2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中等腰三角形存在性问题（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中等腰三角形存在性问题
1．如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D．
（1）求OA、OB的长度和点D的坐标；
（2）如图2，点P是y轴上一动点，当CP+PD最小时，求点P的坐标；
（3）若点Q是x轴上一动点，当△OQD为等腰三角形时，求出点Q的坐标．
2．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0）．直线yx交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达O点时，点P停止移动．连接PB，PC，设运动时间为t秒．
（1）求D点坐标；
（2）当△PBC为等腰三角形时，求P点坐标；
（3）若点P，Q在运动过程中存在某一时刻，使得以点O，P，Q为顶点的三角形与△BCQ相似，求P的运动速度a的值．
3．已知，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
（1）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（2）若点E是直线上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．
4．如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点．
（1）则A点的坐标为 　 　 ，B点的坐标为 　 　 ；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究△BPC能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为C．
（1）点B的坐标为 　 　 ；
（2）求△BOC的面积；
（3）在y轴上求一点P，使△POC是以OC为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标 　 　 ．
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA＝8，OB＝6，点M（4，m）在直线上，动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．
（1）A点的坐标为　 　 ；B点的坐标为　 　 ；
（2）直线AB的函数解析式；
（3）设点P的运动时间为t秒（0≤t≤4），△BPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当S＝8时点P的坐标；
（4）x轴正半轴上是否存在一点P，使△OPM为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象l2与x轴、y轴分别交于点C、D．
（1）填空：点A的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ；
（2）在x轴上是否存在点P，使得2∠BPO+∠OBA＝90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q为平面内一点，且△CDQ为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
8．如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线与x轴、y轴分别交于点C，D，连接AD．直线l1与直线l2交于点E（﹣3，m），在x轴上有一点P（a，0）（a＜﹣3），过点P作x轴的垂线，分别与直线l1，l2交于点M，N．
（1）求m的值及△ABD的面积；
（2）若MN＝BD，求a的值；
（3）在y轴找点Q使得△DEQ为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，直线经过点A，且与y轴交于点C．
（1）点A的坐标为 　 　 ，b＝ 　 　 ；（直接写出答案）
（2）若点Q为y轴上任意一点．
①连接AQ，当∠QAB＝45°时，请求出点Q的坐标；
②若点P为射线AO上任意一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线AB、AC于M、N，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．
（1）当b＝6时，
①求直线AB的解析式；②若QO＝QA，求P点的坐标．
