2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中等腰三角形存在性问题（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中等腰三角形存在性问题
1．如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
2．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；
（2）观察图象直接写出时x的取值范围是 　 　 ；
（3）若P为x轴上一动点，请直接写出当△OAP是以OA为腰的等腰三角形时，点P的坐标．
3．如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（a，﹣1），设直线AB交x轴于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）直接写出的解集．
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，且△POC是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点C是线段AM上一点，若，求点C的坐标；
（3）若点P是x轴上一点，是否存在以点O、M、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B．OB是一元二次方程x2﹣x﹣30＝0的一个根，且tan∠OAB，点D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，BE＝2，直线OD与BE相交于点F．
（1）求点A及点D的坐标；
（2）反比例函数y经过点F关于y轴的对称点F′，求k的值；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，函数的图象过点A（n，2）和两点．
（1）求n和k的值；
（2）点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S△AOC＝6，求C点的坐标；
（3）过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3．反比例函数y的图象经过BC的中点E，交边AB于点F，连接EF．
（1）求k的值与点F的坐标；
（2）x轴上是否存在一点P，使△PEF为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q是x轴上的一点，以点Q、E、F为顶点的三角形是直角三角形，请求出Q点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数y＝kx+b的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，的解集．
（3）若P是y轴正半轴一点，当△ACP是等腰三角形时，求出点P的坐标．
10．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，m）
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）观察图象直接写出ax+b时x的取值范围是　 　 ；
（4）直接写出：P为x轴上一动点，当三角形OAP为等腰三角形时点P的坐标　 ．
11．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　 　 （用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．
12．如图，已知直线yx，与双曲线y（k＞0）交于A、B两点，且A点的横坐标为4．
（1）求k的值及B点的坐标；
（2）若双曲线y（k＞0）上一点C的纵坐标为2，求△AOC的面积；
（3）在x轴上找一点P，使以点O、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，试写出P点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请写出理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）填空：k的值等于　 　 ．
（2）连接FG，图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出OP的长．
15．如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△COE的面积；
（3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点，
∴m＝﹣3×2＝﹣3n，
∴m＝﹣6，n＝2，
∴反比例函数解析式为：y；
（2）∵A（﹣3，2），B（2，﹣3）在一次函数y＝kx+b图象上，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1，
设一次函数与y轴交点为C，则C（0，﹣1），OC＝1，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC；
（3）∵A（﹣3，2），
∴OP，
①当OA＝OP时，在坐标轴上存在四个P的位置满足△AOP等腰三角形，
P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）；
②当PA＝PO时，存在两个满足条件的P点，P点是线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点，
∵A（﹣3，2）在直线OA上，
∴直线OA的k，线段OA的中点坐标（，1），
设线段OA垂直平分线解析式为yx+b，
将点（，1）坐标代入得：1b，解得b，
∴线段OA垂直平分线解析式为y，
当x＝0时，y；当y＝0时，x，
∴P5（0，），P6（，0）．
当AP＝AO时，P（0，4），P（﹣6，0）．
综上所述，满足条件的P点有6个，坐标为：P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）、P5（0，）、P6（，0）P7（0，4）、P8（﹣6，0）．
2．【解答】解：（1）根据题意将点A坐标（3，1）代入中得：k＝3，
∴反比例函数的表达式：，
