*§5 数学归纳法
一、单项选择题
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
2．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝( )
A．ak＋
B．ak＋－
C．ak＋
D．ak＋－
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
4．已知f(n)是关于正整数n的命题．小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的正整数k，在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切正整数n均成立，则m的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋>2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时不等式成立，则还需利用假设再证( )
A．当n＝k＋1时不等式成立
B．当n＝k＋2时不等式成立
C．当n＝2k＋2时不等式成立
D．当n＝2(k＋2)时不等式成立
6．已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为( )
A．2k B．2k＋2
C． D．k2＋k＋2
二、多项选择题
7．下列结论能用数学归纳法证明的是( )
A．ex≥x＋1(x∈R)
B．1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)
C．1＋＋＋…＋＝2－(n∈N*)
D．sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)
8．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是 ( )
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
三、填空题
9．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋ ．
10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是 ．
11．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为 ．
四、解答题
12．用数学归纳法证明：×××…×＝(n≥2，n∈N＋).
13．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N＋).
14．(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是( )
A．若f(6)<7成立，则f(5)<6成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋).
(1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．*§5 数学归纳法
一、单项选择题
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是( D )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
解析：当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
2．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝( D )
A．ak＋
B．ak＋－
C．ak＋
D．ak＋－
解析：a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以ak＋1＝ak＋－.
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：当n＝k时，左边＝1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，左边增加的项为＋＋…＋，共2k项．故选D.
4．已知f(n)是关于正整数n的命题．小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的正整数k，在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切正整数n均成立，则m的最大值为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由题意可知，f(n)对n＝1，2，3都成立，在f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，由此推得，对n＞m的任意整数，f(n)均成立，因此m的最大值可以为3.故选C.
5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋>2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时不等式成立，则还需利用假设再证( B )
A．当n＝k＋1时不等式成立
B．当n＝k＋2时不等式成立
C．当n＝2k＋2时不等式成立
D．当n＝2(k＋2)时不等式成立
解析：若已假设当n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明当n＝k＋2时不等式成立．故选B.
6．已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为( A )
A．2k B．2k＋2
C． D．k2＋k＋2
解析：当n＝3时，这三个平面将空间分成了8个部分，若当n＝k时，平面将空间分成f(k)个部分，则再添加1个平面时，与其他k个平面共有k条交线，此k条交线过同一个点，将该平面分成2k个部分，每一部分将所在的空间一分为二，故f(k＋1)＝f(k)＋2k.故选A.
二、多项选择题
7．下列结论能用数学归纳法证明的是( BC )
A．ex≥x＋1(x∈R)
B．1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)
C．1＋＋＋…＋＝2－(n∈N*)
D．sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)
解析：数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知B，C能用数学归纳法证明．故选BC.
8．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是 ( AD )
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
解析：由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立．
三、填空题
9．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋π．
解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，
增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是＋＋…＋＋＋>－．
解析：观察不等式中各项的分母变化，知n＝k＋1时，应推证的目标不等式为＋＋…＋＋＋>－.
11．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)．
解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
四、解答题
12．用数学归纳法证明：×××…×＝(n≥2，n∈N＋).
证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，所以左边＝右边，所以n＝2时等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即×××…×＝，
那么n＝k＋1时，×××…×＝＝·＝＝，即n＝k＋1时等式成立．
综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立．
13．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N＋).
证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝，由<知不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即＋＋＋…＋<1－.
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N＋，不等式均成立．
14．(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是( AD )
A．若f(6)<7成立，则f(5)<6成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
解析：对于A，当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立，则逆否命题：当f(k＋1)15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋).
(1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．
解：(1)∵a1＝1，Sn＝n2an，
∴S1＝a1＝1；
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，
可得a2＝，S2＝1＋＝；
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，
可得a3＝，S3＝1＋＋＝；
当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，
可得a4＝，S4＝.
猜想Sn＝.
(2)下面用数学归纳法证明猜想成立．
①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，即Sk＝，则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)，
∴(k2＋2k)Sk＋1＝(k＋1)2Sk＝(k＋1)2·，∴Sk＋1＝.
故当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①和②可知，对于任意的n∈N＋，都有Sn＝.
故猜想成立．
∵Sn＝n2an，∴an＝＝＝.
