【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第09讲 正方形
知识梳理 2
要点一、正方形的定义 2
要点二、正方形的性质 2
要点三、正方形的判定 2
【正方形知识点小结】 2
要点四、特殊平行四边形之间的关系 3
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 3
考点归纳 4
考点一、正方形性质理解 4
考点二、根据正方形的性质求角度 5
考点三、根据正方形的性质求线段长 6
考点四、根据正方形的性质求面积 7
考点五、正方形折叠问题 8
考点六、求正方形重叠部分面积 9
考点七、根据正方形的性质证明 10
考点八、正方形的判定定理理解 11
考点九、添一个条件使四边形是正方形 12
考点十、证明四边形是正方形 13
考点十一、根据正方形的性质与判定求角度 14
考点十二、根据正方形的性质与判定求线段长 15
考点十三、根据正方形的性质与判定求面积 17
考点十四、根据正方形的性质与判定证明 18
考点十五、中点四边形 19
考点十六、（特殊）平行四边形的动点问题 21
考点十七、四边形中的线段最值问题 22
考点十八、四边形其他综合问题 24
真题演练 25
一、单选题 25
二、填空题 26
三、解答题 28
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第4页（共29页）
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
【正方形知识点小结】
1．定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5） 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
考点一、正方形性质理解
1．如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（ ）
A．点C B．点D C．点F D．点G
2．如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．
4．在学习《坐标与图形的位置》的课堂上，老师让同学们自主编题，小刚同学编的题目是：“已知正方形ABCD（边长自定），请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形ABCD各顶点的坐标”．同桌小华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标，若在小华同学建立的平面直角坐标系中，正方形ABCD关于x轴对称，但不关于y轴对称，点A的坐标为，则点C的坐标为 ．
考点二、根据正方形的性质求角度
5．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是正方形的边延长线上的一点，且交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以正方形的边为边向外作等边三角形，则的度数是 ．
8．如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ．
考点三、根据正方形的性质求线段长
9．如图，在正方形中，，点 在边上，且 点 是对角线上的一个动点，的最小值是（ ）
A．8 B． C．9 D．10
10．如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方形的边长为，点P在边BC上，，连接，，过的中点E作，分别交，，于点M，F，N，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．
12．如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为 ．
考点四、根据正方形的性质求面积
13．如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（ ）．
A．4 B．8 C．12 D．16
14．如图，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．6
15．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ．
16．如图，正方形和正方形的边长分别为和，、相交于点，则的面积为 ．
考点五、正方形折叠问题
17．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，将正方形纸片沿折叠，使点落在边上，对应点为点，点落在点处，若，，则折痕的长为 .
20．如图，在边长为8的正方形中，是边的中点，将沿对折至，延长交于点，连接.
(1)；
(2)求的长.
考点六、求正方形重叠部分面积
21．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
23．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
24．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
考点七、根据正方形的性质证明
25．已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接、求证：．
26．如图，已知为正方形内一点，连接和，点在边右侧，连接和，，且．求证：．
27．如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且，连接和相交于点M．求证：．
28．如图，在正方形中，E、F分别是、的中点，，连接，交于点G，求证：
(1)；
(2)．
考点八、正方形的判定定理理解
29．下列说法正确的有（ ）
①一组对边平行的四边形是平行四边形；②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
31．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形
32．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当，是矩形 B．当，是矩形
C．当，是菱形 D．当，是正方形
考点九、添一个条件使四边形是正方形
33．如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
34．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
35．如图，已知的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．当时，它是菱形
B．当时，它是矩形
C．当时，它是菱形
D．当时，它是正方形
36．如图，在中，，于点D，于点E，连接．若不增加任何字母与辅助线，使四边形是正方形，则还需增加的一个条件是 ．
考点十、证明四边形是正方形
37．如图，在中，，、的平分线相交于点D，于点E，于点F．求证：四边形是正方形．
38．如图，在平行四边形中，、为对角线上两点，，连接、、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：四边形为菱形；
(3)在（2）的条件下，连接交于点，若．求证：四边形为正方形．
39．如图，是等腰三角形的底边上的高，O是的中点，延长到点E，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求证：四边形是正方形．
40．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证：
(1)；
(2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明．
考点十一、根据正方形的性质与判定求角度
41．如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是( )
A． B． C． D．
42．如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不确定
43．如图，点E为正方形ABCD边CB延长线上一点，点F为AB上一点，连接AE，CF，AC，若BE=BF，∠E=70°，则∠ACF= ．
44．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则 ．
考点十二、根据正方形的性质与判定求线段长
45．如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
46．如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是（ ）
A． B． C．2 D．1
47．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B．2 C． D．4
48．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离．
考点十三、根据正方形的性质与判定求面积
49．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
50．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为 ．
51．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若DE＝1，求△AFE的面积．
52．如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)试探究四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，，求四边形的面积．
考点十四、根据正方形的性质与判定证明
53．如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
54．已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点．
(1)如图1，若，垂足为，求证：；
(2)如图2，点是边上一点，且，垂足为．
①判断与是否相等？并说明理由；
②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由．
55．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
