3．1.1 等比数列的概念及其通项公式
一、单项选择题
1．已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 024＝( C )
A．2 021 B．2 022
C．2 023 D．2 024
解析：由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 024＝log332 023＝2 023.
2．(2024·山东聊城高二期末)若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是( C )
A．0 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然a1q≠0.由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2.
3．已知等比数列{an}中，＝2，a4＝8，则a3＝( B )
A．16 B．4 C．2 D．1
解析：设等比数列{an}的公比为q，由＝2，得＝2，则q＝2.
方法一 由a4＝q·a3，得8＝2a3，则a3＝4.
方法二 由a4＝a1·q3，得8＝8a1，则a1＝1，所以a3＝a1·q2＝4.
4．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，波长变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，波长变为原来的，得到“商”……依次“损”“益”交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得( D )
A．“徵、商、羽”的波长成等比数列
B．“宫、徵、商”的波长成等比数列
C．“商、羽、角”的波长成等比数列
D．“宫、商、角”的波长成等比数列
解析：设“宫”的波长为1，则“徵”的波长为 ，“商”的波长为 ，“羽”的波长为 ，“角”的波长为 ，所以“宫、商、角”的波长成等比数列，公比为 .故选D.
5．在数列{an}中，an＋1＝－3an，且a2＝－3，则an＝( D )
A．3n－2 B．(－3)n－2
C．－3n－1 D．(－3)n－1
解析：∵an＋1＝－3an，∴＝－3，
∴数列{an}为等比数列，公比q＝－3，
∴an＝a2·qn－2＝(－3)×(－3)n－2＝(－3)n－1.故选D.
6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＋a5＝30，则数列{an}的公比为( A )
A．2 B．3 C． D．
解析：设数列{an}的公比为q，因为a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＋a5＝30，所以a4＋a5＝24，则＝q2＝4，解得q＝2或q＝－2(舍去).故选A.
二、多项选择题
7．下列说法正确的有( AC )
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. 22，42，62，82，…成等比数列
解析：A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错误．
8．已知数列{an}，下列选项不正确的是( ABD )
A．若a＝4n，n∈N＋，则{an}为等比数列
B．若anan＋2＝a，n∈N＋，则{an}为等比数列
C．若aman＝2m＋n，m，n∈N＋，则{an}为等比数列
D．若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N＋，则{an}为等比数列
解析：对于A，由a＝4n知|an|＝2n，则数列{an}不一定是等比数列；对于B，D，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数列；对于C，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2(n∈N＋)，故数列{an}是等比数列．故选ABD.
三、填空题
9．在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝8．
解析：设{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q3＝2，q＝，∴a7＝a1q6＝2×()6＝8.
10．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为lg an＝(n－3)lg 2．
解析：设{an}的公比为q，∵a5＝a4q，
∴q＝2，∴a1＝＝，∴an＝·2n－1＝2n－3，∴lg an＝(n－3)lg 2.
11．若一个等比数列的前3项依次是x，2x＋2，3x＋3，则该数列的第4项是－．
解析：由等比数列的定义，得＝，整理得x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.
当x＝－1时，2x＋2＝0，不合题意，舍去．当x＝－4时，公比q＝＝，则该数列的第4项是(3x＋3)＝－.
四、解答题
12．在等比数列{an}中，已知a5＝8，a8＝－16，求首项a1与公比q，并求该数列的通项公式．
解：由题意，知解得∴an＝a1·qn－1＝(－)n＋1.
13．已知数列{an}为等比数列，an>0，a1＝2，2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
解：(1)数列{an}为等比数列，设公比为q，因为an>0，a1＝2，所以q>0.
又2a2＋a3＝30，所以4q＋2q2＝30，解得q＝3或q＝－5(舍去)，所以an＝2×3n－1.
(2)由题意得bn＋1＝bn＋2×3n－1，则bn＋1－bn＝2×3n－1.
又b1＝a2＝6，
则b5＝(b5－b4)＋(b4－b3)＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1＝2×33＋2×32＋2×31＋2×30＋6＝86.
14．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行数组成的数列的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53＝( C )
A． B． C． D．
解析：第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行数组成的数列的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.
15．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
解：(1)由根与系数的关系，
得
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
得－＝3.
所以an＋1＝an＋.
(2)证明：因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－＝.
若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0.
此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以an≠，即an－≠0.
所以数列是以为公比的等比数列．
(3)当a1＝时，a1－＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以an－＝×＝，
所以an＝＋，n∈N*，
即数列{an}的通项公式为an＝＋，n∈N*.3．1.1 等比数列的概念及其通项公式
一、单项选择题
1．已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 024＝( )
A．2 021 B．2 022
C．2 023 D．2 024
2．(2024·山东聊城高二期末)若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是( )
A．0 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
3．已知等比数列{an}中，＝2，a4＝8，则a3＝( )
A．16 B．4 C．2 D．1
4．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，波长变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，波长变为原来的，得到“商”……依次“损”“益”交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得( )
A．“徵、商、羽”的波长成等比数列
B．“宫、徵、商”的波长成等比数列
C．“商、羽、角”的波长成等比数列
D．“宫、商、角”的波长成等比数列
5．在数列{an}中，an＋1＝－3an，且a2＝－3，则an＝( )
A．3n－2 B．(－3)n－2
C．－3n－1 D．(－3)n－1
6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＋a5＝30，则数列{an}的公比为( )
A．2 B．3 C． D．
二、多项选择题
7．下列说法正确的有( )
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. 22，42，62，82，…成等比数列
8．已知数列{an}，下列选项不正确的是( )
A．若a＝4n，n∈N＋，则{an}为等比数列
B．若anan＋2＝a，n∈N＋，则{an}为等比数列
C．若aman＝2m＋n，m，n∈N＋，则{an}为等比数列
D．若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N＋，则{an}为等比数列
三、填空题
9．在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝ ．
10．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为 ．
11．若一个等比数列的前3项依次是x，2x＋2，3x＋3，则该数列的第4项是 ．
四、解答题
12．在等比数列{an}中，已知a5＝8，a8＝－16，求首项a1与公比q，并求该数列的通项公式．
13．已知数列{an}为等比数列，an>0，a1＝2，2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
14．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行数组成的数列的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53＝( )
A． B． C． D．
15．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
