【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第07讲 矩形
知识梳理 2
要点一、矩形的定义 2
要点二、矩形的性质 2
要点三、矩形的判定 2
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 2
【矩形知识点小结】 3
考点归纳 3
考点一、矩形性质理解 4
考点二、利用矩形的性质求角度 5
考点三、根据矩形的性质求线段长 5
考点四、根据矩形的性质求面积 7
考点五、利用矩形的性质证明 8
考点六、求矩形在坐标系中的坐标 9
考点七、矩形与折叠问题 10
考点八、斜边的中线等于斜边的一半 11
考点九、矩形的判定定理理解 12
考点十、添一条件使四边形是矩形 13
考点十一、证明四边形是矩形 13
考点十二、根据矩形的性质与判定求角度 14
考点十三、根据矩形的性质与判定求线段长 15
考点十四、根据矩形的性质与判定求面积 17
真题演练 18
一、单选题 18
二、填空题 20
三、解答题 21
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要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：
（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【矩形知识点小结】
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
考点一、矩形性质理解
1．如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（ ）
A． B． C． D．
4．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某单位要在一个矩形广场上布置花坛美化环境，计划将鲜花摆成两条对角线，如图．如果一条对角线用了75盆鲜花，则另一条对角线还需要鲜花盆数是（ ）
A．72 B．73 C．74 D．75
考点二、利用矩形的性质求角度
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，那么的度数为（ ）
A．度 B．度 C．度 D．度
6．如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，平分交于点E，的平分线刚好经过点C，则 ．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF= ．
考点三、根据矩形的性质求线段长
9．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向，平移线段的长度得到，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
考点四、根据矩形的性质求面积
13．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
14．长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
15．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（ ）
①；②；③；④
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
16．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 ．
考点五、利用矩形的性质证明
17．如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：．
18．如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，于点E．求证：平分．
19．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
20．如图，在矩形中，点、在边上，且，求证：．
考点六、求矩形在坐标系中的坐标
21．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，点在第二象限，轴，，则顶点的坐标为( )
A． B． C． D．
22．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（2，4） C．（，3） D．（3，）
23．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ．
考点七、矩形与折叠问题
25．如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（ ）
A． B．或 C． D．或
26．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在处，则重叠部分的面积是（ ）
A．32 B．20 C．12 D．10
27．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点D在边中点M处．若，，则 ．
28．如图，在四边形中，，，．折叠四边形，使点D与点B重合，得到折痕，则的长为 ．
考点八、斜边的中线等于斜边的一半
29．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ）
A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大
31．在Rt中，，点为斜边中点，，则的长为（ ）
A．4 B．10 C．6 D．2.5
32．如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ．
考点九、矩形的判定定理理解
33．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
34．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的甲、乙、丙、丁四位同学拟定的方案：
甲：测量两组对边是否分别相等；
乙：测量对角线是否相互平分；
丙：测量其内角是否有三个直角；
丁：测量两条对角线是否相等．
其中拟定的方案正确的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
35．用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（ ）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
36．如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ）
A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角 D．测量对角线是否相等
考点十、添一条件使四边形是矩形
37．在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（ ）
A．与互相平分 B．
C． D．
38．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
39．在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
40．如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形．
考点十一、证明四边形是矩形
41．如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
42．如图，在中，，和的平分线分别与边相交于点E、F．判断四边形的形状，并证明你的结论．
43．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形；
44．如图，在四边形中，，连接、，且，求证：四边形是矩形．
考点十二、根据矩形的性质与判定求角度
45．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为( )
A． B． C． D．
46．如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-α B．β=180°- C．β=90°-α D．β=90°-
47．将一个含30 °的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．15° D．5°
48．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．
考点十三、根据矩形的性质与判定求线段长
49．如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（ ）
A． B．5 C． D．3
50．如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
51．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
52．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，延长交于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，则四边形的周长为______．
考点十四、根据矩形的性质与判定求面积
53．如图，中，为钝角，以为边向外作，为钝角，连结，．设的面积分别为，则的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
54．如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．7 C．6 D．3
55．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求矩形的面积．
56．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，．
(1)求证：平行四边形是矩形；
(2)若，求该矩形的面积．
一、单选题
1．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
5．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
二、填空题
