第二章章末评估
(总分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一质点做直线运动，若它的位移(单位：m)与时间(单位：s)的关系为s(t)＝t3＋1，设其在时间段[1，2]内的平均速度为v1 m/s，在t＝2 s时的瞬时速度为v2 m/s，则＝ ( B )
A． B． C． D．
解析：由题意，该质点在时间段[1，2]内的平均速度v1＝＝＝(m/s).因为s′(t)＝t2，所以s′(2)＝4，即该质点在t＝2 s时的瞬时速度v2＝4 m/s，所以＝.
2．函数f(x)＝ln x－x2的导函数为f′(x)，则f′(x)>0的解集为( B )
A． B．
C． D．(0，＋∞)
解析：由题意得x＞0，f′(x)＝－2x＝＞0，即2x2－1<0，得0＜x＜.故选B.
3．函数f(x)＝－x3＋x2在区间[0，4]上的最大值是( C )
A．0 B．－ C． D．
解析：因为f(x)＝－x3＋x2，所以f′(x)＝－x2＋2x，令f′(x)＝0 x＝0或x＝2，又x∈[0，4]，所以当x∈[0，2)时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递增，当x∈(2，4]时，f′(x)<0，所以f(x)在(2，4]上单调递减，所以函数有极大值，也是最大值，f(2)＝－×23＋22＝，所以函数在[0，4]上的最大值是.故选C.
4．已知函数f(x)＝x3－的一个极值点为1，则 ＝( D )
A．6 B． C．3 D．
解析：由f(x)＝x3－，得f′(x)＝x2＋，因为f(x)＝x3－的一个极值点为1，所以f′(1)＝1＋a＝0，解得a＝－1，经检验a＝－1满足题意，当a＝－1时，f′(x)＝x2－，因为 ＝3× ，而 ＝f′()＝，所以 ＝3×＝.故选D.
5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋>0恒成立，则实数m的取值范围是( B )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)
C．(－∞，4] D．(－∞，4)
解析：由题意，函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，则f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝3.当x∈(－∞，3)时，f′(x)≤0，函数f(x)在(－∞，3)上单调递减，当x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增，所以当x＝3时，函数f(x)取得极小值，也是最小值，f(3)＝3m－.因为不等式f(x)＋＞0恒成立，所以3m－＋＞0恒成立，解得m>4.故选B.
6．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3，1]上不单调，则f(x)在R上的极小值为( A )
A．2b－ B．b－
C．0 D．b2－b3
解析：由题意，得f′(x)＝(x－b)(x－2).因为f(x)在区间[－3，1]上不单调，所以－30，得x>2或x7．函数f(x)＝x2－cos x，则满足不等式f(2x＋1)>f(3x＋1)的实数x的取值范围是( D )
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
解析：f′(x)＝x＋sin x，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝1＋cos x，因为g′(x)＝1＋cos x≥0在R上恒成立，所以f′(x)＝x＋sin x在R上单调递增．又f′(0)＝0，故当x>0时，f′(x)＝x＋sin x>0，当x<0时，f′(x)＝x＋sin x<0，所以f(x)＝x2－cos x在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．又2x＋1>1，3x＋1>1，由f(2x＋1)>f(3x＋1)，得到2x＋1>3x＋1，解得x<0，所以满足不等式f(2x＋1)>f(3x＋1)的实数x的取值范围是(－∞，0).故选D.
