全册综合评估一
(总分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若数列{an}的前4项分别是，－，，－，则该数列的一个通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
2．在y＝f(x)＝x2＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则 ＝( )
A．Δx＋＋2 B．2
C．Δx＋2 D．Δx－＋2
3．(2024·河南南阳一中高二月考)两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( )
A． B． C． D．
4．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝21S10，S10＋S30＝220，则S20＝( )
A．90 B．50 C．40 D．30
5．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率K＝.曲线f(x)＝3ln x在点(1，f(1))处的曲率为( )
A． B． C． D．
6．(2024·广东深圳高二期末)已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过点(1，0)的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则数列{an}的前10项和为( )
A．31 B．77 C．171 D．217
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m恰有5个零点，则实数m的取值范围为( )
A．(－1，2) B．(－1，0)
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11
A．数列{an}是递减数列
B．a10＋a11<0
C．当n>19时，Sn<0
D．S16－S4>0
10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用an表示斐波那契数列的第n项，则数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，记i＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是( )
A．a6＝8
B．3an＝an－2＋an＋2(n≥3)
C．i＝a2 026
D．＝a2 023a2 024
11．关于函数f(x)＝a ln x＋，下列判断正确的是( )
A．当a＝1时，f(x)max＝ln 2＋1
B.当a＝－1时，不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为
C．当a>e时，函数f(x)有两个零点
D．当f(x)的最小值为2时，a＝2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数y＝e2x＋4－ln (2x＋5)，则该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为 ．
13．某病毒研究所为了更好地研究某病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费．已知第一到第五实验室的设备费依次构成等比数列，且第一实验室的设备费为3万元，第三实验室的设备费为12万元，则该研究所改建这五个实验室投入的设备费总共为 万元．
14．若x＝a是函数f(x)＝x2－(a＋3)x＋ln x的极小值点，则函数f(x)在上的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知数列{an}，{bn}，a1＝2，记Sn为数列{an}的前n项和，an＝b1b2b3…bn.
条件①：数列是公差为2的等差数列；条件②：＋＝1.
从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若cn＝2n·an，求数列{cn}的前n项和Tn.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
16．(15分)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
17．(15分)(2024·安徽黄山高二期中)若函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋4在x＝－2和x＝1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论方程f(x)＝k实数解的个数．
18．(17分)有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m，k＝1，2，3，…，n，n≥3)，公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．
(1)当d3＝2时，求a32，a33，a34以及a3n；
(2)求证：dm＝p1d1＋p2d2(3≤m≤n，p1，p2是m的多项式)，并求p1＋p2的值；
(3)当d1＝1，d2＝3时，将数列{dm}分组如下：
(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…(每组数的个数构成等差数列)，
设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0)，求数列{2cmdm}的前n项和Sn.
19．(17分)定义：若h′(x)是h(x)的导数，h″(x)是h′(x)的导数，则曲线y＝h(x)在点(x，h(x))处的曲率K＝，已知函数f(x)＝ex sin ，g(x)＝x＋(2a－1)cos x，曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的曲率为.
(1)求实数a的值；
(2)对任意x∈，mf(x)≥g′(x)恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程f(x)＝g′(x)在区间(n∈N*)内的根为x1，x2，…，xn，比较xn＋1与xn＋2π的大小，并证明．全册综合评估一
(总分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若数列{an}的前4项分别是，－，，－，则该数列的一个通项公式为( D )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：因为数列{an}的前4项分别是，－，，－，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，an＝正确．故选D.
2．在y＝f(x)＝x2＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则 ＝( C )
A．Δx＋＋2 B．2
C．Δx＋2 D．Δx－＋2
解析：由题可得 ＝＝Δx＋2.故选C.
3．(2024·河南南阳一中高二月考)两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( C )
A． B． C． D．
解析：由等差数列的性质，可得＝＝＝＝＝.故选C.
4．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝21S10，S10＋S30＝220，则S20＝( B )
A．90 B．50 C．40 D．30
解析：因为Sn是正项等比数列{an}的前n项和，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20).又因为S30＝21S10，S10＋S30＝220，所以S10＝10，S30＝210，所以(S20－10)2＝10(210－S20)，解得S20＝50或S20＝－40(舍).故选B.
5．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率K＝.曲线f(x)＝3ln x在点(1，f(1))处的曲率为( D )
A． B． C． D．
解析：因为f(x)＝3ln x，所以f′(x)＝，f″(x)＝－，所以f′(1)＝3，f″(1)＝－3，所以K＝＝＝3×10－＝.故选D.
