2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中菱形存在性问题训练（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中菱形存在性问题训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：yx+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，设点P的横坐标为m，当S△PBM＝20成立时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求E点的坐标；
（2）连接OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．
3．如图1，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线yx相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线AC上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形OFQE的面积为2？
（3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．我们约定：若关于x的一次函数y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2同时满足，，则称函数y1和y2互为“真诚函数”．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的一次函数y1＝3x+m和y2＝﹣x+n互为“真诚函数”，求m，n的值；
（2）若关于x的一次函数y＝kx+b的“真诚函数”经过点（﹣5，2），且与y＝kx+b的交点P在第三象限，求k的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），点B（3，0），若关于x的一次函数y＝kx+b与它的“真诚函数”交于点N，在平面内是否存在点M，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形．若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，点P为直线l1上的一个动点，若△PAC的面积等于9时，请求出点P的坐标；
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1.请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：yx交于点A．
（1）求出点A的坐标．
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点E．
（1）请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？
8．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为（1，0）∠ABO＝30°，过点B的直线yx+m与x轴交于点C．
（1）求直线l的解析式及点C的坐标．
（2）点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动（0＜t＜4），过点D分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于点E、F，连接EF，点G为EF的中点．
①判断四边形DEBF的形状并证明；②求出t为何值时线段DG的长最短．
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图，直线y＝x+6交x轴、y轴于点A、B，点C为（﹣3，0），连接BC，OD⊥BC交AB于D．
（1）求点D的坐标；
（2）求的值；
（3）设动点M（﹣m+8，m）所在的直线与x轴、y轴交于点E、F，若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线m：y＝kx﹣6k分别交x轴，y轴于A，B（0，3）两点，直线l：yx+b交y轴于C点，交直线m于点P（n，1）．
（1）填空：k＝　 　 ，b＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若BD与CE互相平分，求点E的坐标及四边形BCDE的面积；
（3）N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点N的坐标．
11．已知，在平面直角坐标系中，直线m：y＝kx﹣4与直线n：y＝hx﹣4分别与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A．
（1）如图1，若k＝﹣1，h＝2．
①求点A，B，C的坐标；
②点M，N分别在射线CA和射线BA上，点P在x轴上，若四边形CMNP为菱形，求点P的坐标；
