2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中面积相关问题训练（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中面积相关问题训练
1．如图，直线y＝x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与AC关于y轴对称．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点P（m，2）在△ABC的内部（不包含边界），求m的取值范围；
（3）O为坐标原点，若过点O的直线将△ABC分成的两部分面积之比为1：2，求该直线的解析式．
2．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，OA＝8，OC＝10．在OA边上取一点E，将纸片沿CE翻折，使点O落在AB边上的点D处．
（1）直接写出点D和点E的坐标：D（ 　 　 ），E（ 　 　 ）；
（2）求直线DE的表达式；
（3）若直线y＝kx+b与DE平行，当它过长方形OABC的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求△OCF的面积．
3．综合运用
定义：在平面直角坐标系中，点P（k，b）叫做直线y＝kx+b的对应点，直线y＝kx+b叫做点P（k，b）的对应直线．如图，已知点A（﹣2，﹣3），B（3，﹣3），C（0，1）．
（1）点B的对应直线的表达式为 　 　 ；
（2）设直线AC、AB的对应点分别为M、N，点P在y轴上，且S△MPN＝7，求P点坐标．
（3）点D是线段AC上的一个动点，直线l是点D的对应直线，当直线l与线段AB有公共点时，请直接写出点D横坐标m的取值范围．
4．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，直线y＝﹣x交直线AB于点C，点P从点O出发，以每秒1个单位的速度向点A匀速运动．
（1）求出点A、点B、点C坐标；
（2）当直线CP平分△OAC的面积时，求直线CP的函数关系式．
（3）若△COP是等腰三角形，求点P运动时间．
5．如图，直线yx+4与坐标轴相交于A、B两点，将△ABO沿过点A的直线折叠，使点B与x轴上的点C重合，折痕为AD．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求折痕AD所在直线对应的函数表达式；
（3）若点P为直线AD上的一点，且S△PBO，求点P的坐标．
6．如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0）．
（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；
（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
（3）在（2）的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，当△PAM的面积与长方形AOBC的面积相等时，求点P的坐标．
7．如图，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于A（﹣3，0）、与y轴交于B点，且经过（1，8），在y轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿x轴向右移动，设动点D的移动时间为t秒．
（1）求k、b的值；
（2）当t为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标；
（3）求△COD的面积S与动点D的移动时间t之间的函数关系式．
8．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．
（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为 　 　 ；
（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；
（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．
9．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a﹣4）2＝0．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
10．如图，已知直线y＝kx+b经过点A（0，5），B（4，1），并与x轴交于点C，与直线y＝2x﹣1相交于点D．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求不等式kx+b＞0的解集；
（3）直线y＝2x﹣1与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△AED＝2S△AEP，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图1，已知点A和点B坐标分别为（1，0）和（0，3），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接BC交x轴于点D．
（1）求直线BD的函数关系式；
（2）如图2，若点P为线段BD上一点，且△ABP的面积为，求点P的坐标；
（3）若直线y＝﹣x+m与△ABC有公共点，直接写出m的取值范围．
13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的负半轴上，连接AC，BC，满足∠ACO＝∠CBO．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，已知直线l1：经过点B．
