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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第08讲 菱形
知识梳理 1
要点一、菱形的定义 1
要点二、菱形的性质 2
要点三、菱形的判定 2
【菱形知识点小结】 2
考点归纳 3
考点一、利用菱形的性质求角度 3
考点二、利用菱形的性质求线段长 4
考点三、利用菱形的性质求面积 5
考点四、利用菱形的性质证明 6
考点五、添一个条件使四边形是菱形 7
考点六、证明四边形是菱形 8
考点七、根据菱形的性质与判定求角度 9
考点八、根据菱形的性质与判定求线段长 10
考点九、根据菱形的性质与判定求面积 11
真题演练 12
一、单选题 12
二、填空题 14
三、解答题 15
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
要点诠释：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
【菱形知识点小结】
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
考点一、利用菱形的性质求角度
1．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ．
4．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
设菱形相邻两个内角的度数分别为m，n．
（1）若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度” ；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形．
考点二、利用菱形的性质求线段长
5．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．12
6．如图，在菱形中，，点E，F分别在边上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在菱形中，，，点E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．
8．如图，菱形的边长为2，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，若，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点三、利用菱形的性质求面积
9．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为，则它的两条对边的距离应为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（ ）
A．16 B．32 C． D．
11．如图，点是菱形的对称中心，连结，，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，菱形的面积为，点是的中点，点是边上的动点．当点运动到边的中点时，的面积为 ；当的面积为时，图中阴影部分的面积为 ．
考点四、利用菱形的性质证明
13．如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：．
14．如图，在菱形中，于点于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：为等边三角形．
15．如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：．
16．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：．
考点五、添一个条件使四边形是菱形
17．如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
19．如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
考点六、证明四边形是菱形
21．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．求证：四边形是菱形．
22．如图，在四边形中，，过点D分别作于点E，于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
23．如图，，点、、、在同一条直线上，，求证：四边形为菱形．
24．如图，中，，，．将沿射线方向平移，得到，A，，的对应点分别是D，E，F，连接．求证：四边形是菱形．
考点七、根据菱形的性质与判定求角度
25．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °．
26．如图所示三角形纸片，，将其沿折叠后点A落在处，使，P是上一动点，连接．当取最小值时，的度数为 ．
27．在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．
28．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ．
考点八、根据菱形的性质与判定求线段长
29．如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
30．如图，在矩形中，，，，边上各有一点E，F，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．3
31．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，于点，连接．，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)求的周长
32．如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
考点九、根据菱形的性质与判定求面积
33．如图，在的两边上分别截取使，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点C，再连接，若，则四边形的面积是（ ）
A．240 B．130 C．120 D．65
34．如图，点，，，在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
35．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为 ．
36．如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接交于，若，，求四边形的面积．
一、单选题
1．（2022·海南·中考真题）如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2 B． C．1.5 D．
二、填空题
6．（2022·山东青岛·中考真题）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是 ．
7．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 ．
8．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点O，连接，，过点C作，交的延长线于点F，连接．若，，则四边形的面积为 ．
.
