第一章 三角形的证明 能力提优卷（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,∠B=25°,则∠CAD的度数为(　　)
A.55°
B.65°
C.75°
D.85°
2.下列三角形中,不是等腰三角形的是 (　　)
3.如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校A附近选一点C,利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=2 km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB为 (　　)
A.2 km B.3 km C.2 km D.4 km
4.若等腰三角形的一边长为4,另一边长为9,则这个三角形的周长为 (　　)
A.17 B.22 C.17或22 D.13或17
5.如图,在△ABC中,D是边BC与AB垂直平分线的交点,∠CAD=80°,∠C=50°,则∠B的度数是 (　　)
A.25° B.30° C.40° D.50°
6.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC,垂足为点E.若CD=2,CE=1,则点D到AB的距离为 (　　)
A. B.2 C. D.
7.如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2+CE2=DE2,则∠A的度数为 (　　)
A. 100° B. 120° C. 135° D. 150°
8.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于点D,下列四个结论:①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+∠A;③点O到△ABC各边的距离相等;④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.其中正确的结论有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　　.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD=　　　　°.
如图,在平面直角坐标系中,AC是Rt△OAB的角平分线,点C到AB的距离是2,则点C的坐标是　　　　.
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,DE垂直平分AC,垂足为点O,AD∥BC,且AB=3,BC=4,AD=,则OE的长为　　　　.
三、解答题(本大题5小题,共48分)
13.(8分)如图,AB=BC,点D是EF上一点,∠BAD=∠BCD=90°,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
14.(8分)如图,在△ABC中,∠A=∠B,∠ACB=120°.
(1)在图中过点C作一条射线CD交边AB于点D,使得∠ACD=∠A.
(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若AD=1,求边AB的长.
15.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM,BN分别平分∠CAB,∠ABC,AM与BN相交于点O,OD⊥AB于点D,AB=13,AC=12,BC=5.
(1)求△ABC的面积;
(2)求OD的长.
16.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,AC的垂直平分线BE与CD交于点F,与AC交于点E.
(1)判断△DBC的形状并证明你的结论.
(2)求证:BF=AC.
(3)求证:CE=BF.
17.(12分)如图,在△ABC中,点D在BC边上,且∠ADB=90°+∠CAD.
(1)求证:AD=AC.
(2)点E在AB边上,连接CE交AD于点F,且∠CFD=∠CAB,AE=BD,求∠ABC的度数.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D B A C C D
3.D　【解析】∵∠A=60°,∠C=90°,AC=2 km,∴∠B=30°,∴AB=2AC=4 km.
4.B　【解析】分两种情况:①若长为4的边是底边,则腰长为9,且9+9>4,此时三角形的周长为22;②若长为9的边是底边,则腰长为4,且4+4<9不能构成三角形.故这个三角形的周长为22.
解题思路　分等腰三角形的一边长为4的边是腰和底边两种情况讨论求解.
易错警示　有些同学解题时易忽略三角形三边关系的限制条件.对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰,则应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
5.A　【解析】 ∵∠CAD=80°,∠C=50°,∴∠ADC=50°,∵AB的垂直平分线交BC于点D,∴AD=BD,∴∠B=∠BAD=∠ADC=25°.
6.C　【解析】如图,过D作DF⊥AB于点F,则线段DF的长度是点D到线段AB的距离,∵DF⊥AB,DE⊥BC,BD平分∠ABC,∴DF=DE,∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°,∵DC=2,CE=1,∴DE===,∴DF=,即点D到AB的距离为.
7.C　【解析】如图,连接DA,EA,∵边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,∴DA=DB,EA=EC,∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,∵BD2+CE2=DE2,∴AD2+AE2=DE2,∴∠DAE=90°,∴2∠B+2∠C+90°=180°,∴∠B+∠C=45°,∴∠BAC=135°.
解题思路　连接DA,EA,根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,得到∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,根据勾股定理的逆定理得到∠DAE=90°,根据三角形的内角和定理计算即可.
【真题探源】这道题来自北师大八年级《数学》(下)第26页随堂练习:如图,在△ABC中,BC=2,∠BAC>90°,AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,请找出图中相等的线段,并求△AEF的周长.
