阶段训练【§1～§5】
一、单项选择题
1．如图所示，函数y＝f(x)的图象经过A，B两点，则函数f(x)在这两点之间的平均变化率是( B )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
解析：依题意可知Δx＝xB－xA＝3－1＝2，Δy＝yB－yA＝1－3＝－2，所以函数f(x)在[xA，xB]上的平均变化率是＝＝－1.
2．下列说法正确的是( D )
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，但f′(x0)不一定存在
解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A，B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C错误，D正确．
3．(2024·广东潮州高二期末)若(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝( C )
A．4 B．8
C．80 D．3 125
解析：两边同时求导得5(x＋1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4.令x＝1，则5×24＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝80.故选C.
4．(2024·山西临汾高二期末)若曲线f(x)＝a cos x＋b sin x在x＝处的切线方程为y＝4x＋2－π，则＝( A )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析：f′(x)＝－a sin x＋b cos x，由题意，得f′＝－a sin ＋b cos ＝4，整理，得－a＋b＝4①，由切线经过，得f＝a cos ＋b sin ＝2，整理，得a＋b＝2②，联立①②解得a＝－，b＝3，故 ＝－3.故选A.
5．(2024·湖南长沙雅礼中学高二月考)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率是( B )
A．1 B．2
C．e D．－e－2－1
解析：方法一 当x>0时，－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，对应的导函数为f′(x)＝ex－1＋1，所以f′(1)＝2，即所求的切线的斜率是2.故选B.
方法二 因为f(x)为偶函数，所以点(1，2)关于y轴的对称点(－1，2)在f(x)的图象上．因为f′(x)＝－e－x－1－1(x≤0)，所以f′(－1)＝－2.因为f(x)为偶函数，所以f(x)的图象在关于y轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，所以曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率是2.
6．已知函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( A )
A B
C D
解析：f′(x)＝x－sin x，则易知f′(x)是奇函数，排除B，D.又当x＝时，f′(x)＝－＜0，排除C.故选A.
二、多项选择题
7．设函数f(x)＝cos x，则下列说法正确的是( BC )
A．′＝－1
B．′＝
C．曲线f(x)在点处的切线方程为x＋y－＝0
D．[xf(x)]′＝cos x＋x sin x
解析：因为f(x)＝cos x，所以f()＝cos ＝0，所以′＝0，故A错误；因为f(x)＝cos x，所以＝，所以′＝，故B正确；因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，所以f′＝－sin ＝－1，所以曲线f(x)在点处的切线方程为x＋y－＝0，故C正确；[xf(x)]′＝(x cos x)′＝cos x－x sin x，故D错误．
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的导函数为f′(x)，则( ACD )
A．若f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数
B．若f′(0)＝0，则f(x)为奇函数
C．若f′(x)的最小值为0，则a2＝3b
D．若f′(x)为偶函数，则f(x)为奇函数
解析：由题意得，对于A，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即－x3＋ax2－bx＝－x3－ax2－bx，故a＝0，又因为f′(x)＝3x2＋b，f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，故A正确；对于B，若f′(0)＝0，又因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，则b＝0，故f(x)＝x3＋ax2，f(－x)＝－x3＋ax2，当a＝0时，f(－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数，当a≠0时，f(－x)≠－f(x)，f(x)不是奇函数，所以f(x)不一定是奇函数，故B错误；对于C，若f′(x)的最小值为0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3－＋b，所以f′(x)min＝－＋b＝0，则a2＝3b，故C正确；对于D，若f′(x)为偶函数，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(－x)＝3x2－2ax＋b，由f′(－x)＝f′(x)，解得a＝0，故f(x)＝x3＋bx，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故D正确．
三、填空题
9．曲线y＝2ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x．
解析：因为y＝2ln (x＋1)，所以y′＝.
当x＝0时，y′＝2，
所以曲线y＝2ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.
10．设P是函数f(x)＝x3－f′(1)x＋f′(2)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是∪．
解析：∵f(x)＝x3－f′(1)x＋f′(2)，
∴f′(x)＝3x2－f′(1)，
∴f′(1)＝3－f′(1)，∴f′(1)＝2，
∴f′(x)＝3x2－1≥－1，∴tan α≥－1.
又∵α∈[0，π)，∴0≤α<或 ≤α<π.
11．(2024·湖北荆州沙市中学高二阶段练习)在平面直角坐标系中，P是曲线x2＝4y上的一个动点，则点P到直线x＋y＋4＝0的距离的最小值是．
解析：设直线x＋y＋b＝0与y＝x2相切，则切线的斜率为－1，且y′＝x，令y′＝x＝－1，则x＝－2，即切点的横坐标为－2，将x＝－2，代入y＝x2，可得y＝1，即切点坐标为(－2，1)，所以点P到直线x＋y＋4＝0的距离的最小值即为(－2，1)到直线x＋y＋4＝0的距离，
即d＝＝.