56．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
考点十五、中点四边形
57．如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
58．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形．
下列四个叙述：
①中点四边形一定是平行四边形；
②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形；
③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形；
④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号）
59．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是
60．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)菱形的中点四边形的形状是_______；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．
(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______．
考点十六、（特殊）平行四边形的动点问题
61．在四边形ABCD中，，M是BC上一点，且，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
62．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．
63．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：AP＝________ cm；DP＝________ cm；BQ＝________ cm；CQ＝________ cm．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
64．【问题情境】
（1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ．
【继续探究】
（2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ．
考点十七、四边形中的线段最值问题
65．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
，
A．12 B．13 C． D．
66．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为 ，的最小值为 ．
67．【问题原型】
如图1，在正方形中，．求证：．
【问题应用】
如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 ；
（2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 ．
68．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．
(1)当四边形是正方形时，求x的值；
(2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小；
(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________．
考点十八、四边形其他综合问题
69．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ．
问题解决：
（2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ．
拓展应用：
（3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ．
70．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形．
性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：
①______；②______．
问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，．
（1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由．
（2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”）
拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点．
（3）试探索与的数量关系，并说明理由．
（4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程）
一、单选题
1．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．5
4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023·四川内江·中考真题）如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
7．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ．
8．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ．
9．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为
10．（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为
三、解答题
11．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
12．（2022·四川雅安·中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
13．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)求的大小．
15．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第09讲 正方形
知识梳理 2
要点一、正方形的定义 2
要点二、正方形的性质 2
要点三、正方形的判定 2
【正方形知识点小结】 2
要点四、特殊平行四边形之间的关系 3
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 3
考点归纳 4
考点一、正方形性质理解 4
考点二、根据正方形的性质求角度 7
考点三、根据正方形的性质求线段长 9
考点四、根据正方形的性质求面积 13
考点五、正方形折叠问题 15
考点六、求正方形重叠部分面积 18
考点七、根据正方形的性质证明 22
考点八、正方形的判定定理理解 24
考点九、添一个条件使四边形是正方形 26
考点十、证明四边形是正方形 28
考点十一、根据正方形的性质与判定求角度 32
考点十二、根据正方形的性质与判定求线段长 35
考点十三、根据正方形的性质与判定求面积 39
考点十四、根据正方形的性质与判定证明 43
考点十五、中点四边形 50
考点十六、（特殊）平行四边形的动点问题 56
考点十七、四边形中的线段最值问题 62
考点十八、四边形其他综合问题 69
真题演练 75
一、单选题 75
二、填空题 80
三、解答题 85
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要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
【正方形知识点小结】
1．定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5） 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
考点一、正方形性质理解
1．如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（ ）
A．点C B．点D C．点F D．点G
【答案】C
【详解】如图，正方形有4条对称轴，
由图可知，E关于直线l的对称点可能是点，
故选：C．
2．如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、根据正方形的性质可知，故A选项正确，不符合题意；
B、根据正方形的性质可知，故B选项不正确，符合题意；
C、根据正方形的性质可知，故C选项正确，不符合题意；
D、根据正方形的性质可知，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴点关于轴对称，
∴所在直线为的垂直平分线，即的横坐标均为1，
根据正方形对角线相等的性质，，
又∵点关于轴对称，
∴点纵坐标为1，点纵坐标为，
故点坐标为．
故答案为：．
4．在学习《坐标与图形的位置》的课堂上，老师让同学们自主编题，小刚同学编的题目是：“已知正方形ABCD（边长自定），请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形ABCD各顶点的坐标”．同桌小华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标，若在小华同学建立的平面直角坐标系中，正方形ABCD关于x轴对称，但不关于y轴对称，点A的坐标为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵正方形关于x轴对称，
∴x轴经过、中点E、F，
∴连接，即为x轴，
∵点A的坐标为，
∴点A到y轴距离为3，即可确定坐标原点O的位置，
∴，
以点O为原点，建立平面直角坐标系，如图：
∵正方形关于x轴对称，点A的坐标为，
∴点B坐标为，
∴，则，
∵，
∴，
∴点C的坐标为．
故答案为：．
考点二、根据正方形的性质求角度
5．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：D
6．如图，是正方形的边延长线上的一点，且交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：正方形对角线平分直角，故，
又∵，
∴．
∵正方形中，
∴，
∴，
故选：D．
7．如图，以正方形的边为边向外作等边三角形，则的度数是 ．