（2）如图2，若，点D（0，﹣2），连接BD交AC于点Q，若∠BQC＝45°，请直接写出h的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣3，12），（6，0）两点，与x轴和y轴分别交于点A和点B．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若点P在线段AB上，过P点作PC⊥OA于点C，作PD⊥OB于点D，若四边形PCOD为正方形，求点P的坐标；
（3）点M在x轴上，点N在第一象限，若以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线CD相交于点D，其中AC＝14，C（﹣6，0），D（2，8）．
（1）求直线l函数表达式；
（2）如图2，点P为线段CD延长线上的一点，连接PB，当△PBD的面积为7时，将线段BP沿着y轴方向平移，使得点P落在直线AB上的点P'处，求点P'到直线CD的距离；
（3）若点E为直线CD上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、D、E、F为顶点的四边形为菱形，若存在请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为yx+4，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是OC的中点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）在直线BC上有两点P、Q，且PQ＝4，使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；
（3）直线AB与y轴交于点H，将△OBH沿AB翻折得到△HBG，M为直线AB上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）将点M的坐标代入yx+3并解得：a＝1，
故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2，得4k﹣2＝1，
解得：k，
∴a＝1，k；
（2）由（1）得直线CD的表达式为：yx﹣2，
则点D（0，﹣2），
∴△PBM的面积＝S△BDM+S△BDPBD×|xM﹣xP|（3+2）|4﹣xP|＝20，
解得：xP＝﹣4或xP＝12，
故点P（﹣4，﹣5）或P（12，7）；
（3）设点F的坐标为（m，m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2），
则BD＝5，
当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD＝BF，即52＝m2+（m）2，
解得m＝±2，
则点F的坐标为（2，3）或（﹣2，3），
点N在点F的正下方5个单位，
则点N（2，2）或（﹣2，2）；
当点F在点N的下方时，则BD＝DF，不符合题意；
以BD为对角线时，F，N的纵坐标为，F的横坐标为：
x+3，
解得：x＝5，
∴N的坐标为（﹣5，），
综上，点N的坐标为（2，2）或（﹣2，2）或（﹣5，）．
2．【解答】解：（1）一次函数中，
令x＝0，得y＝6，
∴D的坐标是（0，6），OD＝6，
∵OD＝BE，
∴BE＝6，
∴E的坐标是（6，2）；
（2）S四边形OAED（OD+AE） OA（6+2）×6＝24，
∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，
∴S△ODM＝6．
设M的横坐标是a，则6a＝6，
解得：a＝2，
把x＝a＝2代入得：
，
∴M的坐标；
故点M的坐标为；
（3）当四边形OMDN是菱形时，如图（1），
此时，M的纵坐标是3，把y＝3代入中，
解得：，
∴M的坐标是；
当四边形OMND是菱形时，如图（2），
∵OM＝OD＝6，则设M的横坐标是m，则纵坐标是，
∴，
解得：或0（舍去），
∴M的坐标是，
综上，点M的坐标为或．
3．【解答】解：（1）令x＝2，则yx2＝1，
∴点B的坐标为（2，1），
将A，B两点坐标代入到直线 y＝kx+b 中，
得，
解得，
∴点B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；
（2）∵点Q为直线AC上（不与A、C重合）一动点，
∴设 Q（m，﹣2m+5），
∵QE⊥y轴，QF⊥x轴，
∴QE＝|m|，QF＝|﹣2m+5|，
∵四边形QEOF的面积为2，
∴|m（﹣2m+5）|＝2，
解得或2或或，
∴当点Q的坐标为（，4）或（2，1）或或时，四边形OFQE的面积为2；
（3）设点M坐标为（0，m），点N坐标为（s，t），
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，
A（0，5），B（2，1），M（0，m），N（s，t），
∴①当AB和MN为对角线时，
∵AB的中点（1，3）也是MN的中点（，），
∴，
解得，
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，
∴AM＝BM，
∴，
∴（m﹣5）2＝（m﹣1）2+22，
解得m，
经检验，m是原方程的解，
∴t＝6，
∴点N的坐标为（2，）；
②当AM和BN为菱形对角线时，
∵AM的中点（0，）也是BN的中点（，），
∴，
解得，
