析】A,B,C没有把一个多项式化为几个整式的积的形式,故不符合题意;D.把一个多项式化为几个整式的积的形式,故此选项符合题意.
2.B　【解析】 x2-1=(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,∴公因式是x-1.
3.C　【解析】x2y-xy2=xy(x-y)=3×(-2)=-6.
4.B　【解析】∵(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2,∴m=±24.
5.A　【解析】原式=a2+5ab+4b2-9ab=a2-4ab+4b2=(a-2b)2.
6.D　【解析】①左边为三项,右边乘开为两项,故错误;②右边(x+2y)2=x2+4xy+4y2≠左边,故错误;③公因数2未提出来,故错误.
7.B　【解析】∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,
∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,
即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,
∴a-b=0,a-c=0,b-c=0,∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形.
8.A　【解析】∵x2-2x-1=0,∴2x3-7x2+4x+2 023=2x(x2-2x-1)-3(x2-2x-1)+2 020=2x×0-3×0+2 020=2 020.
二、填空题
9.(2x-1)(2x+1)(4x2+1)　【解析】原式=(4x2-1)·(4x2+1)=(2x-1)(2x+1)(4x2+1).
解题思路　直接利用平方差公式分解因式得出答案.
易错警示　有同学易发生分解不彻底的错误:16x4-1=(4x2+1)(4x2-1).因式分解的结果,必须分解到每一个因式都不能再分解为止,本题中的因式4x2-1还能继续分解.
【拓展设问】因式分解:(m2+1)2-4m2.
【答案】原式=(m2+1+2m)(m2+1-2m)=(m+1)2 (m-1)2.
10.-6　【解析】由多项式2x2+bx+c分解因式为2(x+1)(x-2),得2x2+bx+c=2(x+1)(x-2)=2x2-2x-4,∴b=-2,c=-4,∴b+c=-6.
11.　【解析】∵长方形的周长为16 cm,∴2(x+y)=16,∴x+y=8①;∵(x-y)2-2x+2y+1=0,∴(x-y)2-2(x-y)+1=0,∴(x-y-1)2=0,∴x-y=1②.联立①②,得解得∴长方形的面积=xy=×=(cm2).
12.或　【解析】∵(a+b)(a-b)+b(a-b)=0,∴(a+2b)(a-b)=0,∴a=-2b或a=b.①当a=-2b时,原式===;②当a=b时,原式===.
三、解答题
13.解:原式=+-=·-=-ab. (3分)
当a=2,b=-时,
原式=-2×-=1. (6分)
14.解:根据题意,得a4+4=(a4+4a2+4)-4a2=(a2+2)2-(2a)2=(a2+2+2a)(a2+2-2a)=(a2+2a+2)(a2-2a+2). (8分)
15.解:(1)原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=6×52=150; (4分)
(2)原式=a2-2ab+b2=a2+2ab+b2-4ab=(a+b)2-4ab=52-4×6=1. (8分)
16.证明:原式=(32)8-314 (4分)
=316-314
=314·(32-1)　 (6分)
=314·8
=312·72.
所以98-314能被72整除. (8分)
17.解:(1)∵4x3-x=x(4x2-1)=x(2x+1)(2x-1)=0,
∴x=0或2x+1=0或2x-1=0,
解得x=0或x=-或x=. (5分)
(2)(x2+y2)(x2+y2-14)+49=(x2+y2)2-14(x2+y2)+49=(x2+y2-7)2=0,
∴x2+y2-7=0,∴x2+y2=7. (10分)
18.解:(1)原式=x2-2×6·x+62-62-28 =(x-6)2-82 =(x+2)(x-14). (3分)
(2)m2　m　 (6分)
(3)将原方程变形,得(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0,
∴(a-3)2+(b-4)2=0,
∴a-3=0,b-4=0,
∴a=3,b=4.
①若3为该等腰三角形的腰长,则周长为3+3+4=10;
②若4为该等腰三角形的腰长,则周长为4+4+3=11.
综上所述,这个等腰三角形的周长为10或11. (12分)
解题思路　(1)根据题目中用配方法分解因式的过程,先配方,再利用平方差公式分解因式即可;(2)直接进行配方即可得到答案;(3)利用配方法,得原式=(a2-6a+9)+(b2-8a+16)=(a-3)2+(b-4)2=0,利用非负数的性质结合等腰三角形的定义解题即可.
教你审题　这是引入活动情景型阅读理解题,命题者给考生提供解决问题所需的解题方法,让学生学以致用.
【拓展设问】阅读理解:用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3的方法.
(1)二次项系数2=1×2;
(2)常数项-3=-1×3=1×(-3),验算“交叉相乘之和”;
1×3+2×(-1)=1　1×(-1)+2×3=5　1×(-3)+2×1=-1　1×1+2×(-3)=-5
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果为1×(-3)+2×1=-1,等于一次项系数-1.即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3,则2x2-x-3=(x+1)(2x-3).
像这样,通过十字交叉线的帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法.仿照以上方法,分解因式:3x2+5x-12=　　　　.
【答案】(x+3)(3x-4)