（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）AB的长为 　 　 ，点D的坐标是 　 　 ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
13．直线y与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（﹣1，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）点D在第二象限，当△DAB为等腰直角三角形时，直接写出点D的坐标；
（3）过C作x轴的垂线（即直线x＝﹣1），E为直线x＝﹣1上的点，当△EAB为等腰三角形时，求出点E的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．
（1）求m，n的值；
（2）设一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图直线与x轴、y轴分别交于点A、B两点，且点A的坐标是（﹣8，0），该直线上还有一点C（2，m）．
①则B点坐标是 　 　 ；m＝ 　 　 ；
②在x轴上是否存在一点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③若点D的坐标为（﹣6，0），点Q在y轴上，△QCD的面积为16，请直接写出出点Q的坐标．
16．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E．
（1）点P坐标为（2，﹣4），求△ABP的面积．
（2）以AB为腰在第一象限作等腰直角三角形ABC，直接写出点C的坐标．
17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
18．建立模型：
如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上．
操作：
过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：
（1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：yx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC交x轴于点C（1，0）．
（1）先判断△ABC的形状，再说明理由；
（2）线段AC上取一点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）若在x轴上有一点M，在直线BC上有一点N，满足△MNC≌△AOB，求点M的坐标．
20．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线AB上有一点C，点C在第二象限，连接OC，以OC为直角边，点O为直角顶点，在直线AB下方作等腰直角三角形COD，连接BD．
（1）求证：AC＝BD．
（2）当BD＝2BC时，在x轴上有一点P，若△COP是等腰三角形，直接写出所有P点的坐标．
（3）若点B是AC的三等分点，求点D的坐标．
参考答案
1．【解答】解：（1）在中，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，得：，
解得：x＝8，
∴A（8，0）、B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
联立与，
解得：，
∴点C（2，3），
由题意得：点D（3，﹣3）；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，则D′（﹣3，﹣3），
连接CD′交y轴于点P′，
连接P′D，此时CP′+PD最小，
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，把点C（2，3），D′（﹣3，﹣3）代入得：
，
解得：，
∴直线CD′的解析式为，
当x＝0时，，
∴点，
即当CP+PD最小时，点P的坐标为；
（3）设点Q（x，0），
∵D（3，﹣3），O（0，0），
∴OD2＝（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2＝18，
OQ2＝（x﹣0）2+（0﹣0）2＝x2，
DQ2＝（x﹣3）2+（0+3）2＝（x﹣3）2+9，
当△OQD为等腰三角形时，分三种情况讨论：
当OD＝OQ时，由18＝x2得：，
∴或，
当OD＝DQ时，由18＝（x﹣3）2+9得：
x＝6或x＝0（与O重合，舍去），
∴Q（6，0），
当OQ＝DQ时，由x2＝（x﹣3）2+9得：x＝3，
∴Q（3，0），
综上，△OQD为等腰三角形时，点Q坐标为，或，或Q（3，0）或Q（6，0）．
2．【解答】解：（1）∵直线yx交AB于点D，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），