6．(2024·广东深圳高二期末)已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过点(1，0)的切线，则实数a的取值范围是( C )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：f′(x)＝1－，设切点坐标为(x0 ，x0＋)，则切线方程为y－x0－＝(x－x0)，又切线过点(1，0)，所以－x0－＝(1－x0)，整理得2x＋2ax0－a＝0，又曲线y＝f(x)存在两条过点(1，0)的切线，故关于x0的方程2x＋2ax0－a＝0有两个不等实根，即4a2－8(－a)>0，解得a>0或a＜－2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(0，＋∞).
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则数列{an}的前10项和为( C )
A．31 B．77 C．171 D．217
解析：由a1＝1，an＋1＝得a2＝2，当k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1，a2k＋1＝2a2k，所以a2k＋1＝2a2k－1＋2，即a2k＋1＋2＝2(a2k－1＋2)，所以数列{a2k－1＋2}是以a1＋2＝3为首项，2为公比的等比数列，所以a2k－1＋2＝3×2k－1，所以a2k－1＝3×2k－1－2，即当n为奇数时，an＝3×2－2，当n为偶数时，an＝an－1＋1＝3×2－1，所以an＝所以数列{an}的前10项和为a1＋a2＋a3＋…＋a10＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝3×(1＋2＋22＋23＋24)－2×5＋3×(1＋2＋22＋23＋24)－1×5＝6×－15＝171.故选C.
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m恰有5个零点，则实数m的取值范围为( D )
A．(－1，2) B．(－1，0)
C． D．
解析：因为函数g(x)＝[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m恰有5个零点，所以方程[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m＝0有5个根，所以[f(x)－m]·[f(x)－2]＝0有5个根，所以方程f(x)＝2和f(x)＝m共有5个根；当x>－1时，f(x)＝，
f′(x)＝＝，当－10，函数f(x)在(－1，0)上单调递增；当x>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；因为x>－1，所以f(x)>0，f(0)＝2，当x>－1且x→－1时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→0，当x≤－1时，f(x)＝x2＋6x＋5＝(x＋2)2－1，f(－1)＝，故函数f(x)在(－∞，－1]上的图象为对称轴为直线x＝－2，顶点为(－2，－1)的抛物线的一段，根据以上信息，作出函数f(x)的图象如图．
观察图象可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝2的图象有2个交点，所以方程f(x)＝2有两个根，所以方程f(x)＝m有3个异于方程f(x)＝2的根，观察图象可得二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11A．数列{an}是递减数列
B．a10＋a11<0
C．当n>19时，Sn<0
D．S16－S4>0
解析：对于A，∵S110，∴a11<0，∴d<0，则数列{an}是递减数列，故A正确；对于B，由A的分析可知，S11－S9＝a11＋a10<0，故B正确；对于C，因为a10＋a11<0，所以S20＝a1＋a2＋…＋a20＝10(a10＋a11)<0.因为a10>0，所以S19＝×19＝×19＝19a10>0.因为数列{an}是递减数列，所以当n>19时，Sn<0，故C正确；对于D，S16－S4＝a5＋a6＋…＋a16＝6(a10＋a11)<0，故D错误．故选ABC.
10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用an表示斐波那契数列的第n项，则数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，记i＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是( ABD )
A．a6＝8
B．3an＝an－2＋an＋2(n≥3)
C．i＝a2 026
D．＝a2 023a2 024
解析：对于A，a3＝a1＋a2＝2，a4＝a2＋a3＝3，a5＝a3＋a4＝5，a6＝a4＋a5＝8，A正确；对于B，当n≥3时，an＋2＝an＋1＋an＝an＋an－1＋an＝2an＋an－1①，an＝an－1＋an－2，可得an－2＝an－an－1②，①＋②，得an＋2＋an－2＝3an，B正确；对于C，对任意的n∈N*，an＋2＝an＋1＋an，则an＝－an＋1＋an＋2，因此，i＝(－a2＋a3)＋(－a3＋a4)＋…＋(－a2 025＋a2 026)＝a2 026－a2≠a2 026，C错误；对于D，a＝an＋1(an＋2－an)＝－anan＋1＋an＋1an＋2，因此，＝a＋(－a1a2＋a2a3)＋(－a2a3＋a3a4)＋…＋(－a2 021a2 022＋a2 022a2 023)＋(－a2 022a2 023＋a2 023a2 024)＝a－a1a2＋a2 023a2 024＝1－1＋a2 023a2 024＝a2 023a2 024，D正确．故选ABD.