6．（2023·山东滨州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为 ．
7．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为 ．
8．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ．
9．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ．
10．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．
三、解答题
11．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：
(1)；
(2)．
12．（2023·四川内江·中考真题）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形．
13．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
14．（2024·贵州·中考真题）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②．
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
(2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
15．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接．
求证：
(1)；
(2)四边形为平行四边形．【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第07讲 矩形
知识梳理 2
要点一、矩形的定义 2
要点二、矩形的性质 2
要点三、矩形的判定 2
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 2
【矩形知识点小结】 3
考点归纳 3
考点一、矩形性质理解 4
考点二、利用矩形的性质求角度 5
考点三、根据矩形的性质求线段长 8
考点四、根据矩形的性质求面积 11
考点五、利用矩形的性质证明 13
考点六、求矩形在坐标系中的坐标 16
考点七、矩形与折叠问题 19
考点八、斜边的中线等于斜边的一半 23
考点九、矩形的判定定理理解 25
考点十、添一条件使四边形是矩形 27
考点十一、证明四边形是矩形 29
考点十二、根据矩形的性质与判定求角度 32
考点十三、根据矩形的性质与判定求线段长 35
考点十四、根据矩形的性质与判定求面积 38
真题演练 42
一、单选题 42
二、填空题 46
三、解答题 51
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要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：
（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【矩形知识点小结】
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
考点一、矩形性质理解
1．如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：在矩形中，对角线相交于点，
∴，，，
故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误，
故选：C
2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意；
D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
故选C．
3．如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵第三个图形是三角形，
∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，
∵再展开可知两个短边正对着，
∴选择答案D，排除B与C．
故选D．
4．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某单位要在一个矩形广场上布置花坛美化环境，计划将鲜花摆成两条对角线，如图．如果一条对角线用了75盆鲜花，则另一条对角线还需要鲜花盆数是（ ）
A．72 B．73 C．74 D．75
【答案】C
【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，
一条对角线用了75盆鲜花，中间一盆为对角线交点，，还需要鲜花74盆；
故选：C．
考点二、利用矩形的性质求角度
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，那么的度数为（ ）
A．度 B．度 C．度 D．度
【答案】D
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故选：D．
6．如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
7．如图，在矩形中，平分交于点E，的平分线刚好经过点C，则 ．
【答案】
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
故答案为：.
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF= ．
【答案】18°
【详解】试题分析：根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．
解：设∠ADF=3x°，∠FDC=2x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴2x+3x=90，
x=18°，
即∠FDC=2x°=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∴∠BDC=∠DCO=54°，
∴∠BDF=∠BDC﹣∠CDF=54°﹣36°=18°，
故答案为18°．
考点：矩形的性质．
考点三、根据矩形的性质求线段长
9．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴解得，
故选：．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点作于点，
矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点，
，
，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
即
，
即点，
点，
故选：B．
11．如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
∵每秒旋转，，
∴8秒一个循环，
∵，
∴点G与原位置的点G的坐标相同，
∴原位置的点G在第一象限的角平分线上，设，
∴，
解得：，
∴点G的坐标为．
故选：A．
12．如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向，平移线段的长度得到，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
由题意可知：，
∴，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故选：．
考点四、根据矩形的性质求面积
13．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴．
故选：B．
14．长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得
空白部分的面积为；
故选：A．
15．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（ ）
①；②；③；④
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【详解】解：根据题意可知，故③正确，
根据矩形的性质得，，故①，②正确，
，，
∵不一定成立，
∴不一定成立，故④错误，
综上所述，①②③一定成立，
故选：C．
16．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 ．
【答案】48
【详解】解：如图，
由题意和图可得：，
∴，
故答案为：48．
考点五、利用矩形的性质证明
17．如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴．
18．如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，于点E．求证：平分．
【答案】见解析
【详解】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
19．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
【答案】见解析
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
20．如图，在矩形中，点、在边上，且，求证：．
【答案】证明见解析．
【详解】证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
考点六、求矩形在坐标系中的坐标
21．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，点在第二象限，轴，，则顶点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：四边形是矩形
，，，，且轴，
轴，轴，
，，，
点横坐标为3，点纵坐标为2，
点坐标为，
故选：．
22．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（2，4） C．（，3） D．（3，）
【答案】D
【详解】解：如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO，
∴∠AEO∽△COM，
∴，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选D．