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，AM和BN为菱形对角线，
∴BM＝AB，
∴，
即（m﹣1）2＝16，
解得m＝﹣3或m＝5，
经检验，m＝﹣3或m＝5是原方程的解，
∴当m＝﹣3时，t＝1；
当m＝5时，t＝9，
∴点N的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，9），
∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+5＝9，
∴点N（﹣2，9）在直线AB上，
此时以A，B，M，N为顶点无法构成菱形，
∴点N（﹣2，9）不符合题意，舍去，
∴点N的坐标为（﹣2，1）；
③当AN和BM为菱形对角线时，
∵AN的中点（，）也是BM的中点（1，），
∴，
解得，
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，AN和BM为菱形对角线，
∴AM＝AB，
∴，
即|m﹣5|＝2，
解得m＝5+2或m＝5﹣2，
经检验，m＝5+2或m＝5﹣2是原方程的解，
∴当m＝5+2时，t＝1﹣2，当m＝5﹣2时，t＝1+2，
∴点N的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）．
综上所述，点N的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（﹣2，1）或（2，）．
4．【解答】24．（1）由题意可知：k1+b2＝0，k2+b1＝0，k1+b1≠0，
∴k1＝﹣b2，k2＝﹣b1，k1≠b1，
∵关于x的一次函数y1＝3x+m和y2＝﹣x+n互为“真诚函数”，
∴3＝﹣n，﹣1＝﹣m，
∴m＝1，n＝﹣3；
（2）由题意可知，y＝kx+b的“真诚函数”为y＝﹣bx﹣k，
联立得，解得，
∴点P（﹣1，﹣k+b），
∵y＝kx+b的“真诚函数”经过点（﹣5，2），
∴5b﹣k＝2，
∴b，
∴点P（﹣1，），
∵点P在第三象限，
∴0，
∴k的取值范围为k；
（3）由（2）可知N（﹣1，﹣k+b），
∵点A（﹣1，3），点B（3，0），
∴AB5，
①若点N在点A的上方，四边形ABMN是菱形，如图1，
则AB＝BM＝MN＝AN，
∴点M的坐标为（3，5）；
②若点N在点A的下方，四边形ABMN是菱形，如图2，
则AB＝BM＝MN＝AN，
∴点M的坐标为（3，﹣5）；
③若点N在点A的下方，四边形ABNM是菱形，如图3，
则AN⊥BM，
∴AN与BM互相平分，
∴点M的坐标为 （﹣5，0）；
④若点N在点A的下方，四边形ANBM是菱形，AN交x轴于点C，如图4，
设AN＝BN＝BM＝MA＝x，
在Rt△ABC中，，
∴CN＝x﹣3，
在Rt△BCN 中，CN2+BC2＝BN2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，解得：，
∴点M的坐标为 ；
综上，点M的坐标为（3，5）或（3，﹣5）或（﹣5，0）或 ．
5．【解答】解：（1）设直线l2的解析式y＝kx+b，
∵直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，2），
∵直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4），
∴，
∴，
∴直线l2的解析式：y＝2x﹣4；
（2）由题意可知，BC＝6，
设点P的横坐标为m，
∴S△PAC |xA﹣xP| BC|2﹣m|×6＝9，
∴m＝﹣1或m＝5．
∴P（﹣1，3）或P（5，﹣3）；
（3）设将△ABC沿着x轴平移t个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1（2﹣t，0），
∴CC1＝t，A1C1＝AC＝2，
设D点坐标为（p，q），
①当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当CC1＝A1C1＝2时，即t＝2，
此时CC1∥A1D，即点D在x轴上，
且A1D＝A1C1＝2，
∴点D与点A重合，即D（2，0）．
当CC1＝A1C＝t时，
∵A1（2﹣t，0），C（0，﹣4），
∴（﹣4）2+（2﹣t）2＝t2，
解得t＝5，
此时CC1∥A1D，即点D在x轴上，
且A1D＝CC1＝5，
∴D（﹣8，0）．
②当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形对角线时，A1C1＝A1C＝2，即点A1在CC1的垂直平分线上，且A1，D关于CC1对称，
当△ABC向左一移动，A1（2﹣t，0），C（0，﹣4），C1（﹣t，﹣4），
∴（﹣4）2+（2﹣t）2＝（2）2，
解得t＝4或t＝0（舍），
当△ABC向右移动时，A1（2+t，0），C（0，﹣4），C1（t，﹣4），
∴（﹣4）2+（2+t）2＝（2）2，
解得t＝﹣4（舍）或t＝0（舍），
∴A1（﹣2，0），
∴D（﹣2，﹣8）．
综上所述，存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为（2，0），（﹣8，0），（﹣2，﹣8）．
6．【解答】解：（1）解方程组，得，
∴A（6，3）；