∵点B的坐标为（﹣2，m），
∴，
∴点B的坐标为，
∴将点A（3，1），点B代入y＝ax+b中得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式：；
（2）∵一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
∵点A（3，1），点B，
由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞3时，，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞3；
（3）
当△OAP是以OA为腰的等腰三角形时，点P的坐标为P（6，0）或或；理由如下：
∵点A（3，1），
∴，
∵P为x轴上一动点，
∴过点A作AM⊥x轴，△OAP是以OA为腰的等腰三角形，
∴当P在x轴正半轴时，PM＝OM＝3，
∴OP＝6，即P（6，0），
∴当P在x轴负半轴时，，
∴，
∴当P在x轴正半轴时，，
∴，
综上所述：点P的坐标为P（6，0）或或．
3．【解答】解：（1）将A（﹣3，2）代入得：m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式是，
将B（n，﹣3）代入得：n＝2，
∴B的坐标为B（2，﹣3），
将A（﹣3，2），B（2，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）根据图像，结合题意，得：﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）存在一点P，使△AOP是等腰三角形；P点坐标为（﹣6，0），（，0），（，0），（，0）；理由如下：
如图2，
在x轴上存在点P，使△AOP 是等腰三角形由A（﹣3，2）可得：OA，
当△AOP是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当AO＝AP时（图2中P1），作AS⊥x轴于点S，由A（﹣3，2），等腰三角形三线合一的性质得：OS＝P1S＝3，由AS＝2，OS＝3，
∴P1O＝6，
故P1（﹣6，0）；
②当AO＝PO时（图2中P2），P点在O点左侧时，P2（，0）；
P点在O点右侧时，P3（，0）；
③当PA＝PO时（AP'＝P'O）时，即AP'2＝P'O2，
∴22+（3﹣OP'）2＝OP'2，
∴OP'，
∴P'（，0），
综上所述，存在一点P，使△AOP是等腰三角形；P点坐标为（﹣6，0），（，0），（，0），（，0）．
4．【解答】解：（1）将点A（2，3）代入得，k2＝2×3＝6，
∴y，
将点B（a，﹣1）代入y得，a＝﹣6，
∴B（﹣6，﹣1），
将点A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入y＝k1x+b得，
，
解得，
∴一次函数的解析式为yx+2；
（2）由图象知：当x＜﹣6或0＜x＜2时，；
（3）当y＝0时，x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴C（﹣4，0），
∵PC＝PO，
∴点P在OC的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为﹣2，
∴P（﹣2，﹣3）．
5．【解答】解：（1）将A（0，﹣2），B（1，0）代入y＝k1x+b，得：
，
解得k1＝2，b＝﹣2．
所以一次函数的表达式为y＝2x﹣2，
将M（m，4）代入y＝2x﹣2中，得：
4＝2m﹣2，
解得m＝3，
所以点M的坐标为（3，4），
因为反比例函数的图象过点M（3，4），得：
，
解得k2＝12，
所以反比例函数的表达式为；
（2）根据题意，得：
，
则，
可得S△AOC＝S△AMO﹣S△OCM＝3﹣1＝2，
由OA＝2可知点C的横坐标为2，
将x＝2代入y＝2x﹣2中，得：y＝2．
所以点C的坐标为（2，2）；
（3）设点P的坐标为（n，0）．
根据题意可得，
①如图1所示，
当点O为等腰三角形的顶角顶点时，OP＝OM＝5，则点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；
②如图2所示．
当点M为等腰三角形的顶角顶点时，MO＝MP＝5，则（n﹣3）2+42＝52．
解得n1＝0（舍去），n2＝6．
所以，点P的坐标为（6，0）；
③如图3所示．
当点P为等腰三角形的顶角顶点时，PO＝PM，则：（n﹣3）2+42＝n2，
解得，
所以，点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为（5，0），（﹣5，0），（6，0）或．
6．【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣30＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝6，
∵直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B．OB是一元二次方程x2﹣x﹣30＝0的一个根，
∴OB＝6，
∵，
∴，
∴OA＝8，
∴B（0，6），A（8，0），
∴点D的坐标为，即D（4，3）．
（2），
∴E（2，0），
设直线BE的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把B（0，6），E（2，0）代入得：
，
解得：
∴直线BE的函数解析式为y＝﹣3x+6，
∵D（4，3），
设直线OD的函数解析式为y＝mx，
∴4m＝3，解得，
∴直线OD的函数解析式为，
当时，，
此时，
∴，
∴F′为，
∴．
（3）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
将点AB的坐标代入得，
，解得：
∴直线AB的解析式为，
∵点P在直线AB上，
∴设点，
∴，，AE2＝（8﹣2）2＝36，
①当PE＝AP时，，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
②当PE＝AE时，
解得：t1＝8，
∴，此时点P不存在，
，
∴点P的坐标为；
③当AP＝AE时，，
解得：，，
∴P或；
综上，P或或或．
7．【解答】解：（1）∵函数的图象过点A（n，2）和两点，代入得：
，
解得，
故n和k的值分别为4，8；
（2）∵n＝4，k＝8，
∴，
设直线OA的解析式为：y＝mx，