8．已知f(x)＝若关于x的方程2[f(x)]2－k·f(x)－1＝0有5个不同的实根，则实数k的取值范围为( A )
A．
B．
C．∪
D．∪
解析：当x≥0时，f(x)＝，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且f(0)＝0，f(1)＝，当x→＋∞时，f(x)→0.当x<0时，f(x)＝3x－x3，f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝－1，所以当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且f(－1)＝－2，当x→－∞时，f(x)→＋∞.作出f(x)在R上的图象，如图．
令f(x)＝t，则关于x的方程2[f(x)]2－k·f(x)－1＝0有5个不同的实根，可转化为2t2－kt－1＝0有两个不同的实根t1，t2，且t1t2＝－<0.不妨设t1＜t2，则令g(t)＝2t2－kt－1，则解得－＜k＜－e.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知命题p：“ x∈(0，＋∞)，x＋1≥ex”，下列说法正确的是( BD )
A．p为真命题
B．p为假命题
C．p的否定： x∈(0，＋∞)，x＋1≥ex
D．p的否定： x∈(0，＋∞)，x＋1解析：命题p：“ x∈(0，＋∞)，x＋1≥ex”，设f(x)＝ex－x－1，x＞0，则f′(x)＝ex－1，所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)>f(0)＝0，即ex>x＋1在(0，＋∞)上恒成立，故命题p为假命题，则B正确；p的否定： x∈(0，＋∞)，x＋110．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x(a∈R)，则( BD )
A．当a＝0时，函数f(x)的极大值为－
B．若函数f(x)图象的对称中心为(1，f(1))，则a＝－1
C．若函数f(x)在R上单调递增，则a≥1或a≤－1
D．函数f(x)必有3个零点
解析：对于A，当a＝0时，f(x)＝x3－x，则f′(x)＝x2－1，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－1)＝－＋1＝，故A错误；对于B，因为函数f(x)图象的对称中心为(1，f(1))，所以有f(1＋x)＋f(1－x)＝2f(1) (a＋1)x2＝0 a＝－1，故B正确；对于C，由题意，f′(x)＝x2＋2ax－1≥0恒成立，显然f′(x)＝0必有两根x1，x2(x111．(2024·福建泉州五中高二期中)f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则( AC )
A．f(1)<4f(2)
B．f(－1)<4f(－2)
C．4f(2)<9f(3)
D．4f(－2)<9f(－3)
解析：令g(x)＝x2f(x)，∵当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，∴当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0，∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数，∴g(x)＝x2f(x)为R上的奇函数，∴g(x)在R上单调递增．由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确；由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B错误；由g(2)g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D错误．故选AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋3在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＋m＝6．
解析：∵f(x)＝a cos x，g(x)＝x2＋bx＋3，∴f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b.∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋3在交点(0，m)处有公切线，
∴m＝f(0)＝a＝g(0)＝3且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，即a＝m＝3，b＝0，∴a＋b＋m＝3＋0＋3＝6.
13．水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，则当水深10 m时，水面上升的速度为 m/min．
解析：如图，设容器中水的体积在t min时为V m3，水深为h m，
则V＝20t，V＝πr2h(r如图所示).
由图知＝，∴r＝h，
∴V＝π··h3＝h3，
∴20t＝h3，∴h＝，
于是h′＝··t－，
当h＝10时，t＝，此时h′＝，∴当水深10 m时，水面上升的速度为 m/min.
14．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝x2－ln x＋a，若 x1，x2∈[1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是．
解析：由f(x)＝x＋，得f′(x)＝1－＝，当x∈[1，2]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)≤f(1)，即4≤f(x)≤5.由g(x)＝x2－ln x＋a，得g′(x)＝x－＝，当x∈[1，2]时，g′(x)≥0且不恒为0，g(x)单调递增，所以当x∈[1，2]时，g(1)≤g(x)≤g(2)，即＋a≤g(x)≤2－ln 2＋a.因为 x1, x2∈[1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以 解得2＋ln 2≤a≤，故实数a的取值范围是[2＋ln 2，].
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·陕西商洛高二期末)已知函数f(x)＝x3－x2－8x＋9.
(1)求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在[－1，3]上的最值．
解：(1)f(1)＝1－1－8＋9＝1，f′(x)＝3x2－2x－8，f′(1)＝3－2－8＝－7，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－7(x－1)，即7x＋y－8＝0.
(2)f′(x)＝3x2－2x－8＝(x－2)(3x＋4)，
当－1≤x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当20，f(x)单调递增．
所以函数f(x)在[－1，3]上有极小值f(2)＝8－4－16＋9＝－3，而f(－1)＝－1－1＋8＋9＝15，f(3)＝27－9－24＋9＝3，所以函数f(x)在[－1，3]上的最小值为－3，最大值为15.
