2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中面积相关问题（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中面积相关问题
1．如图，一次函数y＝kx﹣1的图象与反比例函数的图象交于A（a，1），B（﹣2，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P为x轴上的一动点，连接AP，当△APC的面积为2.5时，求点P的坐标．
2．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若BE⊥y轴于点E，求△BOE的面积；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝4，OC＝2，点D是BC边上的动点（不与B，C重合），反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE．
（1）若点D的横坐标为1．
①求k的值；
②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标；
（2）延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并说明理由．
4．如图，点A（a，2）在反比例函数y的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y的解析式；
（3）点D为反比例函数y上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
5．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x+b的图象经过点P．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线y＝x+b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC＝6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE．
（1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k＝　 　 ；
②求△ODE的面积；
（2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．
7．如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB，AB＝2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，连接OC，求△AOC的面积．
8．如图，直线y＝2x+6与反比例函数y（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+60的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
9．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（3，n）和点 B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．
10．如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　 ；
（3）若P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
11．如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，m），B（﹣6，﹣2）．
（1）求k的值和一次函数的表达式；
（2）关于x的不等式的解集为 　 　 ；
（3）若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q，当△OPQ的面积为6时，请直接写出点Q的坐标．
12．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，反比例函数y（k≠0）分别与边BC、AB交于E、F两点，连接OE、OF，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H．
（1）S△ocE　 　 S△OAF（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）若OA＝8，OC＝4，S△AFH＝S△BEF，求k的值；
（3）当，时，求的值．
13．如图，已知反比例函数y的图象与直线y＝k2x+b交于点A（4，﹣1），B（m，6），点C是x轴上的一点，连接AC，BC．
（1）求反比例函数的表达式及直线AB的函数表达式；
（2）若S△ABC＝21，求点C的坐标；
（3）如图2，直线l绕若点D（2，2）旋转，直线l上有一动点P，过P作PM∥x轴交反比例图象于M，作PN∥y轴交反比例函数图象于N，连接MN，若在直线l上刚好存在三个不同的P点且使得△PMN的面积为9时，求此时直线l的斜率．
14．如图1，反比例函数的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴于点D．
（1）填空：①k的值为 　 　 ．
②tan∠DAC＝ 　 ；直线AC的函数解析式为 　 　 ．
（2）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线l⊥x轴，与AC交于点N，连接CM．求△CMN面积的最大值．
15．如图，一次函数y2的图象与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象相交于点A（2，a），与x轴交于C点，与y轴交于B点．
（1）由图象可知，当x 　 　 时，；
（2）求出a，k的值；
（3）若M（m，0）为x轴上的一动点，当△AMB的面积为时，求m的值；
（4）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵图象经过B（﹣2，﹣2），
∴m＝4，
∴反比例函数表达式为：；
将A（a，1）代入得，
解得：a＝4，
∴A（4，1），
将B（﹣2，﹣2）代入y＝kx﹣1，
得﹣2＝﹣2k﹣1，
解得：，
∴；
（2）由图可得，不等式的解集是x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）解：直线AB与x轴交于点C，
当y＝0时，0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
设P（t，0），
∴PC＝|2﹣t|，
∵△APC的面积为2.5，
∴，
∴2﹣t＝±5，
解得：t＝﹣3或t＝7，
∴点P的坐标为（7，0）或（﹣3，0）．
2．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在一次函数y＝﹣x+4的图象上，
∴a＝﹣1+4＝3，
∴点A的坐标为（1，3）．
∵点A（1，3）在反比例函数数（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）∵BE⊥y轴于点E，
∴△BOE的面积|k|；
（3）联立直线AB与反比例函数的表达式，得：，
解得或，
∴点B的坐标为（3，1），
作点A关于x轴的轴对点A′，连接A′B交x轴于P，此时，PA+PB的值最小，