【答案】/15度
【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形，
，，，
，，
，
故答案为：．
8．如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ．
【答案】/22.5度
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
考点三、根据正方形的性质求线段长
9．如图，在正方形中，，点 在边上，且 点 是对角线上的一个动点，的最小值是（ ）
A．8 B． C．9 D．10
【答案】D
【详解】解：如图，
连接，交于，连接，
当点在处时，最小，最小值是的长，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
的最小值为10，
故选：D．
10．如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，
∵点是边的中点，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
故选：．
11．如图，正方形的边长为，点P在边BC上，，连接，，过的中点E作，分别交，，于点M，F，N，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】∵正方形的边长为，
∴，，
，，
，
如图，过作交于，交与，连接，，则四边形是矩形，
垂直平分，
，
，
∴，
，，
四边形是矩形，
，
，
在与中，
，
，
，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
，
故选：B．
12．如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，过点作交延长线于，则，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴，
∵在中，，
∴，整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
故答案为：．
考点四、根据正方形的性质求面积
13．如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（ ）．
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】解：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积=，
∵正方形的边长为，
∴阴影部分的面积=．
故选：B．
14．如图，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
15．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ．
【答案】8
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积之和；
故答案为：8．
16．如图，正方形和正方形的边长分别为和，、相交于点，则的面积为 ．
【答案】9
【详解】解：正方形和正方形的边长分别为和，
，，
，
由图可知，的面积的面积的面积，
的面积
，
故答案为：9
考点五、正方形折叠问题
17．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：正方形边长为，为边的中点，
，，，
由折叠知，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选C．
18．如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将沿对折至，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得，
∴，
故选：．
19．如图，将正方形纸片沿折叠，使点落在边上，对应点为点，点落在点处，若，，则折痕的长为 .
【答案】
【详解】解：作，垂足为F，连接，
∵将正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点，折痕为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
又∵在中，，
∴根据勾股定理得：．
故答案为：．
20．如图，在边长为8的正方形中，是边的中点，将沿对折至，延长交于点，连接.
(1)；
(2)求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】解：（1）证明：四边形是正方形，
，.
由折叠的性质可知，，，
，.
又，.
（2），.
设，则.
为的中点，，.
在中，，，
解得，的长为.
考点六、求正方形重叠部分面积
21．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，，
由题意知：四边形，四边形都是正方形，
，，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：B．
22．如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】解：连接，，如图所示：
三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中
，
两个正方形阴影部分的面积，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
．
故选：．
23．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【答案】
【详解】∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
24．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接、，如图所示：
，
，
是正方形，为正方形的中心，
，，
在和中，
，
，
，
，
故答案是：4．
考点七、根据正方形的性质证明
25．已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接、求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
∴
26．如图，已知为正方形内一点，连接和，点在边右侧，连接和，，且．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
27．如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且，连接和相交于点M．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：在正方形中，
，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
28．如图，在正方形中，E、F分别是、的中点，，连接，交于点G，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）四边形是正方形，
·，，
，
，即，
在和中， ，
；
（2）由（1）知，
，
即，
，
，
．
考点八、正方形的判定定理理解
29．下列说法正确的有（ ）
①一组对边平行的四边形是平行四边形；②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解： ①一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故选项错误；
②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项错误；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确；
④两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项正确；
故选：B．
30．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【详解】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，因为矩形对角线互相平分，而此时对角线互相垂直，故一条对角线为另一条对角线的垂直平分线，则得到邻边相等，故对角线互相垂直的矩形是正方形，故不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确，根据菱形的对角线垂直且互相平分，此时对角线相等，则菱形被两条对角线分割成的四个直角三角形均是等腰直角三角形，继而得到菱形的一个内角为直角，因此对角线相等的菱形是正方形，故不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，因为对角线互相垂直且相等的四边形有无数个，故符合题意；
故选：D．
31．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形
【答案】D
【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意．
故选：D．
32．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当，是矩形 B．当，是矩形
C．当，是菱形 D．当，是正方形
【答案】D
【详解】四边形是平行四边形，
当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：
考点九、添一个条件使四边形是正方形
33．如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成为正方形．
故选：B．
34．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误；
B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确；
C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误；
D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误；
故选：B．
35．如图，已知的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．当时，它是菱形
B．当时，它是矩形
C．当时，它是菱形
D．当时，它是正方形