16．(15分)已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝ex－2x－1，
则f′(x)＝ex－2，
令f′(x)＝ex－2>0，得x>ln 2，
令f′(x)＝ex－2<0，得x所以f(x)的单调递增区间为(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln 2).
(2)f(x)在R上为增函数等价于f′(x)＝ex－a≥0在R上恒成立．又f′(x)＝ex－a在R上为增函数，ex>0，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0].
17．(15分)已知函数f(x)＝x2＋a ln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，
因此函数f(x)在(0，1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
因此函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
故x＝1是f(x)的极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值.
(2)证明：若a＝1，则f(x)＝x2＋ln x，
设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝
＝(x＞0).显然由2x2＋x＋1＝2＋＞0及x>0可知，当x>1时，F′(x)<0，故F(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－<0，所以在区间[1，＋∞)上，F(x)≤F(1)<0，即F(x)<0恒成立，即f(x)18．(17分)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当a<0时，求证：f(x)≤－－2.
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝ln x－x2－x，f(x)的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－2x－1＝＝－，故当x∈时，
f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
故f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，＋∞).
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(3)证明：由(2)知，当a<0时，f(x)在x＝－取得最大值，最大值为f＝ln －1－，所以f(x)≤－－2等价于ln －1－≤－－2，
即ln ＋＋1≤0，设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1，当x∈(0，1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0，所以当x>0时，g(x)≤0，从而当a<0时，ln ＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.
19．(17分)若函数f(x)，g(x)与h(x)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)，则称函数h(x)为f(x)和g(x)在区间D上的隔离函数．
(1)若f(x)＝x，g(x)＝－2x，h(x)＝2x2＋3，D＝[1，2]，判断h(x)是否为f(x)和g(x)在区间D上的隔离函数，并说明理由；
(2)若f(x)＝ex－1，h(x)＝kx，且f(x)≥h(x)在R上恒成立，求k的值；
(3)若f(x)＝ex，g(x)＝＋1，h(x)＝kx＋b(k，b∈R)，D＝(0，＋∞)，求证：b＝k－1是h(x)为f(x)和g(x)在(0，＋∞)上的隔离函数的必要条件．
解：(1)h(x)是f(x)和g(x)在区间D上的隔离函数．理由如下：因为f(x)＝x，g(x)＝－2x，h(x)＝2x2＋3，所以f(x)－h(x)＝x－(2x2＋3)＝－2(x－)2＋，f(x)－h(x)在上单调递增，在上单调递减，又f(1)－h(1)＝，f(2)－h(2)＝0，当x＝2时，f(x)－h(x)在D上取到最小值0，故 x∈[1，2]，f(x)≥h(x).又h(x)－g(x)＝2x2＋3＋2x＝2≥0，所以h(x)≥g(x).综上，h(x)是f(x)和g(x)在区间D上的隔离函数．
(2)设φ(x)＝ex－1－kx，x∈R，则φ′(x)＝ex－k，因为φ(x)≥0＝φ(0)，则x＝0是φ(x)的极小值点，也是最小值点，
所以φ′(0)＝1－k＝0，即k＝1.当k＝1时，φ(x)＝ex－1－x，φ′(x)＝ex－1，
当x>0时，φ′(x)>0；当x<0时，φ′(x)<0，所以φ(x)≥φ(0)＝0，即ex≥x＋1恒成立(当且仅当x＝0时取等号)，
故k＝1.
(3)证明：设F(x)＝ex－，x∈(0，＋∞)，由(2)得ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)，
所以F(x)＝ex－＝[xex－(x＋ln x＋1)]＝[ex＋ln x－(x＋ln x＋1)]≥[x＋ln x＋1－(x＋ln x＋1)]＝0，当且仅当x＋ln x＝0时取等号．设G(x)＝x＋ln x，x∈(0，＋∞)，则G′(x)＝1＋>0，所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增，又G(1)＝1>0，G(e－1)＝e－1－1<0，
所以存在x0∈(e－1，1)使得G(x0)＝0，即x0＋ln x0＝0，则x0＝ln ，ex0＝，
又F(x0)＝0，则ex0＝＋1，
结合条件可得ex0≥kx0＋b≥＋1＝ex0，所以kx0＋b＝ex0.