11．关于函数f(x)＝a ln x＋，下列判断正确的是( BD )
A．当a＝1时，f(x)max＝ln 2＋1
B.当a＝－1时，不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为
C．当a>e时，函数f(x)有两个零点
D．当f(x)的最小值为2时，a＝2
解析：对于A，当a＝1时，f(x)＝ln x＋，f′(x)＝，令f′(x)>0，解得x>2，令f′(x)<0，解得0＜x<2，故f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(2)＝ln 2＋1，所以f(x)min＝ln 2＋1，无最大值，故A错误；
对于B，当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋，f′(x)＝＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不等式f(2x－1)－f(x)>0，即f(2x－1)>f(x)，故解得对于C，f′(x)＝－＝，因为a>e，令ax－2＞0，解得x>，令ax－2<0，解得00，f(x)min＞0，函数无零点，故C错误；
对于D，结合C，当a≤0时，f′(x)<0，函数在(0，＋∞)上单调递减，故函数无最小值，当a>0时，f(x)min＝a ln ＝2，解得a＝2，故D正确．故选BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数y＝e2x＋4－ln (2x＋5)，则该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为．
解析：因为y＝e2x＋4－ln (2x＋5)，所以y′＝e2x＋4×2－×2＝e2x＋4－，所以当x＝－2时，y′＝1－2＝－1，即切线的斜率为－1，倾斜角为 .
13．某病毒研究所为了更好地研究某病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费．已知第一到第五实验室的设备费依次构成等比数列，且第一实验室的设备费为3万元，第三实验室的设备费为12万元，则该研究所改建这五个实验室投入的设备费总共为93万元．
解析：设第n个实验室的设备费为an万元，各实验室的设备费构成的等比数列的公比为q，则q>0.
由题意可得a1＝3，a3＝12，
故a1q2＝12，解得q＝2，
所以改建这五个实验室投入的设备费用总共为＝＝93(万元).
14．若x＝a是函数f(x)＝x2－(a＋3)x＋ln x的极小值点，则函数f(x)在上的最大值为＋ln 3．
解析：由f(x)＝x2－(a＋3)x＋ln x，得f′(x)＝3x－(a＋3)＋＝.因为x＝a是函数f(x)的极小值点，所以f′(a)＝0，即3a2－a2－3a＋1＝0，即2a2－3a＋1＝0，解得a＝或a＝1.当a＝时，f′(x)＝＝，当x>或00，当1或00，当四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知数列{an}，{bn}，a1＝2，记Sn为数列{an}的前n项和，an＝b1b2b3…bn.
条件①：数列是公差为2的等差数列；条件②：＋＝1.
从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若cn＝2n·an，求数列{cn}的前n项和Tn.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)因为Sn为数列{an}的前n项和，所以S1＝a1＝2.
选择条件①：因为是公差为2的等差数列，首项为 ＋1＝＋1＝5，所以＋n＝5＋(n－1)×2＝2n＋3，
整理，得2Sn＝n2＋3n，所以2Sn－1＝(n－1)2＋3(n－1)，n≥2，所以2an＝2(Sn－Sn－1)＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2，所以an＝n＋1，当n＝1时也符合a1＝2，所以an＝n＋1.
选择条件②：因为an＝b1b2b3…bn，所以an－1＝b1b2b3…bn－1，n≥2，
所以 ＝＝bn，
所以 ＋＝＋＝1，整理，得an－an－1＝1，n≥2，所以数列{an}是首项为a1＝2，公差为1的等差数列，
所以an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
即an＝n＋1.
(2)由(1)知an＝n＋1，所以cn＝2n·an＝(n＋1)·2n，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2×21＋3×22＋…＋(n＋1)×2n，所以2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1，
所以－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n＋1＝4＋－(n＋1)×2n＋1，整理，得Tn＝n·2n＋1.
16．(15分)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd.
因为bn＝，所以bn＝＝，
所以 S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝.
因为S3＋T3＝21，所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝.因为d>1，所以d＝3，
所以{an}的通项公式为an＝3n.
(2)因为bn＝，且{bn}为等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋，
所以－＝，所以a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d.
①当a1＝d时，an＝nd，
所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×50d，
T99＝＝＝.
因为S99－T99＝99，所以99×50d－＝99，即50d2－d－51＝0，解得d＝或d＝－1(舍去).
②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×51d，
T99＝＝＝.
因为S99－T99＝99，所以99×51d－＝99，即51d2－d－50＝0，
解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去).
综上，d＝.
17．(15分)(2024·安徽黄山高二期中)若函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋4在x＝－2和x＝1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论方程f(x)＝k实数解的个数．
解：(1)f′(x)＝x2＋2ax－b，因为函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋4在x＝－2和x＝1处取得极值，所以即解得经检验符合题意，所以f(x)＝x3＋x2－2x＋4.
(2)由(1)知，f(x)＝x3＋x2－2x＋4，则f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此，x＝－2为函数f(x)的极大值点，极大值为f(－2)＝；x＝1为函数f(x)的极小值点，极小值为f(1)＝.
故当k<或k>时，方程f(x)＝k有一个实数解；当k＝或k＝时，方程f(x)＝k有两个实数解；当18．(17分)有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m，k＝1，2，3，…，n，n≥3)，公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．
(1)当d3＝2时，求a32，a33，a34以及a3n；
(2)求证：dm＝p1d1＋p2d2(3≤m≤n，p1，p2是m的多项式)，并求p1＋p2的值；
(3)当d1＝1，d2＝3时，将数列{dm}分组如下：
(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…(每组数的个数构成等差数列)，
设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0)，求数列{2cmdm}的前n项和Sn.