9．（2024·广东·中考真题）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
10．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为 ．
三、解答题
11．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
12．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．
(1)求证：；
(2)若时，求证：四边形是菱形．
13．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB．
求证：四边形DEBF是菱形．
14．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．
(1)求证：；
(2)若．求证：四边形是菱形．
15．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，．
(1)尺规作图：
①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O；
②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹）
(2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第08讲 菱形
知识梳理 1
要点一、菱形的定义 1
要点二、菱形的性质 2
要点三、菱形的判定 2
【菱形知识点小结】 2
考点归纳 3
考点一、利用菱形的性质求角度 3
考点二、利用菱形的性质求线段长 5
考点三、利用菱形的性质求面积 8
考点四、利用菱形的性质证明 12
考点五、添一个条件使四边形是菱形 15
考点六、证明四边形是菱形 18
考点七、根据菱形的性质与判定求角度 20
考点八、根据菱形的性质与判定求线段长 23
考点九、根据菱形的性质与判定求面积 27
真题演练 31
一、单选题 31
二、填空题 36
三、解答题 40
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
要点诠释：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
【菱形知识点小结】
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
考点一、利用菱形的性质求角度
1．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
3．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ．
【答案】/27度
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
设菱形相邻两个内角的度数分别为m，n．
（1）若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度” ；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形．
【答案】 1
【详解】解：（1）若菱形的一个内角为，
该菱形的相邻的另一内角的度数，
“接近度”等于；
（2）当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，
则菱形是正方形；
故答案为：；1．
考点二、利用菱形的性质求线段长
5．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．12
【答案】A
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴菱形的面积，即：，
∴；
故选：A．
6．如图，在菱形中，，点E，F分别在边上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
7．在菱形中，，，点E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：连接交于，连接，
在平行四边形中，，
四边形是菱形，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则，
，
即就是的最小值．
，，
是等边三角形，
，
（等腰三角形三线合一的性质）．
在中，．
即的最小值为．
故答案为：．
8．如图，菱形的边长为2，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，若，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，连接，过点作，
菱形边长为2，，
，，
与为正三角形，
，，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，则，
∴，则，
∴，
当时，等边三角形的边最短，此时的面积最小，
则，
∴，
面积的最小值为，
故选：B．
考点三、利用菱形的性质求面积
9．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为，则它的两条对边的距离应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，菱形的对角线、相交于点，，，
，
，
，，
，
设菱形两条对边的距离，
，
，
解得，
它的两条对边的距离应为，
故选：A．
10．如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵菱形的周长为32，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
11．如图，点是菱形的对称中心，连结，，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【详解】解：连接、，
∵点O是菱形的对称中心，
∴，O是与的交点，
∴，，
∴，，
∵为过点O的一条直线，
∴四边形的面积=四边形的面积菱形的面积，
∵菱形的面积，
∴四边形的面积，
∵阴影部分的面积=四边形的面积，，
∴阴影部分的面积，
故答案为：12．
12．如图，菱形的面积为，点是的中点，点是边上的动点．当点运动到边的中点时，的面积为 ；当的面积为时，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：当点运动到边的中点时，
连接、，
∵菱形的面积为，
∴，
∵点是边中点，
∴，
∵点是边中点，
∴；
当的面积为时，
连接、、，
∵菱形的面积为，
∴，，
∵点是边中点，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴和的底相同，高相等，
∴，
∴；
故答案为：；．
考点四、利用菱形的性质证明
13．如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
14．如图，在菱形中，于点于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：为等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：
（1）四边形是菱形，
．
又于点于点，
，
在与中，．
；
（2）证明：，
；
四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
又，
，
由（1）知，
，
．
是等边三角形．
15．如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：．
【答案】见解析
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
16．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
即．
考点五、添一个条件使四边形是菱形
17．如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴当时，是菱形；故选项A符合题意；
B，C，D三个选项都不能推出是菱形；
故选A．
18．如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A．由得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；
B．∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∴四边形是菱形，故该选项不符合题意；
C．由不能证明是菱形，故该选项符合题意；
D．∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．故该选项不符合题意．
故选：C．
19．如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】连结，如图所示，
∵E、F、C、H分别为四边形各边中点，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
当或时，
只能判断四边形为平行四边形，故A、B选项错误；
当时，能判断四边形为矩形，故C选项错误；
当时，能判断四边形为菱形，故D选项正确．
故选：D.