要点归纳　当问题中涉及“线段垂直平分线”时,要注意联想其性质“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,进而将问题向等腰三角形转化,要形成一种解题意识,从而使解题过程水到渠成.
8.D　【解析】∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+∠A,故②正确;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF,∵EF∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥BC于点N,连接OA,∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE·OM+AF·OD=OD·(AE+AF)=mn;故④正确;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴点O到△ABC各边的距离相等,故③正确.
二、填空题
9.两个角相等的三角形是等腰三角形
10.110　【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,∵∠A=40°,∴∠BCA=∠B=(180°-∠A)=70°,∵CD∥AB,∴∠ACD=∠A=40°,∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=70°+40°=110°.
11.(-2,0)　【解析】如图,点C到AB的距离是2,即为CD=2.根据题意,AC是∠BAO的平分线,AO⊥BO,∴CO=CD=2,∴点C的坐标是(-2,0).
12.　【解析】∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC2=AB2+BC2=32+42=25,∴AC=5.∵DE垂直平分AC,∴OA=AC=,∠AOD=90°.在Rt△AOD中,OD2=AD2-OA2=2-2=,∴OD=.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠C,又∵∠AOD=∠COE,AO=CO,∴△AOD≌△COE(ASA),∴OD=OE=.
三、解答题
13.解:如图,连接BD,∵∠BAD=∠BCD=90°,∴△ABD和△CBD都是直角三角形.
在Rt△ABD和Rt△CBD中,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),
∴AD=CD. (4分)
∵AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,∴∠E=∠F=90°,
∴在Rt△ADE和Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). (8分)
14.解:(1)如图所示,射线CD即为所求. (4分)
(2)∵∠ACB=120°,
∴∠ACD=∠A=∠B=30°,
∴AD=CD=1,∠BCD=90°,
∴BD=2CD=2,∴AB=AD+BD=3. (8分)
15.解:(1)S△ABC=×AC×BC=×5×12=30. (4分)
(2)如图,过点O作OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接OC. (5分)
∵点O在∠CAB,∠ABC的平分线上,且OE⊥BC,OF⊥AC,OD⊥AB,∴OD=OE=OF.
由S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC,得×OD×AB+×OE×BC+×OF×AC=30,
则(13+5+12)×OD=60,解得OD=2. (10分)
16.解:(1)△DBC是等腰直角三角形. (1分)
证明:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,∴∠BCD=45°,
∴∠BCD=∠ABC,∴BD=CD,
∴△DBC是等腰直角三角形. (4分)
(2)证明:∵BD⊥CD,BE⊥AC,∴∠BDC=∠BEC=90°,
∵∠BFD=∠CFE,∴∠DBF=∠ACD,
在△BDF与△CDA中,
∴△BDF≌△CDA(ASA),
∴BF=AC. (8分)
(3)证明:∵BE是AC的垂直平分线,
∴CE=AC,
∵BF=AC,∴CE=BF. (10分)
17.解:(1)证明:∵∠ADB=∠ACB+∠CAD,∠ADB=90°+∠CAD,
∴∠ACB=∠ADB-∠CAD=90°-∠CAD,
∵∠ADB+∠CDA=180°,
∴∠CDA=180°-∠ADB=180°-90°+∠CAD=90°-∠CAD,
∴∠ACB=∠ADC,∴AD=AC. (5分)
(2)如图,过点D作DG∥CE交AB于点G,
∴∠AEC=∠DGA.
∵∠CFD=∠CAB,∠CFD=∠CAD+∠ACE,∠CAB=∠CAD+∠DAB,
∴∠ACE=∠DAB, (7分)
又∵∠ACD=∠ADC,∠ECB=∠ACD-∠ACE,∠B=∠ADC-∠DAB,
∴∠ECB=∠B,
∵DG∥CE,
∴∠ECB=∠BDG,∴∠BDG=∠B,∴DG=BG,
∵∠AEC=∠DGA,AC=DA,∠ACE=∠DAG,
∴△AEC≌△DGA(AAS),∴DG=AE,
又∵AE=BD,
∴DG=BD=BG,∴△BDG为等边三角形,
∴∠ABC=60°. (12分)