解：(1)当d3＝2时，∵a31＝1，∴a32＝a31＋d3＝3，a33＝a31＋2d3＝5，a34＝a31＋3d3＝7，∴a3n＝a31＋(n－1)d3＝2n－1.
(2)证明：由题意知amn＝1＋(n－1)dm.
a2n－a1n＝[1＋(n－1)d2]－[1＋(n－1)d1]＝(n－1)(d2－d1)，同理，a3n－a2n＝(n－1)(d3－d2)，a4n－a3n＝(n－1)(d4－d3)，ann－a(n－1)n＝(n－1)(dn－dn－1).
又∵a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列，
∴a2n－a1n＝a3n－a2n＝…＝ann－a(n－1)n.
故d2－d1＝d3－d2＝…＝dn－dn－1，
即{dn}是公差为d2－d1的等差数列．
∴dm＝d1＋(m－1)(d2－d1)＝(2－m)d1＋(m－1)d2.
令p1＝2－m，p2＝m－1，则dm＝p1d1＋p2d2，此时p1＋p2＝1.
(3)当d1＝1，d2＝3时，dm＝2m－1(m∈N*).数列{dm}分组如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…，
按分组规律，第m组中有(2m－1)个奇数，
所以第1组到第m组共有1＋3＋5＋…＋(2m－1)＝m2(个)奇数，
注意到前k个奇数的和为1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，
所以前m2个奇数的和为(m2)2＝m4，即前m组中所有数之和为m4，所以(cm)4＝m4，
因为cm>0，所以cm＝m，从而2cmdm＝(2m－1)·2m(m∈N*)，所以Sn＝1×2＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，2Sn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
故－Sn＝2＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n)－2－(2n－1)·2n＋1＝2×－2－(2n－1)·2n＋1＝(3－2n)2n＋1－6，所以Sn＝(2n－3)2n＋1＋6.
19．(17分)定义：若h′(x)是h(x)的导数，h″(x)是h′(x)的导数，则曲线y＝h(x)在点(x，h(x))处的曲率K＝，已知函数f(x)＝ex sin ，g(x)＝x＋(2a－1)cos x，曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的曲率为.
(1)求实数a的值；
(2)对任意x∈，mf(x)≥g′(x)恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程f(x)＝g′(x)在区间(n∈N*)内的根为x1，x2，…，xn，比较xn＋1与xn＋2π的大小，并证明．
解：(1)由已知g′(x)＝－(2a－1)·sin x＋1，g″(x)＝－(2a－1)cos x，
所以＝，解得a＝0(a＝1舍去)，所以a＝0.
(2)由(1)得g(x)＝x－cos x，f(x)＝ex sin ＝ex cos x，
则g′(x)＝1＋sin x，
对任意的x∈，mf(x)－g′(x)≥0，即mex cos x－sin x－1≥0恒成立，
令x＝－，则m·0＋1－1＝0≥0，不等式恒成立，当x∈时，cos x>0，原不等式化为m≥，
令h(x)＝，x∈，
则h′(x)＝
＝＝
≥0，
所以h(x)在区间上单调递增，所以h(x)max＝h(0)＝1，所以m≥1，综上所述，实数m的取值范围为[1，＋∞).
(3)xn＋1>xn＋2π，证明如下：由已知方程f(x)＝g′(x)可化为ex cosx－sin x－1＝0，
令φ(x)＝ex cos x－sin x－1，
则φ′(x)＝ex(cos x－sin x)－cos x，
因为x∈，
所以cos x0，
所以φ′(x)<0，所以φ(x)在区间(2nπ＋，2nπ＋)(n∈N*)上单调递减．
故φ(2nπ＋)＝e2nπ＋cos (2nπ＋)－sin (2nπ＋)－1＝e2nπ＋－－1≥e2π＋－－1>22×3＋1×－－1>0，φ(2nπ＋)＝－2<0，
所以存在唯一x0∈(2nπ＋，2nπ＋)，使得φ(x0)＝0，
又xn∈(2nπ＋，2nπ＋)，xn＋1－2π∈(2nπ＋，2nπ＋)，
则φ(xn＋1－2π)＝exn＋1－2π·cos (xn＋1－2π)－sin (xn＋1－2π)－1＝exn＋1－2πcos xn＋1－sin xn＋1－1＝exn＋1－2πcos xn＋1－exn＋1cos xn＋1＝(exn＋1－2π－exn＋1)cos xn＋1<0＝φ(xn)，
由φ(x)单调递减可得xn＋1－2π>xn，所以xn＋1>xn＋2π.