【答案】D
【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，原结论正确，不符合题意，选项错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原结论不一定正确，符合题意，选项正确，
故选D．
36．如图，在中，，于点D，于点E，连接．若不增加任何字母与辅助线，使四边形是正方形，则还需增加的一个条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵于点D，于点E，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵要使四边形是正方形，
∴需增加一个条件是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
考点十、证明四边形是正方形
37．如图，在中，，、的平分线相交于点D，于点E，于点F．求证：四边形是正方形．
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，过点作于点，
，，，
，
四边形是矩形，
、的平分线相交于点D，，，，
，，
，
四边形是正方形．
38．如图，在平行四边形中，、为对角线上两点，，连接、、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：四边形为菱形；
(3)在（2）的条件下，连接交于点，若．求证：四边形为正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，
在中，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）证明：在中，，
是菱形，
，
，
平行四边形是菱形．
（3）证明：在（2）的条件下，
，
设，则，，
由勾股定理得，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
四边形是正方形．
39．如图，是等腰三角形的底边上的高，O是的中点，延长到点E，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【详解】（1）证明：∵是等腰三角形底边上的高，
∴，，，
∴D为的中点，
又∵O是的中点，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵是等腰三角形底边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
40．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证：
(1)；
(2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形为正方形
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵点E，F是对角线上的三等分点，
∴，
∴．
（2）解：四边形为正方形．理由如下：
如图，连接交于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∴四边形为正方形．
考点十一、根据正方形的性质与判定求角度
41．如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
故选．
42．如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不确定
【答案】A
【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为．
∵四边形是正方形，
∴平分，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选A．
43．如图，点E为正方形ABCD边CB延长线上一点，点F为AB上一点，连接AE，CF，AC，若BE=BF，∠E=70°，则∠ACF= ．
【答案】25°
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBF=90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠EAB，
∵∠E=70°，
∴∠BCF=∠EAB=90°-70°=20°，
∵正方形ABCD，AC是对角线，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°-20°=25°．
故答案为：25°．
44．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则 ．
【答案】64°
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°，
∴∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFC，
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴△ECF为等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°，
则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°，
∴∠BEC＝64°，
故答案为：64°.
考点十二、根据正方形的性质与判定求线段长
45．如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【详解】解：连接HF，如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，
∴，
过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，∴MB≤4，
根据题意，AB≥MB，
∴正方形边长的最小值为4．
故选：B．
46．如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：如图，过点E作EM⊥AB，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AM=EM
∵AB＝AE＝2，
∴AM2+EM2=AE2=4
∴EM＝，
∵S△ABE＝S△AEF+S△ABF，
∴，
∴EM＝FG+FH＝，
故选：B．
47．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝BC＝2，CF＝CE＝6，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
所以，∠ACF＝45°+45°＝90°，
所以，△ACF是直角三角形，
由勾股定理得，AF＝＝4，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×4＝2．
故选：B．
48．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)点到线段的距离为．
【详解】（1）证：菱形中，，，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
又点、是对角线所在直线上两点，
，
平行四边形是菱形，
菱形中，平分，，
，
菱形是正方形．
（2）解：正方形的面积为，
正方形的边长为，正方形的对角线长为，
、互相垂直且平分，
，，
，
，
中，，
设点到线段的距离为，
则根据菱形面积计算公式可得：，
即，
解得，
点到线段的距离为．
考点十三、根据正方形的性质与判定求面积
49．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，，，则：，
∵，，，全等，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是正方形，
则四边形面积为：，
故选：B．
50．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为 ．
【答案】/30/30.5
【详解】解：延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵CF//AE，DF//BE，
∴四边形GEHF是平行四边形，
∵∠AEB=90°，
∴平行四边形GEHF是矩形，
∴∠AEB =∠G=∠CFD=∠H=90°，
根据等角的余角相等，
∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC，
∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC，
∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4，
∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是边长为9的正方形，
∴四边形EBCF的面积为：
．
故答案为：．
51．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若DE＝1，求△AFE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
（1）证明：，
，
，
．
，，
．
（2）解：，
．
，，，
．
的面积为：．
52．如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)试探究四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，理由见解析
(3)18
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（3）解：∵且，
∴，即，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为18．
考点十四、根据正方形的性质与判定证明
53．如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点E作于点M，于点N，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）解：连接，
四边形和都是正方形，
，，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
正方形的边长为．
54．已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点．