23．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是 ．
【答案】(﹣2，4)
【详解】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A(2，1)，B(0，5)，
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中， ，
∴△BCN≌△AOM(AAS)，
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是(﹣2，4)；
故答案为(﹣2，4)．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ．
【答案】（，）
【详解】解：如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵AC∥x轴，
∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，
∵AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴OA＝OC＝3，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝OD＝，
∴点A的坐标是（，）；
故答案为：（，）．
考点七、矩形与折叠问题
25．如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
由折叠可得，，，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
如图，过点作于，则四边形是矩形，，
∴，，
由折叠可得，，，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
综上，的长为或，
故选：．
26．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在处，则重叠部分的面积是（ ）
A．32 B．20 C．12 D．10
【答案】D
【详解】设，则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
的面积是．
故选：D．
27．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点D在边中点M处．若，，则 ．
【答案】/
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵M是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
28．如图，在四边形中，，，．折叠四边形，使点D与点B重合，得到折痕，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：根据折叠的性质得：，，，
在中，，即，
解得：，
故答案为：．
考点八、斜边的中线等于斜边的一半
29．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：中，，，点为斜边上的中点，
；
故选：C
30．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ）
A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大
【答案】A
【详解】解：∵，且点P为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
∵梯子的长度不变，
∴P点和C点的距离始终不变．
故选：A．
31．在Rt中，，点为斜边中点，，则的长为（ ）
A．4 B．10 C．6 D．2.5
【答案】B
【详解】解：∵，点为斜边中点，，
∴．
故选B．
32．如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ．
【答案】16
【详解】解：∵分别是的高，M为的中点，，
∴在中，，在中，，
又∵，
∴的周长．
故答案为：16．
考点九、矩形的判定定理理解
33．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
【答案】A
【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意．
故选：A．
34．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的甲、乙、丙、丁四位同学拟定的方案：
甲：测量两组对边是否分别相等；
乙：测量对角线是否相互平分；
丙：测量其内角是否有三个直角；
丁：测量两条对角线是否相等．
其中拟定的方案正确的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【详解】解：甲：测量两组对边是否分别相等，只能判定是否为平行四边形，不能断定是否为矩形；
乙：测量对角线是否相互平分，只能判定是否为平行四边形，不能断定是否为矩形；
丙：测量其内角是否有三个直角，能判定为矩形；
丁：测量两条对角线是否相等，不能判定为矩形．
所以拟定的方案正确的同学是丙．
故选：C．
35．用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（ ）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
【答案】D
【详解】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定是否是矩形，故此选项正确；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确；
③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误；
④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误；
综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②．
故选：D．
36．如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ）
A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角 D．测量对角线是否相等
【答案】C
【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；
B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；
C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意；
故选C．
考点十、添一条件使四边形是矩形
37．在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（ ）
A．与互相平分 B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A.与互相平分，不能得到四边形是矩形；
B.，能得到四边形是矩形；
C.，四边形是菱形而不是矩形；
D.，不能得到四边形是矩形；
故选：B．
38．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，但不一定是矩形，
故A不符合题意；
四边形是平行四边形，且，
四边形是矩形，
故B符合题意；
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，但不一定是矩形，
故C不符合题意；
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，但不一定是矩形，
故D不符合题意，
故选：B．
39．在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
A、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据四边形是平行四边形和不能推出四边形是矩形，故本选项符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
40．如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形．
【答案】
【详解】解：添加条件，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
故答案为：．
考点十一、证明四边形是矩形
41．如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
42．如图，在中，，和的平分线分别与边相交于点E、F．判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】四边形是矩形，见解析
【详解】解：四边形是矩形．证明如下：
四边形是平行四边形，
．
，
．
又平分，平分，
，．
．
四边形是平行四边形，
∴
，
，
．
四边形是矩形
43．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形；
【答案】见解析
【详解】证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
44．如图，在四边形中，，连接、，且，求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析．
【详解】证明：∵，
∴，和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
考点十二、根据矩形的性质与判定求角度
45．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
46．如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-α B．β=180°- C．β=90°-α D．β=90°-
【答案】D
【详解】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠α
由作图痕迹可得AE平分∠DAC，EO⊥AC
∴∠EAO=∠α， ∠EOA=90°
又∠AEO=∠β，
∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°，
∴∠α+∠β+90°=180°，
∴β=90°-
故选D.