（2）设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴6×x＝12，
解得：x＝4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y＝kx+b，
把C（0，6），D（4，2）代入得：，解得：，
∴直线CD解析式为y＝﹣x+6；
（3）在直线l1：yx+6中，当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
存在点P，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
如图所示，分三种情况考虑：
（i）当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1＝90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时OP1＝OC＝6，即P1（6，0）；
（ii）当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为（0，6），得到P2纵坐标为3，
把y＝3代入直线CP1的解析式y＝﹣x+6中，可得3＝﹣x+6，解得x＝3，此时P2（3，3）；
（iii）当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3＝OC＝CP3＝P3Q3＝6，设P3（x，﹣x+6），
∴x2+（﹣x+6﹣6）2＝62，解得x＝3或x＝﹣3（舍去），此时P3（3，﹣36）；
综上可知存在满足条件的点的P，其坐标为（6，0）或（3，3）或（3，﹣36）．
7．【解答】解：（1）∵与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝3，
∴OB＝4，OA＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝AD＝5，
∴OD＝2，
∴D（﹣2，0），C（﹣5，4），
将C（﹣5，4）代入y＝x+m得，﹣5+m＝4，
∴m＝9；
（2）∵m＝9，
∴y＝x+9，
∴E（﹣9，0），
∵点P（0，t），
∴设M（），N（t﹣9，t），
∴MN，
∵四边形NEDM是平行四边形，
∴MN＝ED，
∴7，
解得t，
∴P（0，）；
（3）∵点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴△CDP是等腰三角形，
当CD＝DP时，∵OD＝2，
∴OP，
∴t＝±（负值舍去），
当CD＝CP时，则点B与P重合，
∴t＝4；
当PD＝PC时，则t2+22＝25+（t﹣4）2，
解得t，
综上：t或4或时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．
8．【解答】（1）解：∵A（1，0），
∴OA＝1，
∵∠ABO＝30°，
∴0B，AB＝2，
∴B（O，），
设直线l的解析式为y＝kx，
∵A（1，0）在直线l上，
∴k，
∴yx，
∵B（0，）在直线yx+m上，
∴m，
∴直线BC的解析式为yx，
∵点C在x轴上，
∴C（﹣3，0）．
（2）解：如图1，
①四边形DEBF为矩形，
∵DE∥AB，DF∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴平行四边形BEDF为矩形．
②∵G为EF中点，
∴G为矩形BEDF的对角线的交点，
∵要使DG最短，也就是BD最短，
∴只有BD⊥AC时，BD最短，
∴CD＝3，
∴t＝3；
（3）
解：如图2，在坐标平面内是存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
设P（0，m）且A（1，0），B（0，），
∴直线AB的解析式为yx，
作a∥BP，则直线a的解析式为x＝1，
作b∥AP，则直线b的解析式为y＝mx，
作c∥AB，则直线c的解析式为yx+m，
①以AB为对角线时，有，
∴Q1（1，﹣m），
∵四边形Q1BPA为菱形，
∴Q1A＝Q1B，即：Q1A2＝Q1B2，
∴（﹣m）2＝1+m2，
∴m，
∴Q1（1，），P''（0，），
②以AB为边时，
Ⅰ、BQ为对角线时，
∵点A（1，0），B（0，），
∴AB＝2，
∵点P是y轴上的点，
∴P（0，2）或P（0，2）
∵AB解析式为yx，
∴AP解析式为yx2或yx2，
∵四边形APQB为菱形，
∴点Q过点A且PQ∥y轴的直线上，
∴Q2（1，2）或Q3（1，﹣2）；
Ⅱ、以BQ为边时，
∴P（0，），
∴点Q4（﹣1，0），
∴存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q1（1，），或Q2（1，2），或Q3（1，﹣2）或Q4（﹣1，0）．
9．【解答】解：（1）过点A作AQ⊥OD交OD的延长线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，设BC交OD于点H，
∵直线y＝x+6①交x轴、y轴于点A、B，则点A、B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，6），则OA＝OB＝6，
∵∠AOQ+∠HOB＝90°，∠HBO+∠HOB＝90°，
∴∠AOQ＝∠HBO，
