全册综合评估二
(总分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝(ax＋1)ex在x＝0处的瞬时变化率为－1，则a＝( D )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
解析：因为y＝(ax＋1)ex，所以y′＝(ax＋a＋1)ex.因为函数y＝(ax＋1)ex在x＝0处的瞬时变化率为－1，所以当x＝0时，y′＝a＋1＝－1，解得a＝－2.故选D.
2．若等差数列{an}满足an>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为( A )
A．4 B．6 C．8 D．10
解析：已知等差数列{an}满足an>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.又因为a2＋a7≥2，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.
3．已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示，则( B )
A．g′(－1)<0B．0C．f′(－1)<0D．f′(3)>g′(3)
解析：由题图可知，f(x)与g(x)在区间[－1，3]上均单调递增，所以g′(－1)＞0，f′(－1)>0，故A，C错误；显然f(x)在x＝3处的切线斜率小于g(x)在x＝3处的切线斜率，即0＜f′(3)＜g′(3)，故D错误；f(x)在x＝－1处的切线斜率小于g(x)在x＝－1处的切线斜率，即0＜f′(－1)＜g′(－1)，故B正确．故选B.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a4＝，S6＝9S3.若bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和是( C )
A．－35 B．－25 C．25 D．35
解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1，则
解得所以an＝×2n－1＝2n－3，所以bn＝log2an＝n－3，所以数列{bn}的前10项和T10＝＝5×(－2＋7)＝25.故选C.
5．已知数列{an}为等差数列，其首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，其首项为1，公比为2.设cn＝abn，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2 024时，n的取值可以是下列选项中的( A )
A．9 B．10 C．11 D．12
解析：因为数列{an}为等差数列，其首项为1，公差为2，所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.因为数列{bn}为等比数列，其首项为1，公比为2，所以bn＝1·2n－1＝2n－1，
所以cn＝2·2n－1－1＝2n－1，则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－n＝2n＋1－2－n.因为对任意的n∈N＋，cn>0，所以数列{Tn}单调递增，因为T9＝210－2－9＝1 024－11＝1 013<2 024，T10＝211－2－10＝2 048－12＝2 036>2 024，所以当Tn<2 024时，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．故选A.
6．已知函数f(x)＝2sin x－sin x，则当x∈(0，2π)时，函数f(x)一定有( A )
A．极大值，且极大值为
B．极小值，且极小值为
C．极大值，且极大值为0
D．极小值，且极小值为0
解析：f(x)＝2sin x－sin x f′(x)＝cos x－cos x＝cos x－2cos2x＋1，f′(x)＝－(2cosx＋1)(cos x－1).
因为x∈(0，2π)，所以 x∈(0，π)，当00，f(x)单调递增，此时07．若数列{an}对任意连续三项ai，ai＋1，ai＋2，均有(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)>0，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是( C )
A．存在等差数列{an}是“跳跃数列”
B．存在公比大于零的等比数列{an}是“跳跃数列”
C．若等比数列{an}是“跳跃数列”，则公比q∈(－1，0)
D．若数列{an}满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}是“跳跃数列”
解析：若数列{an}是等差数列，设公差为d，则(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝－2d2≤0，所以不存在等差数列{an}是“跳跃数列”，故A错误；若数列{an}是等比数列，设公比为q，则(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝－aq·(1－q)2(1＋q)，当q>0时，(ai－ai＋2)·(ai＋2－ai＋1)＝－aq(1－q)2(1＋q)≤0，故B错误；由(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝－aq(1－q)2(1＋q)>0，得q∈(－1，0)，故C正确；因为an＋1＝2an＋1，所以an＋2＝2an＋1＋1＝4an＋3，所以(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝(ai－4ai－3)(4ai＋3－2ai－1)＝(－3ai－3)(2ai＋2)＝－6(ai＋1)2≤0，故D错误．故选C.
8．函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为( D )
A．(2－6，0) B．(2－6，0)
C．(－2，0) D．(2－6，0)
解析：作出函数f(x)＝的图象，如图所示(实线部分).
因为g(x)＝kx－3k过定点(3，0)，设过点(3，0)与y＝4－x2相切的直线为l，且切点为P(x0，4－x)，因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，则切线方程为y－4＋x＝－2x0(x－x0).将(3，0)代入切线方程，求得x0＝3－或x0＝3＋(舍去)，所以切线的斜率为k＝2－6.因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，由图象知实数k的取值范围为(2－6，0).故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数f(x)＝a ln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( BCD )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
解析：因为函数f(x)＝a ln x＋＋(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实根x1，x2，则即所以故选BCD.
