2．2.2 等差数列的前n项和的性质
一、单项选择题
1．若数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S4＝2，S8＝6，则S12＝( B )
A．10 B．12 C．14 D．16
解析：由已知条件知S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12.故选B.
2．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且 ＝，则 ＝( B )
A． B． C． D．
解析：＝＝＝＝，由题意可得＝＝＝.故选B.
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( C )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：由题知S偶－S奇＝5d，所以d＝＝3.
4．设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为( A )
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
解析：由解得≤n≤，故n＝4.
5．若等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( C )
A．52.5 B．72.5
C．60 D．85
解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25，解得x＝60，y＝85.故选C.
6．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn是其前n项和，则“对于任意n∈N*，都有Sn≤S5”是“a6
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以Sn＝na1＋＝n2＋n，当d>0时，Sn没有最大值，所以对于任意n∈N*，都有Sn≤S5可得d<0，所以a6S5，所以必要性不成立，故“对于任意n∈N*，都有Sn≤S5”是“a6二、多项选择题
7．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是( ABD )
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn>0
D．若对任意n∈N＋，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
解析：∵Sn＝n2＋n，∴当d<0时，Sn必有最大值，即{Sn}有最大项，故A正确；∵数列{Sn}有最大项，∴对应抛物线开口向下，则d<0，故B正确；当an＝2n－3时，Sn＝n2－2n，此时{Sn}是递增数列，但S1＝a1＝－1<0，故C不正确；由Sn>0 a1>0且d>0 Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1＋nd>0 {Sn}是递增数列，故D正确．
8．(2024·辽宁沈阳高二月考)已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S15>0，<－1，则下列结论正确的是( ABD )
A．|a9|>a8
B．当n＝8时，Sn最大
C．使Sn>0的n的最大值为16
D．数列中的最小项为第9项
解析：∵在等差数列{an}中，S15＝(a1＋a15)＝15a8>0，∴a8>0.又∵<－1，∴a9<－a8<0，即a8＋a9<0，∴|a9|>a8，A正确；∵a8>0，a9<0，∴当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0，∴当n＝8时，Sn最大，B正确；∵a8＋a9<0，∴S16＝(a1＋a16)＝(a8＋a9)<0，又S15>0，∴使Sn>0的n的最大值为15，C错误；∵当n≤15时，Sn>0，当n≥16时，Sn<0，且当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0，∴当1≤n≤8或n≥16时，>0；当9≤n≤15时，<0，此时an<0且递减，Sn>0且递减，∴最小，D正确．故选ABD.
三、填空题
9．在等差数列{an}中，a1＝－2 024，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 024＝－2 024．
解析：由等差数列前n项和的性质可知，数列为等差数列，设其公差为d，则由 －＝2，可得2d＝2，即d＝1.又 ＝－2 024，故 ＝－2 024＋(2 024－1)×1＝－1，故S2 024＝－2 024.
10．(2024·江西新余高二期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 024>0，S2 025<0，则当n＝1 012时，Sn最大．
解析：由等差数列的性质知，S2 025＝＝2 025a1 013<0，所以a1 013<0.
又S2 024＝＝1 012×(a1 012＋a1 013)>0，所以a1 012＋a1 013>0.
而a1 013<0，故a1 012>0.
因此当n＝1 012时，Sn最大．
11．(2024·湖北黄冈高二期末)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为5．
解析：方法一 设该等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得
，解得
方法二 记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇．
由已知条件，得
解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
四、解答题
12．(2024·福建漳州高二期中)从条件①S6＝51，②an＝an－1－3，③S5＝a3a5中任选一个，补充在问题中并作答．
设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7， ．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值．
解：若选①：
(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得
所以an＝3n－2.
(2)由(1)可知，an＝3n－2，所以数列{an}是递增数列，故Sn有最小值，最小值为S1＝a1＝1.
若选②：
(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意可得d＝an－an－1＝－3，
a3＝a1＋(3－1)×(－3)＝7，解得a1＝13，
所以an＝－3n＋16.
(2)由(1)可得an＝－3n＋16，d<0，
令解得≤n≤，
又n∈N＋，所以n＝5，a5＝1，故Sn有最大值，最大值为S5＝＝35.
若选③：
(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得
解得
所以d＝＝－1，故a1＝a3－2d＝9，
所以an＝－n＋10.
(2)由(1)可知an＝－n＋10，令an＝0，解得n＝10，故Sn有最大值，最大值为S9＝S10＝＝45.
13．已知等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求Tn.
解：(1)因为在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2，
所以解得
所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝10－2n.
(2)由an＝10－2n≥0，得n≤5.因为Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，所以当n≤5时，Tn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.当n＞5时，Tn＝－[8n＋×(－2)]＋2×(9×5－52)＝n2－9n＋40.所以Tn＝
14．设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则( C )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
解析：若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·，所以－＝a1＋(n＋1－1)·－＝，为常数，所以为等差数列，即甲 乙；若为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)·(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N＋)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即乙 甲．所以甲是乙的充要条件．
15．已知正项数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝.
(1)证明：数列{Tn}为等差数列；
(2)设数列{an－an＋1}的前n项和为Sn，证明：Sn<1.
证明：(1)当n≥2时，＝＝1－＝1－，即Tn－Tn－1＝1.当n＝1时，T1＝，得T1＝a1＝2(T1＝a1＝0舍去)，所以数列{Tn}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得Tn＝2＋n－1＝n＋1.
因为Tn＝＝n＋1，所以an＝＋1，
所以an－an＋1＝－.
所以Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.2．2.2 等差数列的前n项和的性质
一、单项选择题
1．若数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S4＝2，S8＝6，则S12＝( )
A．10 B．12 C．14 D．16
2．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且 ＝，则 ＝( )
A． B． C． D．
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
4．设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为( )
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
5．若等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )
A．52.5 B．72.5
C．60 D．85
6．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn是其前n项和，则“对于任意n∈N*，都有Sn≤S5”是“a6A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题
7．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是( )
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn>0
D．若对任意n∈N＋，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
8．(2024·辽宁沈阳高二月考)已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S15>0，<－1，则下列结论正确的是( )
A．|a9|>a8
B．当n＝8时，Sn最大
C．使Sn>0的n的最大值为16
D．数列中的最小项为第9项
三、填空题
9．在等差数列{an}中，a1＝－2 024，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 024＝ ．
10．(2024·江西新余高二期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 024>0，S2 025<0，则当n＝ 时，Sn最大．
11．(2024·湖北黄冈高二期末)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为 ．
四、解答题
12．(2024·福建漳州高二期中)从条件①S6＝51，②an＝an－1－3，③S5＝a3a5中任选一个，补充在问题中并作答．
设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7， ．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值．
13．已知等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求Tn.
14．设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
15．已知正项数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝.
(1)证明：数列{Tn}为等差数列；
(2)设数列{an－an＋1}的前n项和为Sn，证明：Sn<1.