(1)如图1，若，垂足为，求证：；
(2)如图2，点是边上一点，且，垂足为．
①判断与是否相等？并说明理由；
②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)①，理由见详解；②，理由见详解
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
（2）解：①；理由如下：
作于，如图2所示：
则，，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
②；理由如下：
连接、，过作于，交于，如图3所示：
则，，，
则，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
垂直平分，
，，
在和中，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由①得：，
，
．
55．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图，作于，于，则，
点是正方形对角线上的点，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，
∴，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形．
（2）解：的值是定值，定值为，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是定值．
56．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)正方形；理由见解析
(2)1
【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
四边形为矩形，
．
，
，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
．
四边形为正方形．
（2）解∶∵四边形为正方形，，
．
，
．
∵是的平分线，
．
在和中，
，
．
考点十五、中点四边形
57．如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：分别为的中点，
，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意；
B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意；
C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意；
D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意；
故选：D．
58．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形．
下列四个叙述：
①中点四边形一定是平行四边形；
②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形；
③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形；
④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号）
【答案】①④/④①
【详解】解：如图，连接，，
，，，分别是四边形各边的中点，
，
四边形是平行四边形；（①正确）
若四边形是矩形，
＝，
＝，＝，
＝，
四边形是菱形；（②错误）
若四边形是菱形，
，
∵，
，
四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误）
四边形是正方形，
＝，，
＝，＝，
＝，
四边形是菱形；
，，
，
，
四边形是正方形．（④正确）
正确的是①④．
故答案为：①④．
59．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是
【答案】 20
【详解】解：连接，，，，如图所示：
∵菱形中，边长为10，
∴，，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形，
∴，，，，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴是等边三角形，四边形是菱形，
∴的周长为；
同理可得：四边形、、……为菱形，
且对应的边长：，
，
……
∴四边形为菱形，边长为，
∴四边形的周长为：
．
故答案为：20；．
60．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)菱形的中点四边形的形状是_______；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．
(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______．
【答案】(1)矩形
(2)四边形为菱形；证明见解析
(3)
【详解】（1）解：如图，
四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形，
根据中位线性质得到，，
∴，
同理可得，
∴为平行四边形，
又∵是菱形，
∴，则，
∴为矩形．
故答案为：矩形；
（2）解：四边形为菱形．理由如下：
连接与，如图2所示：
∵和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，
四边形为菱形；
（3）解：如图3，连接交于O，连接、，
当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，
∴的最小值，
由性质探究知：，
又∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴，
∴的最小值，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵N，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
考点十六、（特殊）平行四边形的动点问题
61．在四边形ABCD中，，M是BC上一点，且，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】s或4s
【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=4-2t，
解得：t=；
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=2t-4，
解得：t=4，
综上所述，t=s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：s或4s．
62．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．
【答案】6或11/11或6
【详解】解：①当在上时，
的面积等于，
，
解得：；
②当在上时，
的面积等于，
，
，
解得：；
综上所述，的值为6或11，
故答案为：6或11．
63．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：AP＝________ cm；DP＝________ cm；BQ＝________ cm；CQ＝________ cm．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【答案】（1）t，（12﹣t），（15﹣2t），2t；（2）当t＝5为何值时，四边形APQB是平行四边形；（3）当t＝4时，四边形PDCQ是平行四边形
【详解】解：（1）t，（12﹣t），（15﹣2t），2t；
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4，
∴当t＝4时，四边形PDCQ是平行四边形．
64．【问题情境】
（1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ．
【继续探究】
（2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ．
【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3）
【详解】解：（1）如图1中，延长交于J．
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：；．
（2）①结论：；．理由：
如图，延长，交的延长线于点H，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如图3，过点G作，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，
由（2）得：可知，，，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，
即，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为∶．
考点十七、四边形中的线段最值问题
65．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
，
A．12 B．13 C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，
，，
当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，
四边形是正方形，
，
点在边上，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
由勾股定理得，，
的最小值是13
故选：B．
66．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点P作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：；．
67．【问题原型】
如图1，在正方形中，．求证：．
【问题应用】
如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 ；
（2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 ．
【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2）