47．将一个含30 °的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．15° D．5°
【答案】C
【详解】解：∵BC=2AB=2BM，
∴AB=BM，
∴∠AMB=45°，
∵∠AMF=90°，
∴∠FMC=45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFM=∠FMC=45°，
∵∠MFE=60°，
∴∠AFE=15°．
故选C．
48．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．
【答案】60
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：60．
考点十三、根据矩形的性质与判定求线段长
49．如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】C
【详解】解：连接，过点C作于点H，如图所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
四边形是矩形，
，
当的值最小时，的值为最小，
点P在斜边上（不与A、B重合），
根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长，
的最小值是线段的长，
，
，
长度的最小值为．
故选：C．
50．如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，当时，最小，
此时的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：B．
51．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，如图．
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
∵，
∴四边形是矩形，
∴与互相平分，
∵为的中点，
∴点M在上，且，
∴当最小时，最小，
根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短．
，
即，
∴．
故选：D．
52．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，延长交于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，则四边形的周长为______．
【答案】(1)证明见解析；
(2)四边形的周长为．
【详解】（1）证明: ∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）由（）得：四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
考点十四、根据矩形的性质与判定求面积
53．如图，中，为钝角，以为边向外作，为钝角，连结，．设的面积分别为，则的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于，
∵平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
故选：C．
54．如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．7 C．6 D．3
【答案】D
【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点，
，且，
同理求得，且，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形，
四边形的面积，即四边形的面积是3．
故选：．
55．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
又点在的延长线上，
．
又，
四边形是平行四边形，
．
又∵，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：在矩形中，，，
是等边三角形，
，
，
∴，
四边形的面积．
56．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，．
(1)求证：平行四边形是矩形；
(2)若，求该矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)60
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴又，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：
，
∴的面积是．
一、单选题
1．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在中，，D是的中点，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴．
故选：A．
2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，则，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得：，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
故选：B．
4．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【详解】解：①当时，，
，
，，
四边形是矩形，
，
，四边形的周长是，故①正确；
②，，，
直线与直线之间的距离是，
当时，点到直线的距离等于，故②错误；
③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为，
又，
的面积为定值，故③错误；
④点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
，
即线段的长度不变，故④正确；
故选：A．
5．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故选：B．
二、填空题
6．（2023·山东滨州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
设
在中，
∴
∴，
∴
∴
解得：
∴
在中，，
在中，
∴，
故答案为：．
7．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点F是AE的中点，
∴．
故答案为：．
8．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ．
【答案】
【详解】解：在中，，
由折叠可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得：，
故答案为．
9．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ．
【答案】 6
【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴的最小值为6，
由折叠的性质可得，
∴的最小值为6；
如图所示，连接，
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最大，即最大时，最大，
∴当与点B重合时，最大，
设此时，则，
∴，
解得，
∴的最大值为
故答案为：，．
10．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接，
互相垂直，
和为直角三角形，且分别为斜边，
，
，
当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，
当点在线段上时，最小，最小值为线段的长，
分别为的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
在中，，
，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
11．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∴．
12．（2023·四川内江·中考真题）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
13．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
，，
，
在和中，，
，
．
14．（2024·贵州·中考真题）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②．
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
(2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）选择①，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴矩形的面积为．
15．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接．
求证：
(1)；
(2)四边形为平行四边形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠可得，，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（）知，，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