∴把y＝4代入yx得，3x，解得x＝4，
∴D（4，3）；
（2）①如图1，当PC＝PB时，点P为BC的中垂线与直线yx的交点，
∴把y代入yx得，x，解得x＝2，
∴；
②如图2，当PB＝BC时，设P（x，x）
∵B（8，3），
∴PB2＝（x﹣8）2+（x﹣3）2，
∴（x﹣8）2+（x﹣3）2＝9，解得x1，x2＝8（舍去）
∴把x1代入yx，得y，
∴；
（3）①如图3，当PQ⊥x轴，连接BQ
PQat，PQ（8﹣t），
∴a，
∵△OPQ∽△BCQ，
∴，即，解得t＝4
a，
或即，解得t，
把t代入a，解得a，
∴∠OQP＝90°时，；
②如图4，当PQ⊥OD，
∵PQat，PQ（8﹣t），
∴a，
∵△OPQ∽△QCB，
∴，即，解得t＝4，
把t＝4代入a，
或，即，解得t，
把t，代入a，
∴∠OPQ＝90°时，．
3．【解答】解：（1）一次函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线相交于点C，
当x＝0时，y＝6；
当y＝0时，x＝8，
∴A（8，0），B（0，6）；
联立，
解得：，
∴C为，
∴，
∵S△AOC＝S△BCP，点P是直线l上的一个动点，
∴，
解得：，
∴或；
（2）设点、点P（n，6），
当∠EPA＝90°时，
当点P在y轴右侧且在点E的左侧时，如图②，过P作PN⊥OA于N，过E作EM⊥PN于M，
∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，
∵AP＝PE，
∴△EMP≌△PNA，
∴ME＝PN＝6，MP＝AN，
∴，
解得：，
∴；
如图③：当点P在点E的右侧时，
同理可得：，
解得m＝16，
∴E（16，20）；
如图④，当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，
同理可得：，
解得：m＝14，
∴点；
如图⑤：
同理可得：，
解得：m＝2，
∴．
综上所述，点E的坐标为或（16，20）或或．
4．【解答】解：（1）在l1：y＝﹣3x+6中，
令x＝0，则y＝6，所以点B坐标为（0，6）；
令y＝0，则x＝2，所以点A坐标为（2，0）．
所以点A、B坐标分别是（2，0）和（0，6）；
故答案为：（2，0）；（0，6）；
（2）如图，过点C向y轴作垂线，E为垂足．
由条件可知AB＝BC．
∵∠CBE+∠ABO＝180°﹣90°＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△CBE和△BAO中，∠CBE＝∠BAO，∠BEC＝∠AOB，BC＝AB．
∴△CBE≌△BAO（AAS）．
∴EC＝BO＝yB＝6，BE＝OA＝xA＝2．
∴OE＝6+2＝8．
故点C坐标为（6，8）．
设l2函数表达式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得：
，解得．
∴直线l2的函数表达式为y＝2x﹣4；
（3）设点P的坐标为（m，2m﹣4），假设以BP为直角边的△BPC是等腰直角三角形，
如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交y轴于点M，交CD于点N，
在△BMP和△PNC中，
，
∴△BMP≌△PNC（AAS），
∴BM＝PN，MP＝CN，
∵BM＝6﹣（2m﹣4）＝10﹣2m，
PN＝6﹣m，MP＝m，CN＝8﹣（2m﹣4）＝12﹣2m．
∴由PM＝CN，m＝12﹣2m，m＝4，
此时BM＝PN＝2，m适合题意．
此时P（4，4）．
5．【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝2，即点B（0，2），
故答案为：（0，2）；
（2）联立两个函数表达式得：x+2x，则x＝3，即点C（3，4），
则△BOC的面积OB×xC2×3＝3；
（3）设点P（0，y），
由点P、O、C的坐标得，PO2＝y2，PC2＝9+（y﹣4）2，CO2＝25，
则PO＝CO或PC＝OC，
即25＝9+（y﹣4）2或y2＝25，则y＝±5或0（舍去）或8，
即点P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）．
6．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA＝8，OB＝6，
∴A（8，0），B（0，6），
故答案为：（8，0）；（0，6）；
（2）把A（8，0），B（0，6）代入y＝kx+b（k≠0），得：
，
解得：，
∴；
（3）由题意，得：OP＝2t，
当0≤t≤4时，点P在线段OA上，
∴AP＝8﹣2t，
∴△BPA的面积为，
当S＝8时，得：﹣6t+24＝8，
解得：，
∴，
∴．