【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
[问题应用]（1）解：四边形是正方形，，
，，
，为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
为的中点，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
，，，
在和中，
，
，
，
，
延长到点，使，则，垂直平分，
连接、，则，
，，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
68．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．
(1)当四边形是正方形时，求x的值；
(2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小；
(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________．
【答案】(1)
(2)
(3)①，②
(4)
【详解】（1）四边形是正方形，
，，
，，
，
∴，
，
．，
，
．
故答案为：．
（2）如图，连接，作于，则，，
四边形是菱形，
，，
，
矩形中，，
，
，即，
，
，
，，
．
与的函数关系式；
（3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，
在中，，
的最大值．
②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小，
此时易证，
，
，
；
故答案为：①，②．
（4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，
即点运动的路线长的长，
故答案为：．
考点十八、四边形其他综合问题
69．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ．
问题解决：
（2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ．
拓展应用：
（3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，，
，
，
，
，
根据四边形内角和定理得，；
（2） 在中，为斜边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是“等对角四边形”；
（3） 如图 3 ，过点作于，于，
，，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，．
70．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形．
性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：
①______；②______．
问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，．
（1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由．
（2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”）
拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点．
（3）试探索与的数量关系，并说明理由．
（4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程）
【答案】概念理解：D 性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形” 拓展应用：（3） （4）
【详解】概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直，
∴一定是“中方四边形”的是正方形；
故答案为：；
性质探究：∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
， ，
∵分别是的中点，
，
，
故答案为：；
问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于，
∵四边形各边中点分别为，
∴分别是 的中位线，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴.
∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”.
拓展应用：（3）； 理由如下：
如图3， 记的中点分别为， 连接，
∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点，
∴四边形是正方形，
，
，
∵分别是的中点，
，
；
（4）如图， 令与的交点为， 连接，
当点在上 (即共线) 时， 最小，最小值为的长，
的最小值，
由性质探究知：
又∵分别是的中点，
，
，
的最小值，
由拓展应用（3）知：，
；
．
故答案为：
一、单选题
1．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵平分交于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
故选：C
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，
阴影图形的周长是：，
故选：A．
3．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．5
【答案】D
【详解】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．
设AG=GE=x，则BG=3-x，
在Rt△BGE中，
∵BE2+BG2=GE2，
∴12+(3-x)2=x2，
∴x=．
在Rt△ABE中，
∵AB2+BE2=AE2，
∴32+12=AE2，
∴AE=．
∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，
∴∠HAP=∠OFP，
∵四边形ADFH是矩形，
∴AB=AD=HF．
在△ABE和△FHG中，
，
∴△ABE≌△FHG，
∴FG=AE=，
∴S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF
=
=
=
=
=5．
故选D．
4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：正方形的边长为2，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故选：A．
二、填空题
6．（2023·四川内江·中考真题）如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【详解】解：如图所示，作于点，于点，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
7．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ．
【答案】2
【详解】解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD PD＝6 x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
8．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ．
【答案】1
【详解】解：连接AG，EG，如图，
∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，
∴（8-x）2+42=82+x2，
解得：x=1，
故答案为：1．
9．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为
【答案】
【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
10．（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为
【答案】10
【详解】连结，，，
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点，
直线即为的垂直平分线，
，
，
当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长，
正方形的边长为8，且，
，，，
，
的最小值为10．
故答案为：10．
三、解答题
11．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
12．（2022·四川雅安·中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【详解】（1）证明： 正方形ABCD，
（2）如图，连结AC，
正方形ABCD，
∴四边形AECF的面积
13．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，
，
∵，∠A=∠D=90°，，
∴四边形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵，
∴△ABE≌△FMN；
（2）连接ME，如图，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，，
∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BO=OE==5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，解得：，
∴，
∴在Rt△BMO中，，
∴，
∴ON=MN-MO=．
即NO的长为：．
14．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)求的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，即，
在和中，
≌；
（2）解：由（1）知≌，
，
，
．
15．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解
【详解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