把A（4，2）代入y＝mx，得2＝4m，
解得m，
∴直线OA的解析式为：，
过点C作CG⊥x轴于点G，交直线OA于点H，如图1，
设，
∴，
∴，
∴，
∴m＝2或m＝8（不符合题意舍去），
∴C（2，4），
（3）第二象限内存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形，理由如下：
∵DE∥OA，直线OA的解析式为：，
∴设直线DE的解析式为：，
∵点C（2，4）在直线DE上，，
∴，即b＝3，
∴直线DE的解析式为：；
当x＝0时，y＝3，
∴E（0，3），OE＝3
当y＝0时，x＝﹣6，
∴D（﹣6，0），OD＝6，
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以DE为直角边，D为直角顶点；
如图2，过F1做F1K⊥x轴于点K，可知：∠F1KD＝∠DOE＝90°，
∵∠F1DE＝90°，
∴∠F1DK+∠EDO＝90°，
又∵∠DEO+∠EDO＝90°，
∴∠F1DK＝∠DEO，
又∵DF1＝DE，
∴△F1KD≌△DOE（AAS），
∴F1K＝DO＝6，KD＝OE＝3，
故点D到点F1的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点F1坐标，
∵D（﹣6，0），且F在第二象限，
∴F1（﹣6﹣3，0+6）即F1（﹣9，6）；
②以DE为直角边，E为直角顶点；同①理得，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得F2（﹣3，9）．
综上所述：点F（﹣9，6）或（﹣3，9）．
8．【解答】解：（1）∵OA＝4，OC＝3，四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝3，BC＝AO＝4，
∴B（4，3），
∵E是BC的中点，
∴E（2，3），
∵反比例函数的图象经过点E，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点F，F的横坐标为4，
∴，
∴；
（2）解：存在，设P（m，0），
∵E（2，3），，
∴PE2＝（m﹣2）2+32＝m2﹣4m+13，，，
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴，
①当PE＝PF时，m2﹣4m+13，
解得：，
∴；
②当EP＝EF时，m2﹣4m+13，，
此方程无解；
③当FP＝FE时，，
解得m＝2或m＝6；
∵线段EF的解析式为，当x＝6时，，
∴P（6，0）在直线EF上，
综上所述，P（2，0）或；
（3）Q是x轴上的一点，设Q（n，0），则QE2＝（n﹣2）2+32＝n2﹣4n+13，QF2＝（n﹣4）2+（）2＝n2﹣8n，，
①当E为直角顶点时，EQ2+EF2＝FQ2，即，
解得：，
则；
②当F为直角顶点时，EF2+FQ2＝EQ2，即，
解得：，
则Q；
③当Q为直角顶点时，EQ2+FQ2＝EF2，即，
此方程无解，
综上所述，或．
9．【解答】解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°．
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO，
∵∠BFC＝∠COA＝90°，BC＝AC．
∴△BFC≌△COA（AAS），
∴CF＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：，解得：k＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为；
（2）结合点B的坐标及图象，可得：
当x＜0时，的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）分三种情况求解：如图，
①当AP＝AC时，
∵点P在y轴正半轴，
∴P1符合要求，P2不符合要求，
∵A（0，2），C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴，
∴；
②当AC＝CP时，P3在y轴负半轴，不符合题意，在正半轴上点P与点A重合，不符合题意，故AC＝CP时，不存在；
③当AP＝CP时，设P4（0，m），
∴P4C＝P4A＝2﹣m，
在Rt△OCP4中，由勾股定理，得
12+m2＝（2﹣m）2，
解得，，
∴，
综上所述，点P坐标为或．
10．【解答】解：（1）∵点A坐标为（3，1）
把点A的坐标代入y中得：k＝3
∴反比例函数的解析式是：y
把点B的坐标为（﹣2，m）代入y中，得：﹣2m＝3，m
∴B（﹣2，）
把A、B两点的坐标代入y＝ax+b中得：，解得：
∴一次函数的解析式为：yx；
（2）如图1，当y＝0时，x0，x＝1，
∴C（1，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC；
（3）由图象得：ax+b时x的取值范围是：x＞3或﹣2＜x＜0；
故答案为：x＞3或﹣2＜x＜0；
（4）当△AOP是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当OA＝OP时，如图2，
∵A（3，1），
∴OA，
∴P1（，0）或P2（，0）；
②当OA＝AP时，如图3，
∴P（6，0）；
③当OP＝AP时，如图4，过A作AE⊥x轴于E，
设OP＝x，则AP＝x，PE＝3﹣x，
∴AP2＝AE2+PE2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
x，
∴P（，0）；
综上，P的坐标为（，0）或（，0）或（6，0）或（，0）．
故答案为：（，0）或（，0）或（6，0）或（，0）．
11．【解答】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC＝4，OC＝3，
∵点E在反比例函数y上，
∴E（，3），
∴CE，
∴AE＝4；
故答案为：4；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC＝4，AB＝3，
∴，
∴点F在y上，
∴F（4，），
∴，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠CDE，
连接AD交EF于M点，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，
∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，
∴CE＝DE＝AEAC＝2；
（3）过D点作DN⊥AB，
①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BNAB，
∴∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠DAN+∠AFM＝90°，
∴∠ADN＝∠AFM，
∴tan∠ADN＝tan∠AFM，
∴，
∵AN，
∴DN，
∴D（4，），即D（，）；
②当AB＝AD＝3时，如图4，
在Rt△ADN中，tan∠ADN＝tan∠AFM，
∴，
∴ANAD，
∴BN＝3﹣AN＝3，
∵DNAN，
∴D（4，），即D（，）；
③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF＝AF，
∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，
∴DF+BF＝BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．
12．【解答】解：（1）把x＝4代入yx得y＝1，
∴A点坐标为（4，1），
把A（4，1）代入y得k＝4×1＝4，
∵直线yx与双曲线y的交点关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣4，﹣1）；
（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，
把x＝2代入y得y＝2，
∴C点坐标为（2，2），
∴S△OCD＝S△OAE4＝2，
∵S△OCD+S梯形CDEA＝S△OAE+S△AOC，
∴S△AOC（1+2）（4﹣2）＝3；
（3）∵C（2，2）
∴OC＝2，
当OC＝OP时，△OCP是等腰三角形，即P点落在P1或P2的位置，此时P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）；
当CO＝CP时，△OCP是等腰三角形，即P点落在E点的位置，此时P点坐标为（4，0）；
当PO＝PC时，△OCP是等腰三角形，即P点落在D点的位置，此时P点坐标为（2，0），
∴满足条件的P点坐标为（，0）、（，0）、（4，O）、（2，0）．
13．【解答】解：（1）∵A（﹣4，2），
∴将A坐标代入反比例函数解析式中，得m＝﹣8，
∴反比例函数解析式为y；
将B坐标代入y，得n＝﹣4，
∴B坐标（2，﹣4），
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，
解得，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2；
（2）当﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2，
∵点A（﹣4，2）、点B（2，﹣4），
∴△AOB的面积为：|﹣2|×2|﹣2|×|﹣4|＝6．
（3）设P（m，0），
∵A（﹣4，2），
∴OP＝|m|，AP，OA＝2，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OP＝AP时，|m|，
∴m，
∴P（，0）；
②当OP＝OA时，|m|＝2，
∴m＝±2，
∴P（2，0）或（﹣2，0）；
③当OA＝AP时，2，
∴m＝0或m＝﹣8，
∴P（﹣8，0）；
即点P的坐标为P（，0）或（2，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）．
14．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，
OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，
即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴△COF∽△AOB，
，
∴，
∴CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y（x＞0）的图象经过点F，
∴2，得k＝2，
故答案为：2；
（2）∵△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG；
下面对△OAB∽△BFG进行证明：
∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为4，
对于y，当x＝4，得y，
∴点G的坐标为（4，），
∴AG，
∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
BG＝AB﹣AG，
∴，，
∴，
∵∠OAB＝∠FBG＝90°，
∴△OAB∽△FBG．
（3）设点P（m，0），而点F（1，2），点G（4，），
则FG2＝9，PF2＝（m﹣1）2+4，
PG2＝（m﹣4）2，
当GF＝PF时，（m﹣1）2+4，
解得，m或（舍去负值），
当PF＝PG时，同理可得：m；
当GF＝PG时，同理可得：m＝4或4（舍去）；
综上，OP的长为或或4．
15．【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点C（4，﹣3），
∴﹣3，
∴k＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y，
∵y＝ax+b的图象经过C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1．
（2）∵一次函数的解析式为y＝﹣x+1与y轴交于点A（0，1）
∴S△COE＝S△AOE+S△AOC1×31×4＝3.5．
（3）如图，∵C（4，﹣3），
∴OC5，
①当CM＝OC时，可得M1（8，0）．
②当OC＝OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．
②当MC＝MO时，设M4（x，0），则有x2＝（x﹣4）2+32，
解得x，
∴M4（，0）．
综上所述，点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）．
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