3．1.2 等比数列的性质及其实际应用
一、单项选择题
1．在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
2．在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝( )
A．24 B．30
C．54 D．108
3．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝( )
A．6 B．－6
C．±6 D．±12
4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第3个数应为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
6．已知－16，a1，a2，a3，－1成等比数列，－16，b1，b2，－1成等差数列，则a2(b1－b2)＝( )
A．±20 B．－20
C．20 D．－
二、多项选择题
7．已知等比数列{an}是递增数列，q是其公比，则下列结论正确的是( )
A．a1>0 B．q>0
C．a1q>0 D．a1(q－1)>0
8．设{an}(n∈N＋)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5K8，则下列选项中成立的是( )
A．0B．a7＝1
C．K9>K5
D．K6与K7均为Kn的最大值
三、填空题
9．a，b，c三个数成等比数列，其中a＝7＋4，c＝7－4，则b＝ ．
10．在数列{an}中，a2＝，a3＝，且bn＝nan＋1，若{bn}是等比数列，则数列{bn}的公比是 ，an＝ ．
11．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为 平方厘米．
12．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)，这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值为 ．
四、解答题
13．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
14．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求数列{an}的通项公式．
15．(2024·浙江宁波高二期末)已知数列{an}满足a1＝1，且数列{an＋1－an}是等比数列，数列是等差数列，试写出数列{an}的一个通项公式： ．
16．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝数列{bn}满足bn＝a2n－2.
(1)求a2，a3；
(2)求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；
(3)已知cn＝log|bn|，求证：＋＋…＋<1.3．1.2 等比数列的性质及其实际应用
一、单项选择题
1．在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q为( A )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：由a6＝a3q3，得q3＝8，所以q＝2.
2．在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝( C )
A．24 B．30
C．54 D．108
解析：由a＝a4a12得a12＝＝54.
3．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝( C )
A．6 B．－6
C．±6 D．±12
解析：∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6.
4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( C )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析：方法一 由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝aq2n－2＝22n，所以(a1qn－1)2＝(2n)2.又an>0，所以a1qn－1＝2n.故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(aq2＋4＋…＋2n－2)＝log2[aqn(n－1)]＝log2(a1qn－1)n＝log2(2n)n＝n2.
方法二 由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝a＝22n，注意到an>0，所以an＝2n.利用特殊值法，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2×23)＝log224＝4.只有C符合．
5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第3个数应为( A )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列{an}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，∴q12＝＝2，即q＝2，∵a＝a1a13＝2，∴a7＝2.∵a＝a1a7＝2，∴a4＝2.故新插入的第3个数为2.故选A.
6．已知－16，a1，a2，a3，－1成等比数列，－16，b1，b2，－1成等差数列，则a2(b1－b2)＝( C )
A．±20 B．－20
C．20 D．－
解析：由于－16，a1，a2，a3，－1成等比数列，设公比为q，q≠0，故a＝－16×(－1)＝16，且a2＝－16q2<0，故a2＝－4.因为－16，b1，b2，－1成等差数列，所以b2－b1＝＝5，故b1－b2＝－5，故a2(b1－b2)＝－4×(－5)＝20.故选C.
二、多项选择题
7．已知等比数列{an}是递增数列，q是其公比，则下列结论正确的是( BD )
A．a1>0 B．q>0
C．a1q>0 D．a1(q－1)>0
解析：由题意知，递增的等比数列包括两种情况：当a1>0时，q>1或当a1<0时，00，a1(q－1)>0.故选BD.
8．设{an}(n∈N＋)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5K8，则下列选项中成立的是( ABD )
A．0B．a7＝1
C．K9>K5
D．K6与K7均为Kn的最大值
解析：根据题意，对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，故B正确；对于A，由K51，则q＝∈(0，1)，故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈(0，1)可得数列单调递减，a6＞a7＝1，1＞a8＞a9，＝a6·a7·a8·a9＝a·a9＝a9＜1，则有K9三、填空题
9．a，b，c三个数成等比数列，其中a＝7＋4，c＝7－4，则b＝±1．
解析：由题设b2＝ac＝(7＋4)×(7－4)＝49－48＝1，则b＝±1，当b＝－1时，数列的公比为4－7；当b＝1时，数列的公比为7－4.所以b＝±1.
10．在数列{an}中，a2＝，a3＝，且bn＝nan＋1，若{bn}是等比数列，则数列{bn}的公比是2，an＝．
解析：因为在数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{bn}是等比数列，b2＝2a2＋1＝3＋1＝4，b3＝3a3＋1＝7＋1＝8，b1＝＝＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝nan＋1＝2n，解得an＝.
11．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为2 048平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝a＝(2)2＝211＝2 048.
12．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)，这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值为．
解析：∵c－a＝x(b－a)，
∴b－c＝(b－a)－x(b－a).
又(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，b＞a，∴[x(b－a)]2＝(b－a)2－x(b－a)2，∴x2＋x－1＝0，解得x＝.
∵0＜x＜1，∴x＝.
四、解答题
13．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解：方法一 设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，
由题意得
解得或
所以当a＝4，d＝4时，这四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，这四个数为15，9，3，1.
方法二 设后三个数依次为，a，aq，因为前三个数成等差数列，所以第一个数为－a.
由题意得
解得或
所以当a＝8，q＝2时，这四个数为0，4，8，16；当a＝3，q＝时，这四个数为15，9，3，1.
14．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an，得an＋2＋an＋1＝3an＋1＋3an＝3(an＋1＋an).
因为数列{an}的各项都为正数，所以an＋1＋an>0，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)由(1)得an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，整理得an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an).
又因为a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，所以an＋1＝3an，所以数列{an}是以a1＝为首项，3为公比的等比数列，所以an＝.
15．(2024·浙江宁波高二期末)已知数列{an}满足a1＝1，且数列{an＋1－an}是等比数列，数列是等差数列，试写出数列{an}的一个通项公式：an＝2n－1(答案不唯一)．
解析：因为数列是等差数列，取为非零常数列，令＝c(c为非零常数且c≠1)，则{an}是以a1＝1为首项，c为公比的等比数列，所以an＝cn－1，此时an＋1－an＝cn－cn－1＝cn－1(c－1)，故{an＋1－an}是等比数列，符合题意，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1(只要满足an＝cn－1(c≠1，c≠0)即可).
16．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝数列{bn}满足bn＝a2n－2.
(1)求a2，a3；
(2)求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；
(3)已知cn＝log|bn|，求证：＋＋…＋<1.
解：(1)由数列{an}的递推关系，知
a2＝a1＋1＝，a3＝a2－2×2＝－.
(2)证明：bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋(2n＋1)－2＝a2n＋1＋(2n－1)＝(a2n－4n)＋(2n－1)＝a2n－1＝(a2n－2)＝bn.
因为b1＝a2－2＝－，数列{bn}的各项均不为0，＝，所以数列{bn}是首项为－，公比为的等比数列，
所以bn＝－＝－.
(3)证明：由(2)知cn＝log|bn|＝log＝n.
所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.
