月考闯关测试卷(一)（第1-第2章第3节）（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

月考测试卷(一)
第一章~第二章第3节
时间:90分钟　　满分:120分　　
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角为 (　　 )
A.40° B.50° C.60° D.70°
2.下列实数中,不是x+4≥2的解的是 (　　 )
A.-3 B.-2 C.0 D.3.5
3.已知aA.4a<4b B.-4a<-4b
C.a+44.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 (　　 )
A.两条直角边分别相等 B.斜边和一锐角分别相等
C.两个锐角分别相等 D.斜边和一直角边分别相等
5.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时,首先应该假设这个三角形中 (　　 )
A.有一个内角小于45°
B.每一个内角都小于45°
C.有一个内角大于或等于45°
D.每一个内角都大于或等于45°
6.如图,这是一块三角形草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,若要使凉亭到三角形草坪三条边的距离相等,则凉亭的位置应选在 (　　 )
A.△ABC三条角平分线的交点处
B.△ABC三条中线的交点处
C.△ABC三条高所在直线的交点处
D.△ABC三边的垂直平分线的交点处
7.某商店将定价为3元的商品,按下列方式优惠销售:若购买不超过5件,按原价付款;若一次性购买5件以上,超过部分打八折.小聪有27元钱想购买该种商品,那么最多可以购买多少件呢 若设小聪可以购买该种商品x件,则根据题意,可列不等式为 (　　 )
A.3×5+3×0.8x≤27
B.3×5+3×0.8x≥27
C.3×5+3×0.8(x-5)≤27
D.3×5+3×0.8(x-5)≥27
8.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且DE⊥BC于点E.若AB=1,则DB的长为 (　　)
A. B. C. D.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=9 cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为(　　 )
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
10.如图,在第1个△A1BC中,∠B=20°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到点A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到点A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…,按此作法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角的度数是 (　　 )
A.n×80° B.n-1×80°
C.n-1×100° D.n×100°
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.如图,这是关于x的不等式的解集的示意图,则该不等式的解集为　　　　.
12.命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　,这个逆命题是　　　　命题(填“真”或“假”).
13.若a>b,则-3a+1　　　　-3b+1.(填“<”或“>”)
14.如图,D是Rt△ABC的斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=5 cm,DC=12 cm,则CE的长为　　　　 　cm.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD,AC上的动点,则PC+PQ的最小值是　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(10分)(1)用不等式的性质解不等式:4x<3x-5.并在数轴上表示其解集.
(2)如图,在长方形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:BF=CD.
17.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC,垂足为点P,EP交AB于点F,FD∥AC,交BC于点D.求证:△AEF是等腰三角形.
18.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AE是∠BAC的平分线,CD是AB边上的高,请从图中找出一个等边三角形,并说明理由.
19.(9分)如图,已知△ABC,∠C=90°,AC(1)用直尺和圆规,作出点D的位置;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)连接AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数.
20.(9分)如图,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线.
(1)求证:BD=2CD.
(2)若CD=2,求△ABD的面积.
21.(9分)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的四个顶点都在格点上,请按要求完成下列各题.
(1)求图中线段AB,BC,CD的长;
(2)连接AC,通过计算说明△ACD和△ABC是什么特殊三角形.
22.(10分)现有1元和5角的硬币共15枚(两种硬币都有),这些硬币的总币值小于9.5元.根据此信息,小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下:
小强:x+　　　　<9.5;小刚:0.5x+　　　　<9.5.
(1)根据小强、小刚所列的不等式,请你分别指出未知数x表示的意义;
(2)在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式;
(3)任选其中一个不等式,用不等式的基本性质求可能有几枚5角的硬币.
23.(10分)如图,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是 1 cm/s,点Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为t s,解答下列问题.
(1)当点Q到达点C时,PQ与AB的位置关系如何 请说明理由.
(2)在点P与点Q的运动过程中,△BPQ是否能成为等边三角形 若能,请求出此时的运动时间;若不能,请说明理由.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A B C D A C C B B
1.D　【解析】 ∵等腰三角形的两个底角相等,又∵顶角是40°,∴其底角为70°.
2.A　【解析】 ∵x+4≥2,∴x≥-2,∴-2,0,3.5是不等式的解,-3不是不等式的解.
3.B　【解析】 ∵a-4b,故B不成立.
4.C　【解析】判定两三角形全等至少需要三个条件,其中至少有一边,所以两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等.
5.D　【解析】 用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时,应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°,即每一个内角都大于或等于45°.
6.A　【解析】由在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,可知三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
7.C　【解析】根据题意,得3×5+3×0.8(x-5)≤27.
8.C　【解析】由题意,得∠DEB=90°,∠B=60°,∴∠BDE=90°-60°=30°,∴BE=DB.∵△DEF是等边三角形,∴∠EDF=60°,∴∠ADF=180°-30°-60°=90°,易知∠B=∠A,ED=DF,∴△BED≌△ADF,∴AD=BE,∴AB=DB+AD=DB+BE=DB+DB=1,∴DB=.
9.B　【解析】如图,连接AM,AN,∵AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,∴BM=AM,CN=AN,∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C,∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAM+∠CAN=60°,∠AMN=∠ANM=60°,∴△AMN是等边三角形,∴AM=AN=MN,∴BM=MN=NC,∵BC=9 cm,∴MN=3 cm.