①若点D为直线l1上一点，直线AD与直线BC交于点H，若，求点D的坐标；
②过点O作直线l2∥BC，若点M、N分别是直线l1和l2上的点，且满足∠ABC＝∠MNB．请问是否存在这样的点M、N，使得△ABC与△MBN相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21），一次函数y的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求证：OD＝BE；
（2）连接OM，若三角形ODM的面积为，求点M的坐标；
（3）在第（2）问的基础上，设点P是x轴上一动点，点Q是平面内的一点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
15．综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数y图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；
（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），C（0，3），
∵直线BC与直线AC关于y轴对称，
∴点B与点A关于y轴对称，
∴B（3，0）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，把点C（0，3）和点B（3，0）的坐标代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
当点P在直线CA上时，m+3＝2，
解得m＝﹣1，
当点P在直线BC上时，﹣m+3＝2，
解得m＝1，
∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围是﹣1＜m＜1；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，3），B（3，0），
∴S△ABC＝×6×3＝9；
①设直线L交AC于K，S△AOK：S四边形KOBC＝1：2，过K作KH⊥AB于H，如图：
∴S△AOKS△ABC＝3，
∴3×HK＝3，
则KH＝2，
在y＝x+3中，令y＝2，
即2＝x+3，
解得：x＝﹣1，
∴K（﹣1，2）
设直线L解析式为y＝px，
∴2＝﹣p，
解得p＝﹣2，
∴直线L解析式为y＝﹣2x；
②设直线L交BC于T，S△BOT：S四边形AOTC＝1：2，过T作TH'⊥AB于H'，如图：
同理可得：3×TH′＝3，
解得：TH′＝2，
在y＝﹣x+3中，令y＝2得x＝1，
则点T（1，2），
则直线L解析式为y＝2x；
综上所述，直线L的解析式为y＝﹣2x或y＝2x．
2．【解答】解：（1）依题意可知，折痕CE是四边形OCAB的对称轴，
在Rt△CBD中，OC＝CD＝10，BC＝OA＝8，
由勾股定理，得BD6，
∴AD＝BA﹣BD＝10﹣6＝4，
∴D（4，8）．
在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2+AD2＝DE2，
又DE＝OE，AE＝8﹣OE，
（8﹣OE）2+42＝OE2，
解得OE＝5，
∴E（0，5）．
∴E（0，5），D（4，8）；
故答案为：4，8；0，5；
（2）设D、E两点所在的直线的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
所以过D、E两点的直线函数表达式为yx+5．
（3）∵直线y＝kx+b与DE平行，
∴k，
∵直线过长方形OABC的顶点C（10，0），
∴，
∴b，
∴直线CF的解析式为y，
∴x＝0时，y，
∴F（0，），
∴OF，
∴△OCF的面积．
3．【解答】解：（1）点B的对应直线的表达式为：y＝3x﹣3，
故答案为：y＝3x﹣3；
（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+1，
则：﹣2k+1＝﹣3，∴k＝2，
∴直线AC的表达式为 y＝2x+1；
∴M（2，1），
∵A（﹣2，﹣3），B（3，﹣3），
∴直线AB的表达式为：y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
设点P（0，y），
∵S△MPN＝7，
即，
解得：y＝﹣10或y＝4，
∴P点坐标为（0，﹣10）或（0，4）；
（3）∵点D是线段AC上的一个动点，
∴D（m，2m+1）（﹣2≤m≤0），
∴直线l：y＝mx+2m+1，
当y＝﹣3时，﹣3＝mx+2m+1，
解得：x2，
∵直线l与线段AB有公共点，
∴﹣22≤3，
解得：m，
又因为﹣2≤m≤0，
∴．
4．【解答】解：（1）当x＝0时，yx﹣3＝﹣3，
当y＝0时，则x﹣3＝0，
解得x＝6，
∴点A（6，0），B（0，﹣3），
解方程组，
解得，
∴点C（2，﹣2）；
（2）∵直线CP平分△OAC的面积，
∴点P为OA中点，
∴点P（3，0），
设PC解析式为y＝kx+b，
由题意可得，
解得，
∴PC解析式为y＝2x﹣6；
（3）设点P运动时间为t秒，则点P（t，0），
∵点P（t，0），点C（2，﹣2），点O（0，0），
∴OC2，OP＝t，CP，
当OC＝OP时，
∴t＝2，
当OC＝CP时，
∴2，
∴t＝4，或t＝0（不合题意舍去），
当PC＝OP时，
∴t，
∴t＝2，
综上所述：t＝2或4或2．
5．【解答】解：（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4，令y＝0，则x＝3，
即点A、B的坐标分别为：（3，0）、（0，4），则AB＝5；
（2）设点D（0，y），