（4）x轴正半轴上存在一点P，使△OPM为等腰三角形；理由如下：
∵，把M（4，m），代入得：，
∴M（4，3），
∴，
设P（2t，0）（t＞0），
当△OPM为等腰三角形时，分三种情况：
①OP＝OM＝5，则：P（5，0）；
②当OP＝PM时，则：（2t）2＝（2t﹣3）2+42，
解得：，
∴，
∴；
③当OM＝MP时，过点M作MN⊥x轴，则：ON＝4，OP＝2ON＝8，
∴P（8，0）；
综上，x轴正半轴上存在一点P，使△OPM为等腰三角形；P（5，0），P（8，0），．
7．【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣4）；
故答案为（3，0）；（0，﹣4）；
（2）在x轴上存在点P，使得2∠BPO+∠OBA＝90°，
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
在Rt△OAB中，∠OAB+∠OBA＝90°，
由勾股定理得：AB5，
∵2∠BPO+∠OBA＝90°，
∴∠OAB＝2∠BPO，
∴有以下两种情况：
①当点P在点A的右侧时，如图1所示：
∵∠OAB是△BAP的一个外角，
∴∠OAB＝∠BPO+∠ABP，
∴2∠BPO＝∠BPO+∠ABP，
∴∠BPO＝∠ABP，
∴AP＝AB＝5，
∴OP＝OA+AP＝3﹣5＝8，
∴点P的坐标为（8，0）；
②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，如图2所示：
∵OE＝OA＝3，BE＝AB＝5，∠OEB＝∠OAB＝2∠BPO，
∵∠OEB是△BPE的一个外角，
∴∠OEB＝∠BPO+∠EBP＝2∠BPO，
∴∠BPO＝∠EBP，
∴PE＝BE＝5，
∴OP＝OE+PE＝3+5＝8，
∴点P的坐标为（﹣8，0），
综上所述：点P的坐标为（8，0）或（﹣8，0）；
（3）对于，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣12，
∴点C的坐标为（﹣12，0），点D的坐标为（0，5），
∴OC＝12，OD＝5，
当△CDQ为等腰直角三角形时，有以下6中情况：
①当以点D为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的上方时，过点Q作QF⊥y轴于点F，如图3所示：
∴∠COQ＝90°，CD＝DQ，∠COD＝∠DFQ＝90°，
∴∠CDO+∠QDF＝90°，∠OCD+∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠QDF，
在△OCD和△QDF中，
，
∴△OCD≌△QDF（AAS），
∴OD＝QF＝5，OC＝DF＝12，
∴OF＝OD+DF＝5+12＝17，
∴点Q的坐标为（﹣5，17）；
②当以点D为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的下方时，过点Q作QFH⊥y轴于点H，如图4所示：
同理可证明：△OCD≌△HDQ（AAS），
∴OD＝HQ＝5，OC＝DH＝12，
∴OH＝DH﹣OD＝12﹣5＝7，
∴点Q的坐标为（5，﹣7）；
③当以点C为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的上方时，过点Q作QG⊥x轴于点G，如图5所示：
同理可证明：△OCD≌△GQC（AAS），
∴OC＝QG＝12，OD＝CG＝5，
∴OD＝OC+CG＝12+5＝17，
∴点Q的坐标为（﹣17，12）；
④当以点C为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的下方时，过点Q作QK⊥x轴于点K，如图6所示：
同理可证明：△OCD≌△KQC（AAS），
∴OD＝CK＝5，OC＝KQ＝12，
∴OK＝OC﹣CK＝12﹣5＝7，
∴点Q的坐标为（﹣7，﹣12）；
⑤当以CD为斜边，∠CQD＝90°，且点Q在CD的上方时，过点Q作QT⊥x轴于点T，QR⊥y轴于点R，如图7所示：
∴∠QTO＝∠QRO＝∠TOR＝90°，
∴四边形QTOR是矩形，
同理可证明：△QCT≌△QDR（AAS），
∴设CT＝DR＝a，QT＝QR，
∴矩形QTOR是正方形，
∴OT＝OR＝a，
∵OT＝OC﹣CT＝12﹣a，OR＝OD+DR＝5+a，
∴12﹣a＝5+a，
解得：a＝3.5，
∴OT＝12﹣a＝8.5，
∴点Q的坐标为（﹣8.5，8.5）；
⑥当以CD为斜边，∠CQD＝90°，且点Q在CD的下方时，过点Q作OM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，如图8所示：
∴四边形QMON为矩形，
同理可证明：△QCM≌△QDN（AAS），
∴设QM＝QN＝a，CM＝DN，
∴矩形QMON是正方形，
∴OM＝ON＝a，
∵CM＝OC﹣OM＝12﹣a，DN＝OD+ON＝5+a，