设H(x)＝ex－kx－b，x∈(0，＋∞)，则H(x0)＝0，H′(x)＝ex－k，又H(x)≥0＝H(x0)，则x0是H(x)的极小值点，
所以H′(x0)＝ex0－k＝0，即k＝ex0，
结合ex0＝，kx0＋b＝ex0，得1＋b＝k，故b＝k－1，所以b＝k－1是h(x)为f(x)和g(x)在(0，＋∞)上的隔离函数的必要条件．第二章章末评估
(总分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一质点做直线运动，若它的位移(单位：m)与时间(单位：s)的关系为s(t)＝t3＋1，设其在时间段[1，2]内的平均速度为v1 m/s，在t＝2 s时的瞬时速度为v2 m/s，则＝ ( )
A． B． C． D．
2．函数f(x)＝ln x－x2的导函数为f′(x)，则f′(x)>0的解集为( )
A． B．
C． D．(0，＋∞)
3．函数f(x)＝－x3＋x2在区间[0，4]上的最大值是( )
A．0 B．－ C． D．
4．已知函数f(x)＝x3－的一个极值点为1，则 ＝( )
A．6 B． C．3 D．
5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)
C．(－∞，4] D．(－∞，4)
6．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3，1]上不单调，则f(x)在R上的极小值为( )
A．2b－ B．b－
C．0 D．b2－b3
7．函数f(x)＝x2－cos x，则满足不等式f(2x＋1)>f(3x＋1)的实数x的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
8．已知f(x)＝若关于x的方程2[f(x)]2－k·f(x)－1＝0有5个不同的实根，则实数k的取值范围为( )
A．
B．
C．∪
D．∪
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知命题p：“ x∈(0，＋∞)，x＋1≥ex”，下列说法正确的是( )
A．p为真命题
B．p为假命题
C．p的否定： x∈(0，＋∞)，x＋1≥ex
D．p的否定： x∈(0，＋∞)，x＋110．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x(a∈R)，则( )
A．当a＝0时，函数f(x)的极大值为－
B．若函数f(x)图象的对称中心为(1，f(1))，则a＝－1
C．若函数f(x)在R上单调递增，则a≥1或a≤－1
D．函数f(x)必有3个零点
11．(2024·福建泉州五中高二期中)f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则( )
A．f(1)<4f(2)
B．f(－1)<4f(－2)
C．4f(2)<9f(3)
D．4f(－2)<9f(－3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋3在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＋m＝ ．
13．水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，则当水深10 m时，水面上升的速度为 ．
14．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝x2－ln x＋a，若 x1，x2∈[1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·陕西商洛高二期末)已知函数f(x)＝x3－x2－8x＋9.
(1)求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在[－1，3]上的最值．
16．(15分)已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
17．(15分)已知函数f(x)＝x2＋a ln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
18．(17分)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当a<0时，求证：f(x)≤－－2.
19．(17分)若函数f(x)，g(x)与h(x)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)，则称函数h(x)为f(x)和g(x)在区间D上的隔离函数．
(1)若f(x)＝x，g(x)＝－2x，h(x)＝2x2＋3，D＝[1，2]，判断h(x)是否为f(x)和g(x)在区间D上的隔离函数，并说明理由；
(2)若f(x)＝ex－1，h(x)＝kx，且f(x)≥h(x)在R上恒成立，求k的值；
(3)若f(x)＝ex，g(x)＝＋1，h(x)＝kx＋b(k，b∈R)，D＝(0，＋∞)，求证：b＝k－1是h(x)为f(x)和g(x)在(0，＋∞)上的隔离函数的必要条件．
