3．2.2 等比数列的前n项和的性质
一、单项选择题
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( C )
A． B．－ C． D．－
解析：∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝.
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝( C )
A．50 B．60 C．70 D．80
解析：因为S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，而S10＝10，S20＝30，所以(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(30－10)2＝10×(S30－30)，所以S30＝70.
3．已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项的和S100＝90，则a2＋a4＋…＋a100＝( D )
A．15 B．30 C．45 D．60
解析：设S＝a1＋a3＋…＋a99，则a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)q＝2S，
又因为S100＝a1＋a2＋…＋a100＝90，
所以3S＝90，S＝30，
所以a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( A )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
解析：在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4.故选A.
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＝5，S4＝20，则＝( B )
A．9 B．10 C．12 D．17
解析：设等比数列{an}的公比为q.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a3＋a2＋a4＝a1＋a3＋q(a1＋a3)＝(1＋q)·(a1＋a3)＝5(1＋q)＝20，所以q＝3，则＝＝＝＝q2＋1＝10.
6．已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为( D )
A． B． C．1 D．2
解析：设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
因为项数为奇数时，＝q，
即2＋q＝，所以q＝.所以Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2n－，
故当n＝1或n＝2时，Tn取最大值2.
二、多项选择题
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的是( BD )
A．a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…
B．a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…
C．S2，S4－S2，S6－S4，…
D．S3，S6－S3，S9－S6，…
解析：设数列{an}的公比为q，q≠0，
对于A，C，都有首项a1＋a2＝a1(1＋q)，
当q＝－1时，a1＋a2＝0，不满足等比数列，故A，C错误；
对于B，a1＋a3＝a1(1＋q2)≠0，且＝＝q2，同理＝q2，故数列a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…为等比数列，故B正确；
对于D，S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≠0，且＝q3，＝q3，故数列S3，S6－S3，S9－S6，…为等比数列，故D正确．故选BD.
8．下列关于数列{an}与其前n项和Sn的命题，表述正确的是( ABD )
A．若an＋1＝，a1＝－1，则a2 024＝
B．若Sn＋1＝2Sn，a1＝2，则an＝2n－1(n≥2，n∈N*)
C．若{an}是等比数列，S2＝1，S4＝4，则S8＝64
D．若a1a2a3…an＝，则数列{an}单调递增
解析：因为an＋1＝，a1＝－1，所以a2＝，a3＝2，a4＝－1，…，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 024＝674×3＋2，所以a2 024＝a2＝，A正确；
因为Sn＋1＝2Sn，＝2，a1＝S1＝2，所以Sn＝2×2n－1＝2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，B正确；
因为{an}是等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…成等比数列，
＝＝＝3，则＝3 S6＝13 ＝3，所以S8＝40，C错误；
因为a1a2a3…an＝，当n≥2时，a1a2a3…an－1＝，
当n≥2时，an＝＝＝，a1＝，所以an＝1－且n∈N*，则数列{an}单调递增，D正确．故选ABD.
三、填空题
9．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－360，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…
＋a2n)＝240，则公比q＝5．
解析：由题意知S奇＋S偶＝－360，
S奇－S偶＝240，∴S奇＝－60，S偶＝－300，
∴q＝＝5.
10．设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝．
解析：由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，
得210(S30－S20)＝S20－S10.
又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴＝q10＝.
又{an}为正项等比数列，∴q＝.
11．若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为2，项数为9．
解析：由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
四、解答题
12．记Sn为等比数列{an}的前n项和，S18＝7S6.
(1)若S12＝12，求S24的值；
(2)若S6＞0，求证：S6n＋6＞2S6n.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S18＝7S6，所以q≠1，S12＝S6＋q6S6＝S6(1＋q6)＝12，所以S6≠0，故S6，S12－S6，S18－S12成等比数列，且公比为q6，所以S18＝S6＋(S12－S6)＋(S18－S12)＝S6＋q6S6＋q12S6＝7S6，
整理得S6(q12＋q6－6)＝0，因为S6≠0，故q12＋q6－6＝0，解得q6＝2，
所以S24＝S12＋(S24－S12)＝S12＋q12S12＝S12(1＋q12)＝5S12＝60.
(2)证明：因为S6＞0，所以q≠－1，由(1)知，q6＝2，因为数列S6，S12－S6，S18－S12，…，S6n＋6－S6n是以S6为首项，q6为公比的等比数列，所以S6n＋6＝S6＋(S12－S6)＋(S18－S12)＋…＋(S6n＋6－S6n)＝＝S6·q6n＋6－S6＝2S6·q6n－S6.