12．已知曲线f(x)＝x3＋，则曲线f(x)过点P(2，4)的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0．
解析：设过点P的切线的切点为M(x0，y0)(不能以为点P(2，4)在曲线f(x)上，就认为点P必为切点).由f(x)＝x3＋，得f′(x)＝x2，则切线的斜率k＝f′(x0)＝x，所以过M(x0，y0)的切线方程为y－＝x(x－x0).
因为点P(2，4)在切线上，
所以4－＝x(2－x0)，整理得x－3x＋4＝0，即(x0＋1)·(x0－2)2＝0，解得x0＝2或x0＝－1，所以k＝4或k＝1.故切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
四、解答题
13．(2024·山东日照高二期中)在①f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；②f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)的图象在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：选择条件①.
(1)依题意，设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知得
解得
所以f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由(1)知f(1)＝1，所以f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－3(x－1).
当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×4×＝.
选择条件②.
(1)依题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
由x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，
得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1.
因为上式对任意x都成立，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
(2)由(1)知f′(x)＝4x＋2，则f′(1)＝6.
又f(1)＝5，
所以切线方程为y－5＝6(x－1).
当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝××1＝.
14．已知函数f(x)＝(ax＋1)ex.
(1)当a＝1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若曲线f(x)有两条过点(0，0)的切线，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)ex，
切点为(0，1)，f′(x)＝(x＋2)ex，切线斜率k＝f′(0)＝2，切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
(2)设切点为(x0，(ax0＋1)ex0)，
由f′(x)＝(ax＋a＋1)ex知，
＝(ax0＋a＋1)ex0，整理，得ax＋x0－1＝0①，
因为过点(0，0)的切线有两条，所以①式有两个不等实根，所以有
即a∈∪(0，＋∞).
15．(2024·湖南郴州高二期末)已知函数f(x)＝ex－b和g(x)＝－b2，其中a，b为常数且b>0.
(1)当b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若存在斜率为1的直线与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，求a＋b的取值范围．
解：(1)当b＝1时，f(x)＝ex－1，当x＝1时，切点为(1，e－1).
因为f′(x)＝ex，切线斜率为f′(1)＝e，
所以切线方程为y－(e－1)＝e(x－1)，
即ex－y－1＝0.
(2)f(x)＝ex－b的定义域为R，g(x)＝－b2的定义域为[－a，＋∞)，
且f′(x)＝ex，g′(x)＝，设曲线y＝f(x)在点A(x1，ex1－b)处的切线斜率为1，则ex1＝1，所以x1＝0，则点A(0，1－b)，设曲线y＝g(x)在点B(x2，－b2)处的切线斜率为1，则 ＝1，所以x2＝－a，则点B(－a，－b2)，易得A，B两点不重合．直线AB的斜率为 ＝1，所以a＝b2－b＋，由于b>0，则a＋b＝b2＋>，所以a＋b的取值范围为.阶段训练【§1～§5】
一、单项选择题
1．如图所示，函数y＝f(x)的图象经过A，B两点，则函数f(x)在这两点之间的平均变化率是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，但f′(x0)不一定存在
3．(2024·广东潮州高二期末)若(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝( )
A．4 B．8
C．80 D．3 125
4．(2024·山西临汾高二期末)若曲线f(x)＝a cos x＋b sin x在x＝处的切线方程为y＝4x＋2－π，则＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
5．(2024·湖南长沙雅礼中学高二月考)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率是( )
A．1 B．2
C．e D．－e－2－1
6．已知函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
A B
C D
二、多项选择题
7．设函数f(x)＝cos x，则下列说法正确的是( )
A．′＝－1
B．′＝
C．曲线f(x)在点处的切线方程为x＋y－＝0
D．[xf(x)]′＝cos x＋x sin x
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的导函数为f′(x)，则( )
A．若f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数
B．若f′(0)＝0，则f(x)为奇函数
C．若f′(x)的最小值为0，则a2＝3b
D．若f′(x)为偶函数，则f(x)为奇函数
三、填空题
9．曲线y＝2ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为 ．
10．设P是函数f(x)＝x3－f′(1)x＋f′(2)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 ．
11．(2024·湖北荆州沙市中学高二阶段练习)在平面直角坐标系中，P是曲线x2＝4y上的一个动点，则点P到直线x＋y＋4＝0的距离的最小值是 ．
即d＝＝.
12．已知曲线f(x)＝x3＋，则曲线f(x)过点P(2，4)的切线方程为 ．
四、解答题
13．(2024·山东日照高二期中)在①f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；②f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)的图象在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
14．已知函数f(x)＝(ax＋1)ex.
(1)当a＝1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若曲线f(x)有两条过点(0，0)的切线，求a的取值范围．
15．(2024·湖南郴州高二期末)已知函数f(x)＝ex－b和g(x)＝－b2，其中a，b为常数且b>0.
(1)当b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若存在斜率为1的直线与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，求a＋b的取值范围．