在△BHO和△OQA中，
，
∴△BHO≌△OQA（AAS），
∴BH＝OQ，OH＝AQ，
在Rt△BOC中，S△BOCAO×COOH×BC，
即6×3＝OH，解得OH，则BHOQ，
在Rt△AOQ中，OQ，AQ，
同理可得：QN，ON，
即点Q（，），
则直线OQ的表达式为yx②，
联立①②并解得x＝﹣4，
故点D（﹣4，2）；
（2）由（1）知，点C（﹣3，0）、D（﹣4，2），点B（0，6），
则CD，
同理可得OD2，OB＝6，
则；
（3）存在，理由：
设x＝﹣m+8，ym，
则yx+4，该直线与x轴、y轴交于点E、F，则点E、F的坐标分别为（8，0）、（0，4），
设点P的坐标为（x，0）、点Q（a，b），
①当EF是边时，
点E向右平移8个单位向下平移4个单位得到点F，
同样点P（Q）向右平移8个单位向下平移4个单位得到Q（P），且EF＝PF（EF＝FQ），
故或，
解得或或；
∴Q（16，﹣4）（舍弃）或Q（0，﹣4）或Q（4，4）或Q（﹣4，4）
②当EF是对角线时，
EF的中点即为PQ的中点，且PQ＝EF，
即，解得（不合题意的值已舍去）
∴Q（0，4）（舍去）或Q（5，4）．
综上，点Q的坐标为（0，﹣4）或（4，4）或（﹣4，4）或（5，4）．
10．【解答】解：（1）当x＝0，3＝﹣6k，
解得：，
将P（n，1）代入得：，
解得：n＝4，
将P（4，1）代入，
得，
解得：b＝﹣2，
故答案为：，﹣2，4；
（2）由（1）知C（0，﹣2），
∴BC＝3﹣（﹣2）＝5，
∵BD与CE互相平分，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC，
设，，
则，
解得，t＝8，
∴E（8，4）；
∴点P是BD，CE的中点，
∴四边形BCDE的面积；
（3）分BC为菱形的边与BC为菱形的对角线两种情况：
①当BC，CM为菱形的边时，
设，
由CM＝CB，得，
解得m＝±4，
ⅰ）当m＝4时，M（4，1），
∵MN∥BC且MN＝BC，
∴N（4，6）；
ⅱ）当m＝﹣4时，M（﹣4，﹣5），
此时N（﹣4，0）；
②当BC，BM为菱形的边时，
由MB＝CB，得，
解得，，m2＝0（舍去），
∴，
此时；
③当BC为菱形的对角线时，
由菱形的性质可知MN垂直平分BC，
∴，
将代入得，
∴，
∴，
综上，符合条件的点N有四个，分别是（4，6）或（﹣4，0）或或．
11．【解答】解：（1）若k＝﹣1，h＝2，则函数的表达式为：y＝﹣x﹣4，y＝2x﹣4，
①对于y＝﹣x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝﹣4，即点A、B的坐标分别为：（0，﹣4）、（﹣4，0），
对于y＝2x﹣4，当y＝0时，x＝2，即点C（2，0），
即点A、B、C的坐标分别为：（0，﹣4）、（﹣4，0）、（2，0）；
②如图，若四边形CMNP为菱形，
设点M（m，2m﹣4），
∵四边形CMNP为菱形，
∴MN∥x轴，MN＝CM＝CP，
∴yM＝yN＝2m﹣4，
∴N（﹣2m，2m﹣4），
则MN＝|xM﹣xN|＝3m，
∵点C（2，0），
由勾股定理可得，CM2＝（2﹣m）2+（2m﹣4）2，
∴（2﹣m）2+（2m﹣4）2＝9m2，
则（2﹣m）＝3m或（2﹣m）＝﹣3m，
解得m1，m2，
当CP＝MN＝3m＝2﹣xP时，
则2﹣xP，
∴xP，即P（，0）；
当CP＝MN＝﹣3m＝xP﹣2时，
则xP﹣2，
∴xP，即P（，0）；
综上，点P的坐标为（，0）或（，0）；
（2）过点B作BN⊥BQ交AC于点N，过点B作MT⊥x轴，过点N作NT⊥MT交于点T，过点Q作QM⊥MT交于M点，
∵∠CQB＝45°，
∴△BQN是等腰直角三角形，
∴△BNT≌△QBM（AAS），
∴NT＝BM，QM＝BT，
设直线BD的解析式为y＝k'x﹣2，
∴8k'﹣2＝0，
解得k'，
∴直线BD的解析式为yx﹣2，
设Q（t，t﹣2），则N（6t，8﹣t），
∴（6t）h﹣4＝8﹣t①，
∵Q点在AC上，
∴th﹣4t﹣2②，
联立①②可得h或h（舍）．
12．【解答】解：（1）把（﹣3，12），（6，0）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为yx+8；
（2）∵四边形PCOD为正方形，
∴PD＝PC，
设P（m，n），
∴m＝n，
把P（m，n）代入yx+8得，，
解得m＝n，
∴点P的坐标为（，）；
（3）在yx+8中，令x＝0，则y＝8，令y＝0，则x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），
∴AB10，
由题意得点M在x轴上，点N在第一象限内，以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，
所以可分两种情况讨论：
①当AB为菱形的边长，
此时BN＝BA＝10，
∴N（10，8）；
②当AB为菱形对角线时，
此时设BM＝AM＝a，
∴OM＝AM﹣OA＝a﹣6，
在Rt△BOM中，OB2+OM2＝BM2，
即64+（a﹣6）2＝a2，
解得a，
∴BN＝BM，
∴N（，8）；
综上所述，N（10，8）或（，8）．
13．【解答】解：（1）直线，