由题意得：CD＝BD，AC＝AB＝5，则OC＝2，即点C（﹣2，0），
∵CD＝BD，则y2+4＝（y﹣4）2，则y，
即点D（0，），
设直线AD的表达式为：y＝kx，
将点A的坐标代入上式得：0＝3k，则k，
故直线AD的表达式为：yx；
（3）设点P（x，x），
∵S△PBO，即OB×|x|AO×OB，
即x＝±，
当x时，yx，当x时，yx
则点P（，）或（，）．
6．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∵点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），且A、B两点都在直线AB上，
∴，
解得，
∴对角线AB所在直线的函数关系式为：y；
（2）∵点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：
∴42+（8﹣AM）2＝AM2，
∴AM＝5；
（3）长方形AOBC的面积为：4×8＝32，设点P的纵坐标为y，
当点P在第二象限时，
由S△BMP﹣S△AMB＝S△PAM＝S矩形AOBC，
∴32，
解得：y，
当y时，，
解得：x，
当点P在第四象限时，
同理可知：S△BMP+S△AMB＝S△PAM＝S矩形AOBC，
，
解得：y，
当y时，，
解得：x，
∴点P的坐标为：（）或（）．
7．【解答】解：（1）将 （﹣3，0），（1，8）代入y＝kx+b得：，
解得：；
即k＝2，b＝6；
（2）∵k＝2，b＝6，
∴y＝2x+6，
令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵△COD≌△AOB，
∴OD＝OB＝6，
∴D（6，0），
∴AD＝OA+OD＝3+6＝9，
∴t＝9，
∴t＝9s时△COD≌△AOB，
此时D的坐标为（6，0）；
（3）当D在x轴上运动时△COD是直角三角形，
∵C（3，0），
∴OC＝3，
当0≤t＜3时，OA＝3，AD＝t，
∴OD＝3﹣t，
∴SDO×OC（3﹣t）×3t；
当t≥3时，OA＝3，AD＝t，
∴OD＝t﹣3
∴SDO×OC（t﹣3）×3t；
即S．
8．【解答】解：（1）联立，
解得，
∴一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），
∴n﹣1＝2，
∴n＝3，
∴“不动点”为（2，2），
∴2＝2m+3，
解得m；
（3）∵直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，
∴直线y＝kx﹣3与直线y＝x平行，
∴k＝1，
∴y＝x﹣3，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
设P（t，0），
∴AP＝|3﹣t|，
∴S△ABP|t﹣3|×3，
S△ABO3×3，
∵S△ABP＝3S△ABO，
∴|t﹣3|＝9，
∴t＝12或t＝﹣6，
∴P（﹣6，0）或P（12，0）．
9．【解答】（1）解：直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a﹣4）2＝0，
∴a+b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝﹣4，
则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90°，
∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC＝1，
则P（0，﹣1）；
（2）证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP∠CHA＝45°；
（3）解：S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于4；理由如下：
连接OD，如图3．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD，
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD．
∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM与△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN
∴S△BDM﹣S△ADN
＝S△BDM﹣S△ODM
＝S△BOD
S△AOB
AO BO
4×4
＝4．
10．【解答】解：（1）把点A（0，5），B（4，1）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5；
（2）在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴C（5，0），
∴不等式kx+b＞0的解集为x＜5；
（3）解得，
∴D（2，3），
设P（m，﹣m+5），
∵直线y＝2x﹣1与y轴交于点E，
∴E（0，﹣1），
∴OE＝1，
∵S△AED＝2S△AEP，
∴AE xD＝2AE xP，
∴6×2＝26 |m|，
∴m＝±1，
∴P（1，4）或（﹣1，6）．
11．【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6，
S△OAC6×4＝12；
（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m，
则直线的解析式是：yx，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴当M的横坐标是4＝1，
在yx中，当x＝1时，y，则M的坐标是（1，）；