10．若定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则称函数f(x)为“H函数”，则下列函数是“H函数”的有( BC )
A．f(x)＝－x3＋x＋1
B．f(x)＝3x－2(sin x－cos x)
C．f(x)＝ex＋1
D．f(x)＝
解析：由题意可知f(x)是R上的增函数．对于A，由f′(x)＝－3x2＋1>0，得－0恒成立，故B中函数是“H函数”；对于C，f′(x)＝ex>0恒成立，故C中函数是“H函数”；对于D，f(x)为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”．
11．被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处．由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯．其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险．某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为an，下列结论正确的是( ABD )
A．a6＝13
B．3an＋1＝an－1＋an＋3
C．i＝51
D．＝a2 024a2 025－1
解析：对于A，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为an，则有an＝an－1＋an－2，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，…，故A正确；对于B，3an＋1＝an＋1＋an＋1＋an＋1＝an－1＋an＋an＋2－an＋an＋3－an＋2＝an－1＋an＋3，故B正确；对于C，结合A分析知i＝53，故C错误；对于D，a＝1，a＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，a＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2，…，a＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－anan－1，
可得＝anan＋1－1，故＝a2 024a2 025－1，故D正确．故选ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S3＝，a3＝，则公比q＝1或－．
解析：设等比数列{an}的公比为q.①当q＝1时，S3＝＝×3，满足条件．②当q≠1时，有解得综上，q＝1或q＝－.
13．曲线y＝sin 2x在原点(0，0)处的切线方程为y＝2x，请你写出一个与曲线y＝sin 2x在原点(0，0)处具有相同切线的曲线的方程：y＝x3＋2x(答案不唯一)．
解析：函数y＝sin 2x的导函数为y′＝2cos 2x，当x＝0时，y＝0，y′＝2，所以曲线y＝sin 2x在原点(0，0)处的切线方程为y＝2x.与曲线y＝sin 2x在原点(0，0)处具有相同切线的曲线的方程可以是y＝x3＋2x，证明如下：y′＝3x2＋2，当x＝0时，y＝0，y′＝2，所以曲线y＝x3＋2x在原点(0，0)处的切线方程为y＝2x.(答案不唯一)
14．已知函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)，当x2>x1时，不等式<恒成立，则实数a的取值范围为．
解析：由题可知，当x2>x1时，不等式x1f(x1)－ax0，m(x)单调递增．所以2a≤m(x)min＝m(1)＝e，所以a≤，即实数a的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋1.
(1)求函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[－3，4]上的最大值和最小值．
解：(1)易知，函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋1的定义域为R，所以f(－1)＝－－2－3＋1＝－，则切点为.又f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，则函数f(x)的图象在点处的切线斜率k＝f′(－1)＝8，所以切线方程为y＋＝8(x＋1)，整理可得y＝8x＋，即函数f(x)的图象在点处的切线方程为y＝8x＋.
(2)由(1)可知，当x∈(1，3)时，f′(x)<0，f(x)在(1，3)上单调递减；
当x∈[－3，1)∪(3，4]时，f′(x)>0，
f(x)在[－3，1)和(3，4]上单调递增；
当x在[－3，4]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x [－3，1) 1 (1，3) 3 (3，4]
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)的极大值为f(1)＝－2＋3＋1＝，极小值为f(3)＝9－2×9＋9＋1＝1.又f(－3)＝－9－2×9－9＋1＝－35，f(4)＝－2×16＋3×4＋1＝.综上可得，函数f(x)在[－3，4]上的最大值为 ，最小值为－35.
16．(15分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足a＋an－2Sn＝0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{bn}的前n项和为Tn，若bn＝(2an－7)·2n，求Tn；
(3)求数列{Tn}的最小项．
解：(1)由a＋an－2Sn＝0，得a＋an＋1－2Sn＋1＝0，两式相减，得(a－a)＋(an＋1－an)－2(Sn＋1－Sn)＝0，即(a－a)＋(an＋1－an)－2an＋1＝0，
化简，得(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.因为数列{an}为正项数列，所以an＋1＋an>0，得an＋1－an＝1，由a＋an－2Sn＝0，令n＝1，得a＋a1－2a1＝0.又a1>0，所以a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)可得bn＝(2n－7)·2n，Tn＝(－5)×21＋(－3)×22＋(－1)×23＋…＋(2n－7)×2n，2Tn＝(－5)×22＋(－3)×23＋(－1)×24＋…＋(2n－7)×2n＋1，两式相减，得－Tn＝(－5)×2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n－7)·2n＋1，所以－Tn＝－10＋－(2n－7)·2n＋1，
化简，得Tn＝(2n－9)·2n＋1＋18.
(3)Tn＋1－Tn＝(2n－7)·2n＋2＋18－(2n－9)·2n＋1－18＝(2n－5)·2n＋1，当n≤2时，Tn＋1Tn，即T1>T2>T317．(15分)已知数列{an}满足a1＝2，数列{an＋1－an}是以4为首项，2为公差的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Sn，求证：≤Sn<1.
解：(1)由题意得an＋1－an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，则an－an－1＝2n，n≥2，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，当n≥2时，an＝2n＋(2n－2)＋…＋6＋4＋2＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝n2＋n，当n＝1时，也符合上式，故an＝n2＋n.
(2)证明：因为 ＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋(－)＝1－.又因为Sn在N*上单调递增，且0<≤，所以≤Sn<1.
18．(17分)已知函数f(x)＝a ln x＋x2－(a∈R).