10.B　【解析】 在△CBA1中,∵∠B=20°,A1B=CB,∴∠BA1C==80°,∵A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角,∴∠DA2A1=∠BA1C=×80°;同理可得∠EA3A2=2×80°,∠FA4A3=3×80°,∴第n个等腰三角形的底角度数是n-1×80°.
解题思路　根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得∠BA1C的度数,再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1,∠EA3A2,∠FA4A3的度数,找出规律即可求解.
【拓展设问】如图,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,则∠A=　　　　.
【答案】21°　∵AB=BC=CD=DE,∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED.根据三角形外角的性质,得∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,又∵∠EDM=84°,∴∠A+3∠A=84°,解得∠A=21°.
命题分析　问题的解决用到了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质等知识,找出规律是解题的关键.
二、填空题
11.x≤2
12.如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形　真
13.<　【解析】 ∵a>b,∴-3a<-3b,∴-3a+1<-3b+1.
14.13　【解析】 如图,连接BE,由题意,得∠EDC=90°,∠EDB=∠A=90°,在Rt△EDB和Rt△EAB中,∴Rt△EDB≌Rt△EAB(HL),∴AE=DE=5 cm,在Rt△EDC中,ED=5 cm,DC=12 cm,由勾股定理,得CE==13(cm).
15.　【解析】 如图,过点C作CM⊥AB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q.∵AD是∠BAC的平分线,∴PQ=PM,这时PC+PQ取最小值,最小值即CM的长,∵AC=6,BC=8,∠ACB=90°,∴AB===10,∵S△ABC=AB·CM=AC·BC,∴CM==,即PC+PQ的最小值为.
三、解答题
16.(1)解:不等式的两边同时减去3x,得4x-3x<3x-5-3x,化简得x<-5. (3分)
在数轴上表示: (5分)
(2)证明:∵四边形ABCD是长方形,
∴∠B=∠C=90°.
∵EF⊥DF,∴∠EFD=90°,
∴∠EFB+∠CFD=90°. (7分)
∵∠EFB+∠BEF=90°,
∴∠BEF=∠CFD.
在△BEF和△CFD中,
∴△BEF≌△CFD(ASA),
∴BF=CD. (10分)
17.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C,∠DFP=∠E,
∴∠FDB=∠B,∴BF=DF. (4分)
∵FP⊥BD,∴∠BFP=∠DFP,
∴∠BFP=∠E,
又∵∠BFP=∠AFE,∴∠AFE=∠E,
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形. (9分)
解题思路　根据等边对等角得出∠B=∠C,再根据EP⊥BC得出∠E=∠BFP,再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE,最后根据等角对等边即可得出答案.
【真题探源】这道题来自北师大八年级《数学》(下)第10页习题1.3第2题:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F.求证:△AEF是等腰三角形.
【拓展设问】如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,点F在AB上,AE=AF,AD是△ABC的高,试判断EF与BC的位置关系,并说明理由.
【答案】解:EF⊥BC.理由:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,∵AE=AF,∴∠E=∠EFA,∵∠BAC=∠E+∠EFA=2∠EFA,∴∠EFA=∠BAD,∴EF∥AD,∵AD⊥BC,∴EF⊥BC,则EF与BC的位置关系是垂直.
18.解:△CEF是等边三角形. (2分)
理由:在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,
∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠CAB=30°,
∴∠AEC=90°-∠CAE=60°,
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠BCD=90°-∠B=60°,∴∠CEF=∠ECF=∠CFE=60°,
∴△CEF是等边三角形. (9分)
19.解:(1)点D的位置如图所示(D为线段AB的垂直平分线与BC的交点). (5分)
(2)如图,在Rt△ABC中,∵∠B=37°,∴∠CAB=53°.
又∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=37°,
∴∠CAD=53°-37°=16°. (9分)
20.解:(1)证明:如图,过点D作DE⊥AB于点E,
∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,
∴DE=CD,
又∵∠B=30°,∴在Rt△BDE中,DE=BD,∴BD=2DE=2CD. (4分)
(2)∵∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD=2CD=4,
在Rt△ACD中,AC==2,
∴△ABD的面积为BD·AC=×4×2=4. (9分)
21.解:(1)由勾股定理,得AB==,BC==5,CD==2; (4分)
(2)∵AC==2,AD==2,
∴AC=AD,∴△ACD是等腰三角形; (7分)
∵AB2+AC2=5+20=25=BC2,
∴△ABC是直角三角形. (9分)
22.解:(1)小强:x表示有1元硬币的枚数.小刚:x表示有5角硬币的枚数. (2分)
(2)0.5(15-x)　15-x (4分)
(3)答案不唯一,如选小刚所列不等式.
根据题意,得0.5x+15-x<9.5,化简,得-0.5x+15<9.5,解得x>11,∴11∵x是自然数,∴x可取12,13,14.
答:5角的硬币可能有12枚、13枚、14枚. (10分)
23.解:(1)PQ⊥AB. (1分)
理由:由题意知AB=AC=BC=6 cm,∴当点Q到达点C时,t==3,∴AP=3 cm,
∴此时点P为AB的中点,∴PQ⊥AB. (4分)
(2)能. (5分)
理由:∵△ABC是等边三角形,∠B=60°,
∴当BP=BQ时,△BPQ为等边三角形,
由题意得BP=6-t,BQ=2t(t≤3),
∴6-t=2t,解得t=2,
∴△BPQ能成为等边三角形,此时运动时间为2 s. (10分)