∴12﹣a＝5+a，
解得：a＝3.5，
∴QM＝QN＝3.5，
∴点Q的坐标为（﹣3.5，﹣3.5），
综上所述：所有满足条件的点Q的坐标为（﹣5，17）或（5，﹣7）或（﹣17，12）或（﹣7，﹣12）或（﹣8.5，8.5）或（﹣3.5，﹣3.5）．
8．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+2与另一直线交于点E（﹣3，m），把点E的坐标代入得：
m＝﹣（﹣3）+2＝5，
∴E（﹣3，5），
把点E的坐标代入得：
，
解得b＝9，
∴直线l2为，
∵直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，
令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），B（0，2），
∵直线与x轴，y轴分别交于点C，D，
令x＝0，则y＝9，
∴D（0，9）；
∴BD＝9﹣2＝7，
∴S△ABDBD xA7×2＝7；
（2）∵MN∥y轴，
∴∠DBE＝∠NME，
在△DBE和△NME中，
，
∴△DBE≌△NME（AAS），
∴BE＝ME，
∵点E（﹣3，5），
∴M点的横坐标为﹣6，
∴a的值为﹣6；
（3）解：过点E作EF⊥y于点F，如图，
∵E（﹣3，5），
∴OF＝5，EF＝3，
∵D（0，9），
∴DF＝9﹣5＝4，
在直角三角形DEF中，由勾股定理得：DE5；
若DE为腰时，则DQ1＝DQ2＝DE＝5，DF＝FQ3＝4，如图，
∴Q1（0，14），Q2（0，4），Q3（0，1）；
若DE为底时，则DE的垂直平分线交y于Q4，则EQ4＝DQ4，
设FQ4＝x，则DQ4＝4﹣x，
∴32+x2＝（4﹣x）2，
解得，x，
∴OQ4＝5，
∴Q4（0，）；
综上，点Q的坐标为（0，14）或（0，4）或（0，1）或．
9．【解答】解：（1）当y＝0时，，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
当x＝﹣4，y＝0时，
，
∴b＝﹣3，
故答案为：（﹣4，0），﹣3；
（2）①，
如图1﹣1，
过点B作AE⊥AQ于E，作EF⊥y轴于点F，作AD⊥EF于D，
∴∠D＝∠BFE＝∠AEB＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠DAE＝∠BEF，
∵∠BAQ＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAQ＝45°，
∴∠ABE＝∠BAQ，
∴AE＝BE，
∴△ADE≌△EFB（AAS），
∴AD＝EF，BF＝DE，
设E（x，y），
∴﹣y＝﹣x，2﹣y＝x﹣（﹣4），
∴x＝y＝﹣1，
∴E（﹣1，﹣1），
设AQ的解析式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y，
∴Q（0，），
如图1﹣1，
同理可得，
DE＝BF，AD＝EF，
∴x﹣（﹣4）＝y﹣2，y＝﹣x，
∴x＝﹣3，y＝3，
∴E（﹣3，3），
∴，
∴，
∴y＝3x+12，
∴Q（0，12）；
综上所述：Q（0，）或（0，12）；
②设P（t，0），
如图2﹣1，
当∠NMQ＝90°（或∠MNQ＝90°）时，
MN＝（），DQ＝﹣t，
由MQ＝MN得，
，
∴t，
如图2﹣2，
当∠MQN＝90°时，
由MN＝2DQ得，
，
∴t，
如图2﹣3，
当∠MQN＝90°时，
，
∴t，
当∠NMQ＝90°（或∠MNP＝90°），
，
∴t＝﹣20（舍去）
综上所述：t或或．
10．【解答】解：（1）①由A（8，0），B（0，6），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
把A与B坐标代入得，
解得，
则直线AB解析式为yx+6；
②∵QA＝QO，OA＝8，
∴xQ＝4，
∵点P关于y轴的对称点为Q，
∴xP＝﹣4，
代入直线AP解析式得（﹣4）+6＝9，
则P坐标得P（﹣4，9）；
（2）①若∠QAC＝90°，如图1所示，
∴xQ＝8，
∴a＝xP＝﹣8，
∴AC＝AQ＝16，即P（﹣8，16），
∴直线AP解析式为y＝﹣x+8，
∴a＝﹣8，b＝8；
②若∠AQC＝90°，如图2所示，
则AC＝8﹣a＝4CO＝﹣4a，
∴a，
∴xP，yP＝yq，即P（，），
∴直线AP解析式为yx+4，
∴a，b＝4，
③P、Q重合于（0，8）时，△QCA也是等腰直角三角形，此时a＝0，b＝8，舍去，
综上所示，a＝﹣8，b＝8或a，b＝4．
11．【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB5，
∵若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝OA+AD＝8，
∴D（8，0），