在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．
当M的横坐标是：﹣1，
在y＝﹣x+6中，当x＝﹣1时，y＝7，则M的坐标是（﹣1，7）；
综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）．
12．【解答】解：（1）如图1所示，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
又∵∠BOA＝∠AEC＝90°，
∴∠OAB＝90°﹣∠CAE＝∠ACE，
∴△OAB≌△ECA（AAS），
∴OA＝CE，OB＝AE，
∵点A和点B坐标分别为（1，0）和（0，3），
∴OE＝OA+AE＝1+3＝4，
∴C（4，1），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BD的解析式为；
（2）如图2，过点P作PQ⊥x轴于Q，
设点P的坐标为，
当y＝0时，，
∴x＝6，
∴D（6，0），AD＝6﹣1＝5，
∵S△ABP＝S△BAD﹣S△PAD，
∴，
，
解得：m＝2，
∴P（2，2）；
（3）当直线y＝﹣x+m经过点C（4，1）时，1＝﹣4+m，
解得：m＝5，
当直线y＝﹣x+m经过点A（1，0）时，0＝﹣1+m，
解得：m＝1
观察图形可得：直线y＝﹣x+m与△ABC有公共点，则1≤m≤5．
13．【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∠ACO＝∠CBO，
∴△AOC∽△COB，
∴，
∵OA＝1，OB＝4，
∴OC＝2，点C坐标为（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为；
（2）①设点D的坐标为．
如图1所示，作SD∥y轴，AK∥y轴，分别交直线BC于点S、点K．
∵，
∴，
∵∠OHK＝∠SHD，∠HAK＝∠HDS，
∴△AHK∽△DHS，
∴，
∵A（﹣1，0），D，
∴，，
∴，
∴，则m，
∴D1（，）．
如图2所示，作SD∥y轴，HT∥y轴，分别交x轴于点S、点T．
∵，
∴，
∴，
∵SD∥y轴，HT∥y轴，
∴∠DSA＝∠HTA，∠HAS＝∠HAT，
∴△ADS∽△AHT，
∴，
∵A（﹣1，0），D，
∴，
∴代入得，
∴．
综上所述，满足条件的点D坐标为（，）或（，）；
（3）如图3﹣1中，当∠NBM＝90°时，设直线BN交y轴于点D．
∴直线l2∥BC，
∴直线l2的解析式为yx，
∵直线l1交y轴于点K（0，﹣6），
∴OK＝6，
∵△BOD∽△KOB，
∴，
∴，
∴OD，
∵直线BN的解析式为yx，
由，解得，
∴（，）．
如图3﹣2中，
由，解得，
∴G（6，3），
取点P（0，7），连接PG，PB，交PB交直线l2于点N，作NM⊥BG于点M，则BG，PG＝2，PB，
∴PB2＝PG2+BG2，
∴∠PGB＝90°，tan∠PBG＝2，
∵tan∠CAB＝2，
∴tan∠NBM＝tan∠CAB，
∴∠NBM＝∠CAB，
∴△BNM∽△ABC，
∵直线PB的解析式为yx+7，
由解得，
∴N（，），
如图3﹣3中，取BK的中点L（2，﹣3），J（﹣4，1），连接BL，JL，JL 交直线l2于点N，作NM⊥BK于M，
同法可证，△NMB∽△BCA，
∵直线BJ的解析式为yx，
由，解得，
∴N（，）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（，）或（，）或（，）．
14．【解答】解：（1）当x＝15时，y9+15＝6，故点E（15，6），
对于y，令x＝0，则y＝15，故点D（0，15），
则DO＝15，BE＝21﹣6＝15＝OD；
（2）点M在直线ED上，则设点M（m，m+15），
三角形ODM的面积DO×m15m，解得m＝5，
故点M的坐标为（5，12）；
（3）设点P（t，0），点N（a，b），由O、M的坐标知，OM13，
①当OM是边时，
点O向右平移5个单位向上平移12个单位得到点M，同样，点P（Q）向右平移5个单位向上平移12个单位得到点Q（P），
则t±5＝a且0±12＝b，
当t+5＝a且0+12＝b时，OP＝OM＝13＝|t|，解得或，
故点Q的坐标为（18，12）或（﹣8，12）；
当t﹣5＝a且0﹣12＝b时，OQ＝OM，
同理可得点Q的坐标为（5，﹣12）；
②当OM是对角线时，
由中点公式得：（t+a）（5+0）且（0+b）（0+12）①，
此时，OP＝OQ，即t2＝（5﹣t）2+122②，
联立①②并解得，
故点Q的坐标为（﹣11.9，12）；
综上，点Q的坐标为（18，12）或（﹣8，12）或（5，﹣12）或（﹣11.9，12）．
15．【解答】解：（1）当x＝0时，，
∴B（0，3），
当y＝0时，则：，
解得：x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；
（2）将点B坐标（0，3）代入y＝﹣x+b可得：
﹣3+b＝0，
解得：b＝3，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当y＝0时，则：﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
∴C（3，0）；
（3）存在以A，C，P为顶点的三角形的面积为18，
∵A（﹣6，0），C（3，0），
∴AC＝9，
∴，
∴|Py|＝4，
当时，x＝2，
∴点P坐标为（2，4），
当时，x＝﹣14，
∴点P坐标为（﹣14，﹣4），
综上，满足条件的点P坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）．
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