(1)若a＝－4，求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，求a的最小值．
解：(1)若a＝－4，则f(x)＝－4ln x＋x2－ f′(x)＝x－(x>0)，
所以
故函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－3(x－1) 3x＋y－3＝0.
(2)由f(x)＝a ln x＋x2－ f′(x)＝＋x＝(x>0)，
若a≥0，则f′(x)>0恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
若a<0，则f′(x)＝(x>0)，
所以x>时，f′(x)>0，0即f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，).
(3)由(2)可知，当a≥0时，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
此时f(x)≥f(1)＝0，符合题意；
当a<0时，
①若≤1，即a∈[－1，0)时，此时仍有f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(1)＝0，符合题意；
②若>1，即a∈(－∞，－1)时，此时有f(x)在[1，)上单调递减，
所以f()综上a∈[－1，＋∞)满足题意．
故a的最小值为－1.
19．(17分)设数列{an}的前n项和为Sn，若≤≤2(n∈N*)，则称{an}是“紧密数列”．
(1)若an＝，判断{an}是不是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn＝(n2＋3n)，判断{an}是不是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列．若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．
解：(1)数列{an}不是“紧密数列”，理由如下：a1＝，a2＝，a3＝，∵＝<，所以{an}不是“紧密数列”．
(2)数列{an}为“紧密数列”，理由如下：
数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋3n)(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝×(1＋3)＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝n＋，
又＋＝1＝a1，即a1＝1满足an＝n＋，因此an＝n＋(n∈N*)，所以对任意n∈N*，＝＝＝1＋，所以≤＝1＋≤2，因此数列{an}为“紧密数列”．
(3)因为数列{an}是公比为q的等比数列，设前n项和为Tn，当q＝1时，有an＝a1，Sn＝na1，所以≤＝1≤2，≤＝＝1＋≤2，满足题意；
当q≠1时．an＝a1qn－1，Sn＝，
因为{an}为“紧密数列”，所以≤＝q≤2，即≤q<1或1＝1，
＝≤＝＝1＋qn<2，所以≤＝≤2，满足{Sn}为“紧密数列”；当12，不满足{Sn}为“紧密数列”；综上，q的取值范围是.全册综合评估二
(总分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝(ax＋1)ex在x＝0处的瞬时变化率为－1，则a＝( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
2．若等差数列{an}满足an>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示，则( )
A．g′(－1)<0B．0C．f′(－1)<0D．f′(3)>g′(3)
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a4＝，S6＝9S3.若bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和是( )
A．－35 B．－25 C．25 D．35
5．已知数列{an}为等差数列，其首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，其首项为1，公比为2.设cn＝abn，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2 024时，n的取值可以是下列选项中的( )
A．9 B．10 C．11 D．12
6．已知函数f(x)＝2sin x－sin x，则当x∈(0，2π)时，函数f(x)一定有( )
A．极大值，且极大值为
B．极小值，且极小值为
C．极大值，且极大值为0
D．极小值，且极小值为0
7．若数列{an}对任意连续三项ai，ai＋1，ai＋2，均有(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)>0，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是( )
A．存在等差数列{an}是“跳跃数列”
B．存在公比大于零的等比数列{an}是“跳跃数列”
C．若等比数列{an}是“跳跃数列”，则公比q∈(－1，0)
D．若数列{an}满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}是“跳跃数列”
8．函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为( )
A．(2－6，0) B．(2－6，0)
C．(－2，0) D．(2－6，0)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数f(x)＝a ln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
10．若定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则称函数f(x)为“H函数”，则下列函数是“H函数”的有( )
A．f(x)＝－x3＋x＋1
B．f(x)＝3x－2(sin x－cos x)
C．f(x)＝ex＋1
D．f(x)＝
11．被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处．由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯．其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险．某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为an，下列结论正确的是( )
A．a6＝13
B．3an＋1＝an－1＋an＋3
C．i＝51
D．＝a2 024a2 025－1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S3＝，a3＝，则公比q＝ ．
13．曲线y＝sin 2x在原点(0，0)处的切线方程为 ，请你写出一个与曲线y＝sin 2x在原点(0，0)处具有相同切线的曲线的方程： ．
14．已知函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)，当x2>x1时，不等式<恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋1.
(1)求函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[－3，4]上的最大值和最小值．
16．(15分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足a＋an－2Sn＝0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{bn}的前n项和为Tn，若bn＝(2an－7)·2n，求Tn；
(3)求数列{Tn}的最小项．
17．(15分)已知数列{an}满足a1＝2，数列{an＋1－an}是以4为首项，2为公差的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Sn，求证：≤Sn<1.
18．(17分)已知函数f(x)＝a ln x＋x2－(a∈R).
(1)若a＝－4，求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，求a的最小值．
19．(17分)设数列{an}的前n项和为Sn，若≤≤2(n∈N*)，则称{an}是“紧密数列”．
(1)若an＝，判断{an}是不是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn＝(n2＋3n)，判断{an}是不是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列．若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．