∵点A的坐标为（1，3），
∴点A′的坐标为（1，﹣3），
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线A′B的解析式为y＝x﹣4，
当y＝0时，x＝4，
∴P（4，0）．
3．【解答】解：（1）①∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCO＝∠B＝∠AOC＝90°，
∵OC＝2，点D的横坐标为1，
∴D（1，2），
∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝1×2＝2；
②∵OC＝2，D（1，2），
∴CD＝1，
∵D，E都在反比例函数y的图象上，
∴S△COD＝S△AOE＝1，
∵OA＝4，
∴AE，
∴S△ODE＝2×4﹣1﹣13，
∵点P在x轴上，
∴设P（x，0），
∴S△ODP，
解得：x＝±，
∴P（，0）或（，0）；
（2）连接AC，四边形AEFC是平行四边形，理由如下：
由题意得：D（，2），E（4，），
设EF的函数解析式为：y＝ax+b，
则，
解得，
∴OF，
∴CF＝OF﹣2AE，
又∵CF∥AE，
∴四边形AEFC是平行四边形．
4．【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y的图象上，
∴2，解得a＝2，
∴A（2，2），
设直线OA解析式为y＝mx，
则2＝2m，解得m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）由（1）知：A（2，2），
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2，
∵AC＝2BC，
∴BC＝1，
∴B（﹣1，2），
把B（﹣1，2）代入y得：2，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数y的解析式为y；
（3）设D（t，），而A（2，2），
∴AD中点E（，1），
而E在y轴上，
∴0，解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，1），E（0，），
∴S△DOEOE |xD|2，
S△AOEOE |xA|2，
∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．
5．【解答】解：（1）∵PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，
∴PN＝2、
∴点P的坐标为（1，2）．
∵反比例函数（x＞0）的图象、一次函数y＝x+b的图象都经过点P，
由，2＝1+b得k＝2，b＝1、
∴反比例函数为，一次函数为y＝x+1；
（2）Q1（0，1），Q2（0，﹣1）．
6．【解答】解：（1）①∵△OAD的面积＝2，
即，
∴k＝4，
故答案为：4；
②在矩形OABC中，OA＝BC＝3，OC＝AB＝6，
∵k＝4，
∴反比例函数的解析式是：y（x＞0），
∵OA＝3，
即点D的纵坐标是3，
令y3，
解得：x，
∴D（，3），
同理，当x＝6时，y，
∴E（6，），
∴AD，BD＝AB﹣AD＝6，CE，BE＝BC﹣CE＝3，
∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△BDE＝OA OC；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，则DG＝OA＝3，
∵OA＝3，即点D的纵坐标是3，
令y，
得：x，
∴D（，3），
同理可得，当x＝6时，y，
∴E（6，），
∴AD，BD＝AB﹣AD＝6，CE，BE＝BC﹣CE＝3，
由折叠的性质可知：DF＝BD＝6，FE＝BE＝3，∠DFE＝∠B＝90°，
∴∠DFG+∠CFE＝90°，
∵DG⊥x轴，
∴∠DFG+∠GDF＝90°，
∴∠CFE＝∠GDF，
∵∠CFE＝∠GDF，∠FCE＝∠DGF＝90°，
∴△CFE∽△GDF，
∴，
即，
∴GF，
∵DG⊥x轴，
∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2＝DF2，
∴，
解得：k，
即k的值为．
7．【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA＝90°，
在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB，
∴OB＝4，
∴A（2，4），
∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝4×2＝8；
∴反比例函数的解析式为y；
（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，过C作CE⊥x轴于E，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝4，
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D（6，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，反比例函数的解析式为y②，
联立①②解得，或，
∴C（4，2），
∵△AOF的面积OF AF2×4＝4，△OCE的面积OE CE2×4＝4，
∴△AOF的面积＝△OCE的面积，
∴△AOF的面积﹣△OFH的面积＝△OCE的面积﹣△OFH的面积，
∴△AOF的面积＝梯形CEFH的面积，
∴△AOC的面积＝梯形CEFH的面积（AF+CE） EF（4+2）（4﹣2）＝6．
8．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（m，8），
∴2×m+6＝8，
解得m＝1，
∴A（1，8），
∴k＝2×1+6＝8，
∴反比例函数的解析式为y．
（2）不等式2x+60的解集为x＞1．
（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴0，
∴0
∴S△BMN|MN|×|yM|（）×n（n﹣3）2，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
9．【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，
∴点A（3，4），
把点A（3，4）代入反比例函数，
可得：k＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点A与点B是关于原点对称的，
∴点B（﹣3，﹣4），
∴根据图象可得，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；
（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，
∵A（3，4），
∴OG＝3，AG＝4，
在Rt△AOG中，，
∵四边形AOCD是菱形，
∴OC＝OA＝5，，
∴．
10．【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2，
解得：k，
把A（2，n）代入y＝kx+2得：n＝3．
∴A（2，3）．
把A（2，3）代入y＝得：m＝6．
∴k的值为，m的值为6．
（2）由图象可知：当 x＞2时，yx+2的图象在y的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是：x＞2．
