2025年九年级中考数学三轮冲刺训练数与式专题训练（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练数与式专题训练
一、选择题
1．《哪吒之魔童闹海》自上映以来，已创造多项纪录，2025年2月17日，该电影总票房（含预售）突破120亿元，进入全球影史票房榜前10名，数据120亿用科学记数法可以表示为（　　）
A．120×108 B．1.2×109 C．1.2×1010 D．0.12×1011
2．已知m，则实数m的范围是（　　）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
3．将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（　　）
A．7 B．8 C． D．4
4．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b
5．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　）
A．20 B．21 C．23 D．26
6．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
二、填空题
7．若x2+2x＝3，则2x2+4x﹣5＝　 　 ．
8．如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 　 　 个火柴棒．
9．已知a﹣b＝3，ab＝10，则a2+b2＝　 　 ．
10．若a，则a2　 　 ．
11．已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 　 　 ．
12．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2，a3，…，an，则a2024的值为 　 　 ．
13．已知实数a、b满足ab＝1的两根，则　 　 ．
三、解答题
14．先化简，再代入求值：，其中．
15．（1）解不等式组：；
（2）先化简，再求值：（），其中x满足x2﹣2x﹣1＝0．
16．（1）计算：（π﹣3.14）0+|2|﹣2sin60°；
（2）计算：．
17．（1）计算：（π+1）0+2sin60°+|2|；
（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．
18．已知实数a，b，c，m，n满足，．
（1）求证：b2﹣12ac为非负数；
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．
19．阅读下面材料：
将边长分别为a，a，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a）2﹣a2
＝[（a）+a] [（a）﹣a]
＝（2a）
＝b+2a
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　 　 ，S4﹣S3＝　 　 ；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：120亿＝12000000000＝1.2×1010．
故选：C．
2．【解答】解：m32，
∵，
∴34，
即实数m的范围是3＜m＜4，
故选：B．
3．【解答】解：由题意可得前七行所有的数的总个数为1+2+3+4+5+6+7＝28，
则第八行左起第1个数是第29个数，即，
故选：C．
4．【解答】解：根据已知得，8×2a＝28b，
即2a+3＝28b，
∴a+3＝8b．
故选：A．
5．【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中，菱形的个数为：2＝1×3﹣1；
第②个图案中，菱形的个数为：5＝2×3﹣1；
第③个图案中，菱形的个数为：8＝3×3﹣1；
第④个图案中，菱形的个数为：11＝4×3﹣1；
…，
所以第n个图案中，菱形的个数为（3n﹣1）个，
当n＝8时，
3n﹣1＝23（个），
即第⑧个图案中，菱形的个数为23个．
故选：C．
6．【解答】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
二、填空题
7．【解答】解：∵x2+2x＝3，
∴2x2+4x﹣5
＝2（x2+2x）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
8．【解答】观察图形的变化可知：
摆第1个图案要用火柴棒的根数为：3；
摆第2个图案要用火柴棒的根数为：5＝3+2＝1+2×2；
摆第3个图案要用火柴棒的根数为：7＝3+2+2＝1+3×2；
…
则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：1+2n×1＝2n+1；
故第7个图案要用火柴棒的根数为：2×7+1＝15．
故答案为：15．
9．【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝10，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab
＝9+20
＝29，
故答案为：29．
10．【解答】解：∵a，
∴a2（a）2﹣2＝（）2﹣2＝3．
故答案为3．
11．【解答】解：∵a2﹣2b+1＝0，
∴a2+1＝2b，
∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴b＞0，
∴
＝2．
12．【解答】解：∵a1＝x+1，
∴a2，
a3，
∴a4x+1，
∴a5，
a6，
…，
由上可得，每三个为一个循环，
∵2024÷3＝674 2，
∴a2024．
故答案为：．
13．【解答】解：∵ab＝1，
∴原式
＝1，
故答案为：1．
三、解答题
14．【解答】解：


，
当时，原式．
15．【解答】解：（1），
解不等式①，得x＜6，
解不等式②，得x，
∴不等式组的解集为：x＜6；
（2）（）
，
∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式．
16．【解答】解：（1）（π﹣3.14）0+|2|﹣2sin60°
＝21+22
＝21+2
＝1．
（2）
．
17．【解答】解：（1）（π+1）0+2sin60°+|2|
＝3+1+22
＝3+12
＝6；
（2）（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）
＝a2﹣4a+4+a2+3a﹣a﹣3
＝2a2﹣2a+1，
∵a2﹣a﹣3＝0，
∴a2﹣a＝3，
当a2﹣a＝3时，原式＝2（a2﹣a）+1＝2×3+1＝6+1＝7．
18．【解答】解：（1）证明：∵，
∴b＝a（3m+n），c＝amn，
则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn
＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn
＝a2（9m2﹣6mn+n2）
＝a2（3m﹣n）2，
∵a，m，n是实数，
∴a2（3m﹣n）2≥0，
∴b2﹣12ac 为非负数．
（2）m，n不可能都为整数．
理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，
①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，
又∵，
∴b＝a（3m+n），
∵a为奇数，
∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾；
②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，
又∵，
∴c＝amn，
∵a为奇数，
∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，m，n不可能都为整数．
19．【解答】解：S3﹣S2＝（a+2）2﹣（a）2
＝a2+4a4b﹣a2﹣2ab
＝2a3b，
当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+2；
S4﹣S3＝（a+3）2﹣（a+2）2＝a2+6a9b﹣a2﹣4a4b
＝2a5b，
当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+2；
故答案为：9+2；15+2；
（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2；
证明：Sn+1﹣Sn
＝（1n）2﹣[1+（n﹣1）]2
＝[2+（2n﹣1）]
＝3（2n﹣1）+2
＝6n﹣3+2；
（3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50
＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50
＝S51﹣S1
＝（1+50）2﹣1
＝7500+100．
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