当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）解：设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴6×x＝12，
解得：x＝4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y＝kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+6，
答：直线CD的函数表达式是y＝﹣x+6．
（3）答：存在点Q，如图，设P（t，﹣t+6），Q（m，n），
当OC为菱形的对角线时，PQ⊥OC，且，
解得：，
∴P（3，3），Q（﹣3，3）；
当OP为菱形的对角线时，PQ∥OC，PQ＝CP＝OC，
∴，
解得：，
∴P（3，6﹣3），Q（3，﹣3）；
当CP为菱形的对角线时，则CQ∥OP，PQ∥OC，CQ＝PQ＝OP＝OC＝6，
∴，
解得：（舍去）或，
∴P（6，0），Q（6，6）；
∴以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或．
14．【解答】解：（1）∵点C（﹣6，0），AC＝14，故点A（8，0），
将A、D的坐标代入直线l的表达式得：，解得，
故直线l的表达式为yx；
（2）由点C、D的坐标，同理可得，直线CD的表达式为y＝x+6
设直线CD交y轴于点M点，则点M（0，6），
由AD的表达式知，点B（0，），
△PBD的面积＝S△BMP﹣S△BMDBM×（xP﹣xD）（6）×（xP﹣2）＝7，
解得xP＝5，故点P的坐标为（5，11）；
由图象的平移知，此时P′的横坐标为5，
当x＝5时，yx4，故点P′（5，4），
故点P′作x轴的平行线交CD于点N，则点N的坐标为（﹣2，4），
过点P′作P′H⊥CD于点H，则P′H为所求，
由直线CD的表达式知，直线CD的倾斜角为45°，
∵NP′∥x轴，故∠PNP′＝45°，
则P′N＝PNsin∠PNP′＝（5+2）sin45°，
即点P'到直线CD的距离为；
（3）存在，理由：点A、D的坐标分别为（8，0）、（2，8），
设点E的坐标为（m，m+6），点F（s，t），
①当AD是菱形的边时，
则点D向右平移6个单位向下平移8个单位得到点A，同样点E（F）向右平移6个单位向下平移8个单位得到点F（E），
即m+6＝s，m+6﹣8＝t且AD＝DE或m﹣6＝s，m+6+8＝t且AD＝AF，
即或，
解得或，
故点F的坐标为（8+5，5）或（8﹣5，﹣5）或（﹣6，14）；
②当AD是菱形的对角线时，
由中点公式得：（8+2）（s+m），（0+8）（t+m+6）且ED＝DF，
由ED＝DF得，（m﹣2）2+（m+6﹣8）2＝（s﹣2）2+（t﹣8）2②，
联立①②并解得或（舍去），
故点F的坐标为（33，25）；
综上，点F的坐标为（8+5，5）或（8﹣5，﹣5）或（﹣6，14）或（33，25）．
15．【解答】解：（1）对于yx+4，令y＝0，则yx+4＝0，解得x＝4，
故点C（4，0），
∵点A是OC的中点，则点A（2，0），
当x时，yx+4＝3，故点B（，3），
设直线AB的表达式为y＝sx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为yx+6；
（2）过点A作点A关于直线BC的对称点A′，将点A′沿CB方向平移4个单位得到点A″，
连接OA″交BC于点P，将点P沿BC方向平移4个单位得到Q，此时四边形OAPQ的周长最小．
由点A、B、O的坐标知，OA＝AB＝OB＝2，故△OAB为等边三角形，由直线BC的表达式知∠BCO＝30°，
则∠A′AC＝60°，故∠BAA′＝60°＝∠ABC+∠ABC＝30°+∠ABC，故∠ABA′＝60°，故△ABA′为等边三角形，
则A′B＝AB＝2且A′B∥x轴，故点A′（3，3）；
将点A′沿CB方向平移4个单位，相等于沿x轴负半轴方向平移2个单位向上平移3个单位，故点A″（，5）；
由点A的平移知，A″A′＝PQ且A′A″∥PQ，故四边形OAQP为平行四边形，故A′Q＝A″P，
此时，四边形OAQP的周长＝OA+PQ+AQ+OP＝OA+4+A′Q+OP＝24+OA″为最小，
而OA″＝2，
故以四边形OAQP的最小周长为24+2；
（3）存在，理由：
对于yx+6，令x＝0，则y＝6，故点H（0，6），
如图2，按照（2）方法同理可得点G（3，3），则HG6，
设点N（a，b），点M（m，6m），
①当GH是边时，
点H向右平移3个单位向下平移3个单位得到点G，
同样点M（N）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点N（M），
当点N在点M的下方时，
由题意得：m+3a，6m﹣3＝b①且HG＝HM，
而HG＝HM，即36＝m2+（6m﹣6）2②，
联立①②并解得m＝±3，
故点M（3，6﹣3）或（﹣3，6+3）；
当点N在点M的下方时，
同理可得点M（3，﹣3）；
②当GH是对角线时，
由中点公式得：（0+3）（a+m），（6+3）（b+6m）③，
由HM＝HN得：m2+（6m﹣6）2＝a2+（b﹣6）2④，
联立③④并解得：m，
故点M（，3）；
综上，点M的坐标为（3，6﹣3）或（﹣3，6+3）或（3，﹣3）或（，3）．
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