故答案为：5，（8，0）；
（2）设C（0，a）（a＜0），
由题意得：BC＝CD，
∴4﹣a，
解得：a＝﹣6，
∴C（0，﹣6）；
（3）设M（0，b），
∵S△MABS△OCD，
∴|4﹣b|×36×8，
解得：b＝28或b＝﹣20，
∴M（0，28）或M（0，﹣20）；
（4）存在，（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）．
当AB＝AP，∠BAP＝90°时，过P作PF⊥x轴于F，
∵∠AOB＝∠OFP＝∠BAP＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝∠OAB+∠PAF＝90°，
∴∠OBA＝∠PAF，
∵AB＝AP，
∴△ABO≌△PAF，
∴PF＝OA＝3，AF＝OB＝4，
∴OF＝OA+AF＝7，
∴P（7，3），
当AB＝AP′，∠P′BA＝90°时，过P′作P′G⊥y轴于G，
同理得：△ABO≌△BP′G，
∴P′G＝OB＝4，BG＝OA＝3，
∴OG＝OB+BG＝7，
∴P′（4，7），
当BP″＝AP″，∠BP″A＝90°时，点P″是AP′和BP的交点，
设AP′的解析式为：y＝kx+b，
则：，
解得：，
∴AP′的解析式为：y＝7x﹣21，
设BP的解析式为：y＝ax+4，
则：7a+4＝3，
解得：a，
∴BP的解析式为：yx+4，
解方程组得：，
∴P″（3.5，3.5），
∴点P的坐标为：（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）．
12．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），
∴3k1＝4，
∴k1，
∴正比例函数解析式为yx．
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝4，AC＝3，
AO5，
∴OB＝OA＝5，
∴B（0，﹣5），
则一次函数的表达式为：y＝k2x﹣5，
将点A的坐标代入上式得：4＝3k2﹣5，
解得：k2＝3，
∴一次函数解析式为y＝3x﹣5；
（2）如图2中，
当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），
当AO＝AP时，P3（6，0），
当PO＝AP时，同理可得，点P4（，0），
∴满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或（，0）．
13．【解答】解：（1）直线y与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
当y＝0时，得：，
解得：x＝﹣4，
当x＝0时，得：，
∴A（﹣4，0），B（0，2）；
（2）点D的坐标为（﹣3，3）或（﹣6，4）或（﹣2，6）；理由如下：
当∠ADB＝90°，AD＝BD时，过点D作DG⊥y轴，DH⊥x轴，如图1，
∵DG⊥y轴，DH⊥x轴，
∴∠DGB＝∠DHA＝90°，
∴∠ADH+∠DAH＝∠ADH+∠BDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝∠BDG+∠BDH＝90°，
∴∠DAH＝∠BDH，∠DBG＝∠BDH，
∴∠DAH＝∠DBG，
在△ADH和△BDG中，
，
∴△ADH≌△BDG（AAS），
∴DG＝DH，BG＝AH，
∵∠AOG＝∠OHD＝∠OGD＝90°，
∴四边形HOGD是正方形，
∴DG＝DH＝OH＝OG，
∵B（0，2），A（﹣4，0），
∴OB＝2，OA＝4，
设D（﹣m，m），
∴OG＝m，OH＝m，
∴BG＝m﹣OB＝m﹣2，AH＝OA﹣OH＝4﹣m，
∴m﹣2＝4﹣m，
解得：m＝3，
∴D（﹣3，3）；
当∠DAB＝90°，AD＝AB时，过点D作DG⊥x轴，如图2，
同理，△ADG≌△BAO（AAS），
∴AG＝OB＝2，AG＝OA＝4，
∴OG＝AG+OA＝6，
∴D（﹣6，4）；
当∠DBA＝90°，BD＝AB时，过点D作DG⊥y轴，如图3，
同理，△BDG≌△ABO（AAS），
∴DG＝OB＝2，BG＝OA＝4，
∴OG＝BG+OB＝6，
∴D（﹣2，6）；
综上所述，点D的坐标为（﹣3，3）或（﹣6，4）或（﹣2，6）；
（3）设E（﹣1，n），
∵B（0，2），A（﹣4，0），
∴AE2＝[﹣4﹣（﹣1）]2+n2＝9+n2，BE2＝（﹣1）2+（2﹣n）2＝5﹣4n+n2，AB2＝20，
∵△EAB为等腰三角形，
当AE＝BE时，即AE2＝BE2，
∴9+n2＝5﹣4n+n2，
解得：n＝﹣1，
∴E（﹣1，﹣1）；
当AE＝AB时，即AE2＝AB2，
∴9+n2＝20，
解得：，
∴；
当BE＝AB时，即BE2＝AB2，
∴5﹣4n+n2＝20，即n2﹣4n﹣15＝0，
解得：，
∴；
综上所述，点E的坐标为或或（﹣1，﹣1）．
