18.2 勾股定理的应用之最短路径问题
勾股定理应用之最短距离（蚂蚁爬行）
1. 画出立体图形的展开图
2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离
分类 思路 图示
正方体 1. 画出平面展开图 2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解
长方体 长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解
圆柱 B点应该在侧面展开图的中间线上
缠绕多圈 1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合 2.长方体：展开侧面，连接A、B两点即可
重点：通过立体图形平面展开图构建直角三角形，运用勾股定理计算最短爬行路径长度。
难点：正确还原不同几何体展开图的空间对应关系，精准确定圆柱体侧面展开后的斜边方向。
由外到内的蚂蚁爬行问题（结合轴对称几何对称；）：
基础探究：如图，一圆柱体的底面周长为,高AB为,是上底面的直径。一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点,试求出爬行的最短路程.（精确到）
自制一个圆柱，尝试从 点到点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点到点的最短路程是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从点出发，想吃到点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
牛刀小试：（2024八上·通江期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁B处的最短距离为（ ）cm（杯壁厚度不计）．
A． B． C． D．
举一反三：如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
考点一：正方体
例1.（2024八上·吉安期中）如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024八上·青岛期中）棱长分别为，6的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C．2 D．
考点二：长方形
【指点迷津】：长方体的最短路径问题:一般需要走两个面，至于是前面和侧面，还是前面和上面（或底面）等。要具体情况具体讨论，不妨在草稿纸上验算下两种情况，比较大小后再确定最终答案。
例1.（2024八上·肃州期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
例2.（2025八上·兰州期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
变式1．（2024八上·揭阳期中）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．10
考点三：圆柱体
例1.（2024八上·宝安期中）如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（ ）
A．13 B． C．15 D．10
变式1．（2024八上·苏州期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（ ）
A． B． C． D．
例2.．（山东省枣庄市滕州市2024-2025学年上学期八年级第一次月考数学试卷）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A． B． C． D．
考点四：滕蔓、多棱柱缠绕多圈问题
11．（2024八上·兰州期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
14．（2024八上·甘州期末）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高AB为7cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A．25cm B．31cm C．24cm D．7cm
1.(2024秋·沂源县期末)如图，圆柱的高为8cm，底面半径为只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是( )
A． B． C． D．
2.(2024秋·深圳期末)如图，圆柱形木桩底面周长是30cm，高为25cm，在木桩底部S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的木桩另一面距顶部5的点处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是( )
A． B． C． D．
3.( 2024秋·茌平区期末)如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm,12cm,- 只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是
4.(2024秋·贵阳期末)如图，透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒 , 此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是_________
( 2024秋·小店区月考)综合与实践
问题情境：
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的泰面爬行到点.沿怎样的路线爬行路程最短？
要解决这个问题我们可以把正方体展开(如图2，图3，图4),把空间两个面上的两点之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题。根据“两点之间，线段最短”可知蚂蚁沿线段AG爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为 .
问题解决：
如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、,一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到 盒顶的点,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
如图6，长方体的长为，宽为，高为，点在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点 爬到点,需要爬行的最短路程是多少？18.2 勾股定理的应用之最短路径问题
勾股定理应用之最短距离（蚂蚁爬行）
1. 画出立体图形的展开图
2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离
分类 思路 图示
正方体 1. 画出平面展开图 2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解
长方体 长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解
圆柱 B点应该在侧面展开图的中间线上
缠绕多圈 1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合 2.长方体：展开侧面，连接A、B两点即可
重点：通过立体图形平面展开图构建直角三角形，运用勾股定理计算最短爬行路径长度。
难点：正确还原不同几何体展开图的空间对应关系，精准确定圆柱体侧面展开后的斜边方向。
由外到内的蚂蚁爬行问题（结合轴对称几何对称；）：
基础探究：如图，一圆柱体的底面周长为,高AB为,是上底面的直径。一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点,试求出爬行的最短路程.（精确到）
自制一个圆柱，尝试从 点到点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点到点的最短路程是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从点出发，想吃到点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【解析】
直接沿着曲面从A点连接到C点线路较短
根据“两点之间，线段最短”，即线段AC的长度是最短路程.
将圆柱体侧面经平面展开，得到的长方形如图所示：
连接AC对应的线段即是最短路程.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，BC=10cm
根据勾股定理可得：AC=(cm）
牛刀小试：（2024八上·通江期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁B处的最短距离为（ ）cm（杯壁厚度不计）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点A在玻璃杯外壁，点B在玻璃杯内壁。蚂蚁需要先爬到玻璃杯上沿，再经过内壁径直爬向点B处。将蚂蚁经过的侧面平面展开后所对应的长方形，
如图所示，作A点关于CF的对称点,连接；（cm）
通过构造直角三角形，利用勾股定理即可求出线段的长，
即蚂蚁爬行的最短路径长.
