专项闯关训练卷(一) 几何图形的证明与计算 （含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

专项训练卷(一)　几何图形的证明与计算
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.一个等腰三角形的顶角为60°,则它的底角为 (　　)
A.40° B.50° C.60° D.65°
2.如图,在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=160°,则∠B的度数为 (　　)
A.100° B.80° C.60° D.20°
3.下列选项中,给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能够判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　)
A.1∶2∶1∶2 B.1∶2∶3∶4
C.2∶2∶3∶4 D.1∶2∶2∶1
4.如图,△ABC是等边三角形,点D在边AC上,∠DBC=40°,则∠BDC的度数为(　　)
A.50° B.60° C.80° D.90°
5.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则AB∶BC等于 (　　)
A.2∶1 B.1∶3 C.1∶2 D.3∶1
6.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是 (　　)
A.b2=c2-a2 B.a∶b∶c=12∶13∶5
C.∠C=∠A-∠B D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
7.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,BE垂直平分CD于点E,且AD=4,则平行四边形ABCD的对角线AC的长为 (　　)
A.4 B.4 C.4 D.2
8.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4,M,N分别是边BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别是线段DM,MN的中点,若线段EF的最大值为2.5,则AD的长为 (　　)
A.5 B. C.2.5 D.3
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.在△ABC中,已知∠A=20°,∠B=80°,则△ABC是　　　　三角形.(填“等腰”“等边”或“直角”)
10.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处,则N处与灯塔P的距离为　　　　海里.
如图,DE是△ABC的中位线,且AB=AC,∠ABC的平分线交DE的延长线于点F,若EF=1,△ABC的周长为16,则BC的长为　　　　.
12.已知点A(3,0),B(-1,0),C(2,3),以A,B,C为顶点画平行四边形,则第四个顶点D的坐标是　　　　.
三、解答题(本大题5小题,共52分)
13.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F.求证:四边形ABCD是平行四边形.
14.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于点D, CE是△ABC的角平分线.
(1)求∠DCE的度数;
(2)若AC=2,求CD的长度.
15.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,∠ADC,∠BCD的平分线分别交AB于点F,E.
(1)判断DF与CE的位置关系,并说明理由.
(2)若AB=5 cm,BC=3 cm,求EF的长.
(3)在(2)中,若改变BC的长度,AB的长度不变,能否使点E,F重合 若能,请直接写出BC的长度;若不能,请说明理由.
16.(12分)操作发现:将一副直角三角板按如图1所示的方式摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.
问题解决:如图2,将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上,AC与BD相交于点O,连接CD.
(1)求证:△CDO是等腰三角形.
(2)若DF=8,求AB的长.
17.(12分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=8,DC=6,AD=10.动点P从点D出发,沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动.设运动的时间为t(单位:秒).
(1)若四边形ABQP为平行四边形,求运动时间t.
(2)当t为何值时,△BPQ是以BP或BQ为底边的等腰三角形
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A C A D C D
1.C　【解析】∵三角形为等腰三角形,且顶角为60°,∴底角=(180°-60°)÷2=60°.
2.A　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠A+∠C=160°,∴∠A=∠C=80°,∴∠B=100°.
4.C　【解析】∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-40°-60°=80°.
5.A　【解析】设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,则x+2x+3x=180°,解得x=30°,即∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,∴AB∶BC=2∶1.
6.D　【解析】当∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5时,可设∠A=3x°,∠B=4x°,∠C=5x°,由三角形内角和定理可得3x+4x+5x=180,解得x=15°, ∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°, ∴△ABC为锐角三角形.
7.C　【解析】如图所示,过C作CF⊥AB交AB延长线于点F,连接BD.在平行四边形ABCD中,∵BE垂直平分CD,∴BC=BD=AD=4,又∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,AB=AD=4,∵∠CBF=∠DAB=60°,∠F=90°,∴∠BCF=30°,∴FB=BC=2,∴FC==2,在∴Rt△ACF中,AC===4.
8.D　【解析】如图,连接DN.∵点E,F分别是线段DM,MN的中点,∴EF=DN,∴当DN的长最大时,EF的长最大,∵线段EF的最大值为2.5,DN=2EF=5.当点N与点B重合时,DN的长最大,此时DN=DB=5,∴AD==3.
二、填空题
9.等腰　【解析】∵∠A=20°,∠B=80°,∴∠C=180°-20°-80°=80°,∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形.
10. 80　【解析】由题意,得MN=2×40=80(海里),∠M=70°,∠N=40°,
∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°,
∴∠NPM=∠M,∴NP=MN=80海里.
