1．1 数列的概念
一、单项选择题
1．下列有关数列的说法正确的是( B )
①数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一数列；
②数列的第k－1项是 ；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：对于①，数列－1，0，1与数列1，0，－1的顺序不一样，故不是同一数列；对于②，数列的第k－1项，即把n＝k－1代入，故数列的第k－1项是；对于③，根据数列的定义，数列中的每一项都与它的序号有关．故选B.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，则a2＋a3＝( D )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：因为an＝(－1)n＋1＋1，故可得a2＝0，a3＝2，所以a2＋a3＝2.故选D.
3．(2024·山东枣庄高二期末)已知数列1，，，，3，，…，，…，则3是这个数列的( B )
A．第21项 B．第23项
C．第25项 D．第27项
解析：因为已知数列的第n项为，而3＝＝，所以3是已知数列的第23项．故选B.
4．(2024·江西景德镇高二期末)已知数列{an}为1，－2，4，－8，16，－32，…，则它的一个通项公式可能是( D )
A．an＝(－1)n·2n
B．an＝(－1)n·2n－1
C．an＝(－1)n＋1·2n
D．an＝(－1)n＋1·2n－1
解析：令n＝1，则(－1)n·2n＝－2≠1，(－1)n·2n－1＝－1≠1，(－1)n＋1·2n＝2≠1，(－1)n＋1·2n－1＝1，且(－1)n＋1·2n－1对此数列中后边的数同样适用．故选D.
5．(2024·江西抚州高二期中)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a5＝( B )
A． B． C． D．
解析：由题意可知a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.故选B.
6．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N*，则a2 024＝( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，即an＋3＝－an.又∵an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an，∴数列{an}是以6为周期的周期数列，∴a2 024＝a337×6＋2＝a2＝2.故选D.
二、多项选择题
7．数列2，0，2，0，…的通项公式可以是( AC )
A．an＝1－(－1)n，n∈N*
B．an＝，n∈N*
C．an＝ n∈N*
D．an＝(1－cos nπ)，n∈N*
解析：对于A，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，…，an符合题意；对于B，a1＝0，an不符合题意；对于C，an符合题意；对于D，a1＝1，an不符合题意．故选AC.
8．数列{an}的通项公式为an＝则( BC )
A．a3＝7 B．a3＝10
C．a2a3＝20 D．a2a3＝70
解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20.故选BC.
三、填空题
9．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n，a1＝1，则a3＝7．
解析：由an＋1－an＝2n，得a2－a1＝21，则a2＝3.又a3－a2＝22，故a3＝7.
10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6，那么该数列从第7项开始各项都是正数．
解析：令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去).∵n∈N＋，∴数列从第7项开始各项都是正数．
11．将正偶数按下表排列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
… … 30 28 26
则2 024在第253行第5列．
解析：由题意可知，2 024是第1 012个正偶数，因为1 012÷4＝253，所以2 024在第253行．观察题表知，第奇数行的四个数从第2列开始从左至右排列，所以2 024在第253行第5列．
12．若数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 024＝．
解析：因为数列{an}满足an＋1＝a1＝，
所以a2＝2×－1＝，a3＝2×－1＝，a4＝2×＝，所以a4＝a1＝，同理可求a5＝a2＝，a6＝a3＝，…，所以数列{an}是周期为3的周期数列．所以a2 024＝a3×674＋2＝a2＝.
四、解答题
13．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
(2)2，3，5，9，17，33，…；
(3)，，，，…；
(4)1，，2，，…；
(5)－，，－，，….
解：(1)∵第n项的符号为(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，
∴an＝(－1)n·.
(2)∵a1＝2＝20＋1，a2＝3＝21＋1，a3＝5＝22＋1，a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，…，∴an＝2n－1＋1.
(3)∵a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，
∴an＝.
(4)∵a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝，…，∴an＝.
(5)∵a1＝－＝－，a2＝＝，a3＝－＝－，a4＝＝，…，
∴an＝(－1)n·.
14．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
(1)2 027是数列{an}的第几项？
(2)135，4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
(3)若as，at(s，t∈N＋)是数列{an}中的项，那么2as＋3at是数列{an}中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
解：(1)令4n－1＝2 027，
则4n＝2 028，
∴n＝507.
即2 027是数列{an}的第507项．
(2)令an＝4n－1＝135，
得n＝34，
∴135是数列{an}中的项，是第34项；
∵4m＋19＝4(m＋5)－1，
且m∈N＋，
∴4m＋19是数列{an}中的项，是第m＋5项．
(3)∵as，at是数列{an}中的项，
∴as＝4s－1，at＝4t－1，
∴2as＋3at＝2(4s－1)＋3(4t－1)＝4(2s＋3t－1)－1.
∵2s＋3t－1∈N＋，
∴2as＋3at是数列{an}中的项，是第2s＋3t－1项．
15．如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下5个圆环所需的最少移动次数为( C )
A．5 B．10 C．21 D．42
解析：由a1＝1，且an＝得a5＝2a4＋1＝4a3＋1＝4(2a2＋1)＋1＝8a2＋5＝16a1＋5＝21.故选C.
16．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
图1
图2
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图2中的1，4，9，16，…这样的数称为正方形数．写出一个既是三角形数又是正方形数的数：1 225(答案不唯一)．
解析：由题图可得三角形数构成的数列的通项公式为an＝，同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2，因为1 225＝352＝，故1 225既是三角形数又是正方形数．（答案不唯一）1．1 数列的概念
一、单项选择题
1．下列有关数列的说法正确的是( )
①数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一数列；
②数列的第k－1项是 ；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
2．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，则a2＋a3＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．(2024·山东枣庄高二期末)已知数列1，，，，3，，…，，…，则3是这个数列的( )
A．第21项 B．第23项
C．第25项 D．第27项
4．(2024·江西景德镇高二期末)已知数列{an}为1，－2，4，－8，16，－32，…，则它的一个通项公式可能是( )
A．an＝(－1)n·2n
B．an＝(－1)n·2n－1
C．an＝(－1)n＋1·2n
D．an＝(－1)n＋1·2n－1
5．(2024·江西抚州高二期中)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a5＝( )
A． B． C． D．
6．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N*，则a2 024＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
二、多项选择题
7．数列2，0，2，0，…的通项公式可以是( )
A．an＝1－(－1)n，n∈N*
B．an＝，n∈N*
C．an＝ n∈N*
D．an＝(1－cos nπ)，n∈N*
8．数列{an}的通项公式为an＝则( )
A．a3＝7 B．a3＝10
C．a2a3＝20 D．a2a3＝70
三、填空题
9．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n，a1＝1，则a3＝ ．
10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6，那么该数列从第 项开始各项都是正数．
11．将正偶数按下表排列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
… … 30 28 26
则2 024在第 行第 列．
12．若数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 024＝ ．
四、解答题
13．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
(2)2，3，5，9，17，33，…；
(3)，，，，…；
(4)1，，2，，…；
(5)－，，－，，….
14．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
(1)2 027是数列{an}的第几项？
(2)135，4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
(3)若as，at(s，t∈N＋)是数列{an}中的项，那么2as＋3at是数列{an}中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
15．如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下5个圆环所需的最少移动次数为( )
A．5 B．10 C．21 D．42
16．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
图1
图2
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图2中的1，4，9，16，…这样的数称为正方形数．写出一个既是三角形数又是正方形数的数： ．
