第五章 分式与分式方程 能力提优卷（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.若分式的值等于0,则a的值为 (　　)
A.±1 B.0 C.-1 D.无解
2.下列分式中,是最简分式的是 (　　)
A. B. C. D.
3.如果分式中的x,y都扩大为原来的2倍,那么下列说法中,正确的是(　　)
A.分式的值不变
B.分式的值缩小为原来的
C.分式的值扩大为原来的2倍
D.分式的值扩大为原来的4倍
4.若□的运算结果为x(x≠0),则在“□”中添加的运算符号为 (　　)
A.+ B.- C.-或× D.+或÷
5.计算-÷的结果为 (　　)
A.0 B. C. D.
6.若x2+x-3=0,则-1÷的值为 (　　)
A. B.0 C.- D.3
7.若关于x的方程=+1无解,则a的值是 (　　)
A.1 B.3 C.-1或2 D.1或2
8.某书店在开学之初用760元购进工具书若干本,按每本20元出售,很快销售一空,据了解学生还急需2倍这种工具书,于是又用1 300元购进所需工具书,由于量大每本进价比上次优惠2元,该店仍按每本20元出售,最后剩下2本按七五折卖出,这笔生意该店共赢利 (　　)
A.1 220元 B.1 225元
C.1 230元 D.1 235元
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.计算-的结果为　　　　　.
10.已知分式的值为2,且y≠-1,则分式的值为　　　　.
11.某防护用品厂计划生产150 000个口罩,但是在实际生产时,每天比原计划多生产500个,结果提前10天完成,求实际每天生产口罩的个数.在这个题目中,若设实际每天生产口罩x个,则可列方程为　　　　　　　　.
12.若关于x的分式方程+=有增根,则实数a的值是　　　　.
三、解答题(本大题6小题,共52分)
13.(6分)解方程:(1)-=-2;(2)-=.
14.(8分)先化简,再求值:x+1-÷,其中x=2.
15.(8分)定义新运算:对于两个非零的实数a,b,规定a b=-.如:2 3=-=-.
(1)计算: .
(2)若2 (2x-1)=1,求x的值.
16.(8分)甲、乙两个班参加课外活动,准备了部分原材料,统计花费情况得到如下信息:信息一:甲班共用300元,乙班共用232元;信息二:乙班平均每人的花费是甲班平均每人的花费的;信息三:甲班比乙班多2人.请你根据以上三条信息,求出甲班平均每人的花费是多少元.
17.(10分)设M=÷m-.
(1)化简M.
(2)当m=3时,记此时M的值为f(3);当m=4时,记此时M的值为f(4);…,解关于x的方程:=f(4)+f(5)+f(6)+f(7).
18.(12分)张明和李强两名运动爱好者周末相约到东湖绿道进行跑步锻炼.
(1)周日早上6点,张明和李强同时从家出发,分别骑自行车和步行到离家距离分别为4.5千米和1.2千米的绿道落雁岛入口会合,结果同时到达,且张明每分钟比李强每分钟多行220米,求张明和李强的速度分别是多少米/分.
(2)两人到达绿道后约定先跑6千米再休息,李强的跑步速度是张明跑步速度的m倍,两人在同一起点,同时出发,结果李强先到目的地n分钟.
①当m=1.2,n=5时,求李强跑了多少分钟;
②求张明的跑步速度.(用含m,n的式子表示)
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C D B A D C
1.C　【解析】由题意,得a2-1=0,且a-1≠0,解得a=-1.
解题思路　分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
命题分析　本题主要考查了分式的值为0的条件,注意:“分母不为零”这个条件不能少.
易错警示　易忽视“分母不为零”而致错.
2.D　【解析】==-1,不是最简分式;=,不是最简分式;==,不是最简分式;不能化简,是最简分式.
3.C　【解析】把分式中的x,y都扩大为原来的2倍,则原式可变为==,故分式的值扩大为原来的2倍.
4.D　【解析】+==x,÷=·=x.
5.B　【解析】原式=+·(m-2)=+=.
6.A　【解析】原式=-÷=·=,∵x2+x-3=0,∴x2+x=3,∴原式=.
7.D　【解析】方程去分母得ax=2+x-1,整理得(a-1)x=1,当x=1时,分式方程无解,则a-1=1,解得a=2;当整式方程无解时,a=1.
8.C　【解析】设第一批购进该工具书x本,则第二批购进该工具书2x本,根据题意,得-=2,解得x=55,经检验,x=55是原方程的解,且符合题意,∴2x=110.∴20×(55+110-2)+20×0.75×2-760-1 300=1 230(元).
二、填空题
9.　【解析】原式=-==.
10.2　【解析】=2,得3x=2x+2y,即x=2y,∴原式==2.
11.-=10
12.4或8　【解析】方程两边同乘x(x-2),得3x-a+x=2(x-2).由题意得,分式方程的增根为0或2,当x=0时,-a=-4,解得a=4;当x=2时,6-a+2=0,解得a=8.
三、解答题
13.解:(1)去分母,得3+x=-2(x-2),
解得x=.
经检验,x=是分式方程的解. (3分)
(2)去分母,得2x(2x+3)-(2x-3)(2x+3)=10(2x-3),
去括号,得4x2+6x-4x2+9=20x-30,
移项、合并同类项得14x=39,解得x=.
经检验,x=是分式方程的解. (6分)
14.解:原式=-÷=·=-. (6分)
当x=2时,原式=-=3. (8分)
15.解:(1)原式=-=-=-=. (4分)
(2)根据题意,得-=1,即=,解得x=.
经检验,x=是原方程的解.
故x的值为. (8分)
16.解:设甲班平均每人的花费为x元,则乙班平均每人的花费为x元. (1分)
根据题意,得=+2,
解得x=5. (7分)
经检验,x=5是原方程的解,且符合题意.
答:甲班平均每人的花费为5元. (8分)
17.解:(1)M=÷
=·
=·
=. (5分)
(2)由题意,得=+++.
=-+-+-+-.
∴=,解得x=18. (9分)
经检验,x=18是原分式方程的解. (10分)
18.解:(1)设李强的速度为x米/分,则张明的速度为(x+220)米/分. (1分)
根据题意,得=,解得x=80,
经检验,x=80是原方程的根,且符合题意,
∴x+220=300.
答:李强的速度为80米/分,张明的速度为300米/分. (6分)
(2)①设李强跑了a分钟,则张明跑了(a+n)分钟.
根据题意,得=·m,解得a=,
∵m=1.2,n=5,∴a=5÷(1.2-1)=25(分钟).
故李强跑了25分钟; (9分)
②根据①可知,李强跑的时间为分钟,张明跑的时间为+n=(分钟),张明的跑步速度为6 000÷=(米/分). (12分)
解题思路　(1)设李强的速度为x米/分,则张明的速度为(x+220)米/分,根据等量关系张明和李强所用时间相同,列出方程求解即可;(2)①根据路程一定,时间与速度成反比,可求李强跑了多少分钟;②先根据路程一定,时间与速度成反比,可求李强跑了多少分钟,进一步得到张明跑了多少分钟,再根据速度=路程÷时间求解即可.
技巧点拨　利用分式方程解决行程问题时,要注意运用基本数量关系找出问题中的等量关系.如:时间=.
【拓展设问】刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩,根据他们的谈话内容,求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米.
【答案】解:设刘峰骑自行车每小时行x千米,则李明乘公交车每小时行3x千米,由题意得=+,解得x=20,经检验,x=20是原方程的解,且符合题意.
∴3x=60.
答:李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、20千米.