14．【解答】解：（1）正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）．
∴4＝2m，
∴m＝2．
又∵一次函数y＝﹣x+n的图象过点A（2，4）．
∴4＝﹣2+n，
∴n＝6；
（2）一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，
∴令y＝0，则0＝﹣x+6
∴x＝6，
∴点B坐标为（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴点C坐标为（0，6）；
（3）存在，∵点A（2，4），
∴AB4，
当AB＝BP＝4时，则点P（6+4，0）或（6﹣4，0）；
当AB＝AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（2，0），
∵AB＝AP，AE⊥BO，
∴PE＝BE＝4，
∴点P（﹣2，0）；
当PA＝PB时，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴点P（2，0），
综上所述：点P坐标为（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
15．【解答】解：①把点A（﹣8，0）代入yx+b得（﹣8）+b＝0，
解得b＝6，
∴直线l的解析式为yx+6，
当x＝0时，y＝6，
∴B点坐标是（0，6），
把点C（2，m）代入yx+6得，
故答案为：（0，6），；
②∵A（﹣8 ，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
又∵x轴⊥y轴，
∴，
（1）当AB＝AP＝10时，
如图，
则点P是（﹣8±10，0），
∴P点是P1（﹣18，0）或P2（2，0）；
（2）当AB＝PB＝10时，∵x轴⊥y轴，
∴AO＝PO＝8，
∴P点是P3（8，0），
（3）当AP＝PB时，设AP＝PB＝m，
则OP＝8﹣m，
∵x轴⊥y轴，
∴OP2+OB2＝PB2，
∴（8﹣m）2+62＝m2，
∴，
∴，
即，
综上所述，点P的坐标为（﹣18，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）；
③设直线CD的解析式为y＝ax+c，
∴，
解得，
∴直线CD的解析式为yx，
∴直线CD与y轴的交点坐标为（0，），
设Q（0，n），
∵点D的坐标为（﹣6，0），C（2，），△QCD的面积为16，
∴6×|n|2×|n|＝16，
∴n或n，
∴点Q坐标是或．
16．【解答】解：（1）把A（0，3）、B（6，0）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
∵点D在直线AB上，横坐标为x＝2，
∴y＝2，
∴点D坐标为（2，2）；
如图中，
S△PAB＝S△PDA+S△PDBPD×66×6＝18；
（2）如图中，
①当△ABC1是等腰直角三角形时，作C1M⊥x轴于M，
由△ABO≌△BC1M，得BM＝OA＝3，C1M＝OB＝6，
∴C1（9，6）；
②当△BAC2是等腰直角三角形时，同理可得等C2（3，9），
综上所述，满足条件的点C的坐标为（9，6）或（3，9）．
17．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2）．
当y＝0时，，x＝6，
∴A（6，0）．
∵AC＝8，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0）．
∵OD＝3OC，
∴OD＝6，
∴D（0，6）．
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴y＝3x+6；
（2）作QE⊥OD交CD于点E，设，，
∴．
∵A（6，0），B（0，2），
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）存在，理由：
当∠CMN＝90°时，如图，作ME⊥OC于点E，作NF⊥EM于点F．
∴∠CEM＝∠MFN＝90°．
∵△CMN是等腰直角三角形，
∴MN＝CM．
∵∠CME+∠ECM＝90°，∠CME+∠FMN＝90°，
∴∠ECM＝∠FMN，
∴△CEM≌△FMN（AAS），
∴ME＝NF．
设，则E（a，0），
∴，
解得或a＝﹣3，
∴M（﹣3，3）或．
当∠CNM＝90°时，如图过点N作EF∥OA，作ME⊥EF于点E，作CF⊥EF于点F．
同理可证：△CEM≌△FMN（AAS），
∴CE＝FM，ME＝NF．
设N（0，n），，则E（a，0），
∴，|n|＝|a|，
解得a＝3或a＝0或a＝﹣6（此时∠CNM≠90°，舍去），
∴M（3，1）．
综上可知，点M的坐标为（﹣3，3）或或（3，1）．
18．
【解答】解：操作：如图1：，
∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ACD和△CBE中，
∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（1）∵直线yx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（﹣3，0）．
如图2：，
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴
在△BDC和△AOB中，
，
△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4．OD＝OB+BD＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3）．
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得
，
解得
l2的函数表达式为yx+4；
（2）由题意可知，点Q是直线y＝2x﹣6上一点．
如图3：，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．
在△AQE和△QPF中，
，
∴△AQE≌△QPF（AAS），
AE＝QF，即6﹣（2a﹣6）＝8﹣a，
解得a＝4
如图4：，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，
AE＝2a﹣12，FQ＝8﹣a．
在△AQE和△QPF中，
，
△AQE≌△QPF（AAS），
AE＝QF，即2a﹣12＝8﹣a，
解得a；
综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4．
19．【解答】解：（1）△ABC的形状为直角三角形，理由：
对于，当x＝0时，y＝2，令y＝0，则x＝﹣4，
即点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，2），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝20，BC2＝5，AC2＝25，
则AC2＝AB2+BC2，
即△ABC的形状为直角三角形；
（2）△BCD是以BC为腰的等腰三角形，
当BC＝BD时，则点C、D关于y轴对称，即点D（﹣1，0）；
当BC＝CD时，则CD，则点D（1，0），
即D（﹣1，0）或（1，0）；
（3）如下图，当点M在点C的右侧时，
∵△MNC≌△AOB，则CM＝AB＝2，
则点M（1+2，0），
当点M在点C的左侧时，
同理可得，点M（1﹣2，0），
综上，M（1+2，0）或（1﹣2，0）．
20．【解答】（1）证明：∵y＝﹣x+2，
∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∵△COD是等腰直角三角形，
∴OC＝OD，∠COD＝90°＝∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°+∠BOC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：点P的坐标为或或P（﹣4，0）或P（﹣5，0）；理由如下：
∵BD＝2BC，AC＝BD，
∴AC＝2BC，
∴AB＝BC，
∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝45°，，
∴，
过点C作CE⊥x轴，则：△AEC为等腰直角三角形，
∴，
∴OE＝AE﹣OA＝2，
∴C（﹣2，4），
∴，
设点P（m，0），则：OP2＝m2，CP2＝（m+2）2+42，
当△COP是等腰三角形时，分三种情况：
①，则：或；
②PC＝OC，则：PE＝OE＝2，
∴OP＝4，
∴P（﹣4，0）；
③OP＝PC，则：m2＝（m+2）2+42，
解得：m＝﹣5，
∴P（﹣5，0）；
综上：或或P（﹣4，0）或P（﹣5，0）；
（3）解：过点C作CF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，如图2，
∵，B为AC的三等分点，
①当，
∵∠CAO＝45°，∠AFC＝90°，
∴，
∴OF＝4，
∵△COD是等腰直角三角形，
∴OC＝OD，∠COD＝90°＝∠CFO，
∴∠DOH＝∠FCO＝90°﹣∠COF，
又∵∠OFC＝∠OHD＝90°，
在△OFC和△DHO中，
，
∴△OFC≌△DHO（AAS），
∴OH＝FC＝6，DH＝OF＝4，
∴D（﹣6，﹣4）；
②当AC＝3BC时，如图3，则：AB＝2BC，
∴，
同理可得：D（﹣3，﹣1）；
综上所述，D（﹣6，﹣4）或D（﹣3，﹣1）．
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