举一反三：如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将蚂蚁爬行经过的面平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△AEB,
∵∠AEB=90°且AE=7cm,BE=8cm
根据勾股定理可得：（cm）
考点一：正方体
例1.（2024八上·吉安期中）如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将蚂蚁爬行经过的面平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△AGB,
∵∠AGB=90°且AG=9cm,BG=3cm
根据勾股定理可得：（cm）
变式1．（2024八上·青岛期中）棱长分别为，6的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将蚂蚁爬行经过的面平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△ACP,
∵∠ACP=90°且AC=14cm,CP=8cm
根据勾股定理可得：（cm）
考点二：长方形
【指点迷津】：长方体的最短路径问题:一般需要走两个面，至于是前面和侧面，还是前面和上面（或底面）等。要具体情况具体讨论，不妨在草稿纸上验算下两种情况，比较大小后再确定最终答案。
例1.（2024八上·肃州期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将蚂蚁爬行经过的面平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△AGB,
∵∠AGB=90°且AG=20cm,GB=15cm
根据勾股定理可得：（cm）
例2.（2025八上·兰州期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将蚂蚁爬行经过的面平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△EBC,
∵∠EBC=90°且EB=20cm,BC=15cm
根据勾股定理可得：（cm）
变式1．（2024八上·揭阳期中）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．10
【答案】D
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将蚂蚁爬行经过的面平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△MBN,
∵∠MBN=90°且MB=6cm,BN=8cm
根据勾股定理可得：（cm）
考点三：圆柱体
例1.（2024八上·宝安期中）如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（ ）
A．13 B． C．15 D．10
【答案】B
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将蚂蚁爬行经过的面平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△EBC,
∵∠EBC=90°且EB=20cm,BC=15cm
根据勾股定理可得：（cm）
变式1．（2024八上·苏州期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（ ）
B． C． D．
【答案】D
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将蚂蚁爬行经过的面平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△AHB,
∵∠AHC=90°且AH=8cm,HB=6cm
根据勾股定理可得：（cm）
例2.．（山东省枣庄市滕州市2024-2025学年上学期八年级第一次月考数学试卷）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将侧面图平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△ABC和Rt△ABC1,
根据勾股定理可得：
考点四：滕蔓、多棱柱缠绕多圈问题
1．（2024八上·兰州期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
【答案】A
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将侧面图平面展开，如图所示构造直角三角形
根据勾股定理可得：
2．（2024八上·甘州期末）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高AB为7cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A．25cm B．31cm C．24cm D．7cm
【答案】A
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将侧面图平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△AHB
根据勾股定理可得：
1.(2024秋·沂源县期末)如图，圆柱的高为8cm，底面半径为只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将侧面图平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△AGB
根据勾股定理可得：
2.(2024秋·深圳期末)如图，圆柱形木桩底面周长是30cm，高为25cm，在木桩底部S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的木桩另一面距顶部5的点处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将侧面图平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△SGF
根据勾股定理可得：
3.( 2024秋·茌平区期末)如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm,12cm,- 只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是_____
【答案】20cm
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将侧面图平面展开，如图所示构造直角三角形Rt△AGB
根据勾股定理可得：
4.(2024秋·贵阳期末)如图，透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒 , 此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是_________
【答案】
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
由题意知，将侧面图平面展开，作点A关于CD的对称点A′，连接A′B;过点B作BJ⊥A′A,垂足为点J.构造直角三角形Rt△BGA′
根据勾股定理可得：
( 2024秋·小店区月考)综合与实践
问题情境：
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的泰面爬行到点.沿怎样的路线爬行路程最短？
要解决这个问题我们可以把正方体展开(如图2，图3，图4),把空间两个面上的两点之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题。根据“两点之间，线段最短”可知蚂蚁沿线段AG爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为 .
问题解决：
如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、,一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
如图6，长方体的长为，宽为，高为，点在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点 爬到点,需要爬行的最短路程是多少？
【答案】 （2）25cm
【解析】勾股定理的实际应用-最短路径问题
（1）由题意知，将侧面图平面展开，如图所示
方案①：
方案②:
经讨论，其他方案AG的路径长度均不低于20cm;
所以选择方案②对应的途径满足题意。
（2）由题意知，将侧面图平面展开，如图所示