20．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形．
A．，
，
又，
，
四边形为菱形，故本选项正确；
B．无法判定平行四边形是菱形，故本选项错误；
C．，
，，
对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；
D．，，
，
平行四边形为菱形，故本选项正确．
故选B．
考点六、证明四边形是菱形
21．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
22．如图，在四边形中，，过点D分别作于点E，于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：．
理由：∵四边形为菱形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
23．如图，，点、、、在同一条直线上，，求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：，
，，
，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
∴四边形为菱形．
24．如图，中，，，．将沿射线方向平移，得到，A，，的对应点分别是D，E，F，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：由平移变换的性质得：
，，
，，，
，
，
四边形是菱形．
考点七、根据菱形的性质与判定求角度
25．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °．
【答案】25
【详解】解：根据作图，得到，
故四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：25．
26．如图所示三角形纸片，，将其沿折叠后点A落在处，使，P是上一动点，连接．当取最小值时，的度数为 ．
【答案】37
【详解】解：如图，连接，
由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分，
作点P关于对称点，连接，
∴，
∴，
∴当点B，点，点三点共线，且时，的值最小，
此时，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：37．
27．在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．
【答案】
【详解】解：延长、交于H，连接，
，，
四边形为平行四边形，
，平分，
，，，
为等腰三角形，
，
平行四边形为菱形，
，且均为等边三角形，
，，
，
，
为等腰三角形，
又四边形为平行四边形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
28．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
考点八、根据菱形的性质与判定求线段长
29．如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【答案】A
【详解】∵，，，
∴
∵D为的中点，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
∵
∴菱形的周长为
故选：A
30．如图，在矩形中，，，，边上各有一点E，F，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】C
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C．
31．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，于点，连接．，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)求的周长
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：，
，，
即，，
，
的周长为．
32．如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵点是的中点
∴
在和中
∴
∴
已知
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形
∴
∵四边形是菱形
∴
设菱形的边长为，
则，
在中
即
解得
∴菱形的周长为20．
考点九、根据菱形的性质与判定求面积
33．如图，在的两边上分别截取使，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点C，再连接，若，则四边形的面积是（ ）
A．240 B．130 C．120 D．65
【答案】C
【详解】解：根据作图可得，
四边形是菱形，
，，
如图所示，
设交于点D，
在中，，
，
四边形的面积为：.
故选：C.
34．如图，点，，，在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：连接交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形，
∴，，
在中，
∴，
∴，
∴．
35．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
∴2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积＝AE BC＝．
故答案为．．
36．如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接交于，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形的面积为24．
【详解】（1）证明：∵为对角线的中点，为边的中点，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：如图，连接与交于点，
∵四边形为菱形，，
∴，，，
∵，
在中，，
∴，
∴四边形的面积为：．
一、单选题
1．（2022·海南·中考真题）如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【详解】过C作CM⊥AB延长线于M，
∵
∴设
∵点E是边的中点
∴
∵菱形
∴，CE∥AB
∵⊥，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴，解得或（舍去）
∴
故选：B．
2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设
∵点是中点，
∴EM是的中位线，
四边形是菱形，
，∠AMD=90°，
，
∴DM=，
∴AM=
故选：D．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【详解】解：∵四边形是菱形，
，
∵E是的中点，
，
∴。
故选：A．
5．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2 B． C．1.5 D．
【答案】A
【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，
∴，
∵在菱形ABCD中，，
∴，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值为2，
故选：A．
二、填空题
6．（2022·山东青岛·中考真题）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是 ．
【答案】60
【详解】如图，∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°，
∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
故答案为：60．
7．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，
∴
在Rt中，AB=4，BO=，
∵，
∴
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴,
∴
又
∴，
∴四边形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又
∴
∴
在和中，
,
∴≌
∴，
∴，
故答案为．
8．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点O，连接，，过点C作，交的延长线于点F，连接．若，，则四边形的面积为 ．
.
【答案】24
【详解】∵，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，，，
∴平行四边形为菱形，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故菱形的面积为，
故答案为：24．
9．（2024·广东·中考真题）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】10
【详解】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
10．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形的边长为2，，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
三、解答题
11．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
【答案】证明见解析．
【详解】证明：四边形是菱形
12．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．
(1)求证：；
(2)若时，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即
在和中，
，
∴
∴，
∴
（2）方法一：在和中，
，
∴
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形；
方法二：∵，
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形．
13．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB．
求证：四边形DEBF是菱形．
【答案】见解析
【详解】连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，即，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵，即，
∴四边形DEBF是菱形．
14．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．
(1)求证：；
(2)若．求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
15．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，．
(1)尺规作图：
①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O；
②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹）
(2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)四边形是菱形，见解析
【详解】（1）①如图：直线即为所求；
②如图，即为所求；
；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
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