故答案为：x＞2．
（3）当x＝0时，yx+2＝2．
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的一动点，
∴PC＝|a+4|．
∴S△CBPPC OB|a+4|×2＝|a+4|，
S△CAPPC yA|a+4|×3|a+4|，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4||a+4|，
∴a＝3或a＝﹣11．
11．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4m＝﹣6×（﹣2）＝12，
则k＝12，m＝3，
即反比例函数的表达式为：y，点A（4，3）；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数表达式为：yx+1；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为x＞4或﹣6＜x＜0，
故答案为：x＞4或﹣6＜x＜0；
（3）设点P（x，x+1），则点Q（x，），
则△OPQ的面积PQ×|xP||x+1|×|x|＝6，
解得：x＝0（舍去）或6或﹣8或﹣2，
即点Q的坐标为：（6，2）或（﹣8，）或（﹣2，﹣6）．
12．【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴BC⊥y轴，AB⊥x轴，
∵反比例函数y（k≠0）分别与边BC、AB交于E、F两点，
∴S△OCEk，S△OAFk；
∴S△OCE＝S△OAF；
故答案为：＝；
（2）∵四边形ABCO是矩形，
∴∠B＝∠BCO＝∠BAO＝90°，AB＝OC4，OA＝BC＝8，
∵∠B＝∠FAH＝90°，∠BFE＝∠AFH，
∴△BFE∽△AFH，
∴（）2，
∵S△AFH＝S△BEF，
∴1（负值舍去），
∴BF＝AF＝2，
∴F（8，2），
∴，
∴k＝16；
（3）∵时，
∴设CE＝m，BE＝3m，
∴BC＝OA＝4m，
∴E（m，），F（4m，），
∴BF，
∵△BFE∽△AFH，
∴，
∴，
∴AH＝m，
∴OH＝OA+AH＝5m，
∴．
13．【解答】解：（1）将点A（4，﹣1）代入y，得﹣1，
∴k1＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y，
把B（m，6）代入y，得6，
解得：m，
∴B（，6），
将A、B两点坐标分别代入y＝k2x+b，得：，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为yx+5；
（2）设C（t，0），直线AB与x轴交于点E，
在yx+5中，令y＝0，得x+5＝0，
解得：x，
∴E（，0），
则CE＝|t|，
∵S△ABC＝21，
∴S△ACE+S△BCE＝21，
即|t|×（6+1）＝21，
解得：t或，
∴点C的坐标为（，0）或（，0）；
（3）设直线l的解析式为y＝kx+b，把D（2，2）代入得：2＝2k+b，
∴b＝2﹣2k，
∴y＝kx+2﹣2k，
由（1）知：反比例函数的解析式为y，
设P（n，kn+2﹣2k），则N（n，），M（，kn+2﹣2k），
∵S△PMN＝9，
∴PM PN＝18，
∴|n|×|kn+2﹣2k|＝18，
整理得：18，
令n（kn+2﹣2k）＝m，
则（m+4）2＝18|m|，
当m＞0时，则（m+4）2＝18m，
即m2﹣10m+16＝0，
解得：m＝2或m＝8，
∴n（kn+2﹣2k）＝2或n（kn+2﹣2k）＝8，即kn2+（2﹣2k）n﹣2＝0①或kn2+（2﹣2k）n﹣8＝0②，
在方程①中，Δ＝（2﹣2k）2+8k＝4k2+4＞0，该方程中n有两个不同的解，
∵在直线l上刚好存在三个不同的P点，即n有3个不同的解，
∴n还有一个解必定在方程②中，
∴Δ＝（2﹣2k）2+32k＝4（k2+6k+1）＝0，
解得：k＝﹣3﹣2或k＝﹣3+2；
当m＜0时，则（m+4）2＝﹣18m，
即m2+26m+16＝0，
解得：m＝﹣13+3或m＝﹣13﹣3，
∴kn2+（2﹣2k）n+13﹣30③或kn2+（2﹣2k）n+13+30④，
在方程③中，Δ＝（2﹣2k）2﹣4（13﹣3）k＝4[k2+（315）k+1]，
在方程④中，Δ＝（2﹣2k）2﹣4（13+3）k＝4[k2﹣（315）k+1]，
∵在直线l上刚好存在三个不同的P点，即n有3个不同的解，
∴（Ⅰ）或（Ⅱ），
由（Ⅰ）得：k或，
由（Ⅱ）得：无解，
综上所述，此时直线l的斜率为k＝﹣3﹣2或﹣3+2或或．
14．【解答】解：（1）①∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴．
故答案为：；
②：由①知反比例函数解析式为，
∵射线AB与反比例函数的图象交于另一点B（1，a），将点B的坐标代入得：
a2，
∴，
过B作BE⊥AD于E，如图1，
则．
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
又∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝30°，
∴tan∠DAC＝tan30°，
∴DCAD2，
∴OC＝2﹣1＝1，
∴C（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴直线AC的解析式为．
故答案为：；；
（2）M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过点M的直线l⊥x轴，设M（m，）（0＜m＜2），则N（m，），
∴MN，
∴S△CMN m
，
∵0，0＜m＜2，
∴当时，△CMN的面积有最大值，最大值为．
15．【解答】解：（1）根据图像可以看出表示一次函数在双曲线上方部分，
∴当x＞2时，，
故答案为：＞2；
（2）由题意可知点A（2，a）在一次函数的图象上，
∴，
∴A（2，3）．
∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，
∴，
∴k＝6；
（3）一次函数y2的图象与x轴交于C点，与y轴交于B点．
当x＝0时，得：y＝2，
当y＝0时，得：，
解得：x＝﹣4，
∴B（0，2），C（﹣4，0）．
∵M（m，0）为x轴的一动点，
∴CM＝|m|﹣（﹣4）＝|m|+4，
∴，
，
∵S△AMB＝S△ACM﹣S△BCM，，
∴，
解得：m＝3或﹣11；
（4）在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD；D的坐标为（2，0）或．理由如下：
过A作AD⊥x轴于D，如图，
∴AD∥y轴，
∴∠AOB＝∠OAD，
∵A（2，a），k＝6，
∴，
把x＝2，代入，
∴D（2，0），
作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D′，
∴△EOA是等腰三角形，
∴∠AOB＝∠OAD′，
∵A（2，3），
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线AE的解析式为：y＝mx+n，
把A（2，3），代入解析式可得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为：，
把y＝0代入，
解得：，
∴，
综上所述，在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD；D的坐标为（2，0）或．
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