又S6n＋6－S6n＝S6×(q6)n＝S6×q6n，
则S6n＋6＝2S6·q6n－S6＜2S6·q6n＝2(S6n＋6－S6n)，所以S6n＋6＞2S6n.
13．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－2S2，S3，4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求S2n＋的最大值．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
因为－2S2，S3，4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，
即S4－S3＝S2－S4，
所以a4＝－a4－a3，即2a4＝－a3，
可得q＝＝－，又因为a1＝，
所以等比数列{an}的通项公式为
an＝×＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝＝1－，
所以S2n＝1－，
所以S2n＋＝1－＋.
令m＝1－，因为n∈N＋，所以≤m<1，则S2n＋＝m＋，且在上单调递减；
当m＝，即n＝1时，＝S2＋＝＋＝，
所以S2n＋的最大值为.
14．(多选题)已知一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P，Q，R，则下列等式不正确的是( ABC )
A．P＋Q＝R
B．Q2＝PR
C．(P＋Q)－R＝Q2
D．P2＋Q2＝P(Q＋R)
解析：当q≠1时，P＝，Q＝，R＝；当q＝1时，P＝na1，Q＝2na1，R＝3na1.
对于A，当q≠1时，P＋Q＝＋＝≠，
即P＋Q≠R，故A符合题意；
对于B，当q＝1时，Q2＝4n2a≠3n2a，即Q2≠PR，故B符合题意；
对于C，当q＝1时，(P＋Q)－R＝na1＋2na1－3na1＝0≠4n2a，即(P＋Q)－R≠Q2，故C符合题意；
对于D，当q≠1时，
∵P2＋Q2＝[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝(q4n－q2n－2qn＋2)，
P(Q＋R)＝＝(q4n－q2n－2qn＋2)；
当q＝1时，P2＋Q2＝n2a＋4n2a＝5n2a，P(Q＋R)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，则P2＋Q2＝P(Q＋R)，故D不符合题意．故选ABC.
15．在“①S4＝15，S2＝3；②a1＋a2＝3，a3＝4”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，满足________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
解：(1)若选①S4＝15，S2＝3：
设数列{an}的公比为q(q>0)，显然q≠1.
因为S4＝＝15，
S2＝＝3，
由a1≠0，两式作商可得＝5，
整理可得q2＝4，
解得q＝2或q＝－2(舍去)，将q＝2代入S2＝＝3可得a1＝1，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
若选②a1＋a2＝3，a3＝4：
设数列{an}的公比为q(q>0)，显然q≠1.
由已知可得
a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，a3＝a1q2＝4，
由a1≠0，两式作商可得＝，
整理可得3q2－4q－4＝0，
解得q＝2或q＝－(舍去)，
将q＝2代入a3＝a1q2＝4可得a1＝1，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)由(1)知，an＝2n－1，则＝.
所以Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋，
两式作差可得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－－，所以Tn＝4－－＝4－(n＋2).3．2.2 等比数列的前n项和的性质
一、单项选择题
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( )
A． B．－ C． D．－
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝( )
A．50 B．60 C．70 D．80
3．已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项的和S100＝90，则a2＋a4＋…＋a100＝( )
A．15 B．30 C．45 D．60
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＝5，S4＝20，则＝( )
A．9 B．10 C．12 D．17
6．已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为( )
A． B． C．1 D．2
二、多项选择题
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的是( )
A．a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…
B．a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…
C．S2，S4－S2，S6－S4，…
D．S3，S6－S3，S9－S6，…
8．下列关于数列{an}与其前n项和Sn的命题，表述正确的是( )
A．若an＋1＝，a1＝－1，则a2 024＝
B．若Sn＋1＝2Sn，a1＝2，则an＝2n－1(n≥2，n∈N*)
C．若{an}是等比数列，S2＝1，S4＝4，则S8＝64
D．若a1a2a3…an＝，则数列{an}单调递增
三、填空题
9．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－360，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…
＋a2n)＝240，则公比q＝ ．
10．设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝ ．
11．若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ．
四、解答题
12．记Sn为等比数列{an}的前n项和，S18＝7S6.
(1)若S12＝12，求S24的值；
(2)若S6＞0，求证：S6n＋6＞2S6n.
13．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－2S2，S3，4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求S2n＋的最大值．
14．(多选题)已知一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P，Q，R，则下列等式不正确的是( )
A．P＋Q＝R
B．Q2＝PR
C．(P＋Q)－R＝Q2
D．P2＋Q2＝P(Q＋R)
15．在“①S4＝15，S2＝3；②a1＋a2＝3，a3＝4”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，满足________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