11.4　【解析】∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC,∴DF=BC+1,∴∠FBC=∠BFD,∵BF是∠ABC的平分线,∴∠FBC=∠ABF,
∴∠ABF=∠BFD,∴BD=DF=BC+1,∴AB=2BD=BC+2,∵△ABC的周长为16,AB=AC,∴BC+2+BC+2+BC=16,解得BC=4.
12.(-2,3)或(0,-3)或(6,3)　【解析】如图,以BC为对角线,将AB向上平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度,B点对应的位置为(-2,3)就是第四个顶点D1;以AB为对角线,将BC向下平移3个单位长度,再向右平移1个单位长度,B点对应的位置为(0,-3)就是第四个顶点D2;以AC为对角线,将AB向上平移3个单位长度,再向右平移4个单位长度,C点对应的位置为(6,3)就是第四个顶点D3.综上所述,第四个顶点D的坐标为(-2,3)或(0,-3)或(6,3).
解题思路　首先画出坐标系,再分别以AC,AB,BC为对角线通过线段平移作出平行四边形,进而可得点D的坐标.
易错警示　因缺乏分类意识而导致丢值掉解.
【拓展设问】已知点A(0,0),B(2,0),C(1,1),以A,B,C为顶点画平行四边形,则第四个顶点D的坐标是　　　　.
【答案】(3,1)或(-1,1)或(1,-1)　如图,①当以AD为对角线时,CD∥AB,CD=AB,∴点D1(3,1);②当以AC为对角线时,CD∥AB,CD=AB,∴点D2(-1,1);③当以AB为对角线时,AD∥BC,AD=BC,∴点D3(1,-1).
综上所述,第四个顶点D的坐标是(3,1)或(-1,1)或(1,-1).
三、解答题
13.证明:∵BE=DF,∴BE-EF=DF-EF,即BF=DE,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°,
在Rt△ADE与Rt△CBF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL), (4分)
∴∠ADE=∠CBF,∴AD∥BC,
又∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. (8分)
解题思路　证Rt△ADE≌Rt△CBF(HL),得∠ADE=∠CBF,则AD∥BC,再由AD=BC,即可得出结论.
【真题探源】这道题来自北师大八年级《数学》(下)第145页习题6.4第1题:已知:如图,AC是 ABCD的对角线,BM⊥AC,DN⊥AC,垂足分别为M,N.求证:四边形BMDN是平行四边形.
要点归纳　熟练掌握平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键.
14.解:(1)∵∠B=30°,CD⊥AB,∴∠DCB=90°-∠B=60°.
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ECB=∠ACB=45°,
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°. (5分)
(2)由(1)知∠DCB=60° ,∴∠DCA=90°-∠DCB=30°.
∴在Rt△ACD中,AD=AC=×2=1,∴DC==. (10分)
15.解:(1)DF⊥CE. (1分)
理由:在平行四边形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,
∵DF,CE分别平分∠ADC,∠BCD,∴∠FDC+∠ECD=90°,
∴DF⊥CE. (4分)
(2)∵AB∥CD,∴∠DCE=∠BEC,
又∵∠BCE=∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,
∴BE=BC=3 cm,AE=AB-BE=2 cm,
同理AF=AD=3 cm,
∴EF=AF-AE=1 cm. (7分)
(3)能,BC=2.5 cm.
由(2)得,BE=BC=AD=AF,即当E,F重合后E(F)就成了AB的中点,此时BC=AB=2.5 cm. (10分)
16.解:(1)证明:由图1知BC=DE,∴∠BDC=∠BCD,
∵∠DEF=30°, ∴∠BDC=∠BCD=75°,
∵∠ACB=45°, ∴∠DOC=30°+45°=75°, ∴∠DOC=∠BDC,
∴△CDO是等腰三角形. (6分)
(2)在Rt△BDF中,∵∠F=60°,DF=8,∴BF=16,
∴BD==8,∴BC=BD=8,
在Rt△ABC中,AB=AC,即2AB2=BC2=(8)2,解得AB=4. (12分)
17.解:(1)∵四边形ABQP为平行四边形,∴AP=BQ,
又∵AP=AD-PD=10-2t,BQ=BC-CQ=8-t,
∴10-2t=8-t, 解得t=2. (4分)
(2)如图,过点P作PE⊥BC于点E.
由题意及作图得BQ=8-t,PE=CD=6,CE=PD=2t,CQ=t,
①当△BPQ是以BP为底边的等腰三角形时,则BQ=PQ.
在Rt△EPQ中,(8-t)2=62+t2,解得t=; (8分)
②当△BPQ是以BQ为底边的等腰三角形时,则PB=PQ时,
此时BQ=2EQ,即8-t=2t,解得t=.
综上,t=或t=时,△BPQ是以BP或BQ为底边的等腰三角形. (12分)