24-25学年 初三年级统一测试数学
一、选择题（共16分，每题2分.）
1.一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术．剪纸作品形式多样，以下剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A． B． C． D．
2.如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ）.
A.三棱柱 B.长方体 C.圆柱 D.圆锥
3.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ）.
A. B. C. D.
4.如图，直线AB，CD 相交于点O，若∠AOC ＝ 50°，
∠DOE ＝ 15°，则∠BOE 的度数为（ ）.
A.15° B.30° C.35° D.65°
5.已知点（-2，3）在反比例函数（k≠0）上，则下列各点也在该反比例图象上的是（ ）
A.（2，3） B.（-3，2） C.（-2，-3） D.（3，2）
6.广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年. 光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ）.
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
7.已知锐角∠AOB
如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）.
A.∠COM=∠COD B.若OM=MN，则∠AOB=20°
C. MN∥CD D. MN=3CD
8.如图，，是内部的射线且，过点
作于点，过点作于点， 在上取点，使得，连接．设，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）.
A.①② B.①③ C. ②③ D. ①②③
填空题（共16分，每题2分）
9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式：4m2﹣4＝ ．
11.分式方程的解为.
12.如图所示的网格是正方形网格，则＝°（点A，B，P是网格线交点）.
13.在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为.
14.如图， ABCD中，延长BC至E，使得，若CF＝2，则DF的长为 ．
15.如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为SI，SⅡ，SⅢ. 给出以下结论：
① I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；
② I，II，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；
③ Ⅲ中最小内角是75°，最大的内角是120°；
④ SⅢ＝2（SI+SⅡ）.
上述结论中，所有正确结论的序号是 .
16.“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h 的车速全程匀速"绿波"通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v(km/h）的取值范围是 .
三、解答题(共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，第27~28题，每题7分)
17．计算：．
18．解不等式组：
19.已知，求代数式的值．
20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE交于点E，连接BE．
（1）求证：四边形ACBE是矩形；
（2）连接AD，若，，求AC的长．
21.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（0，1）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数
y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
22.如图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10 000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板和瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
23. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：A. x＜70；B.70≤x＜8；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100）
下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：
67，77，79，83，89，91，98，98，98，100.
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝______，b＝_____，m＝_____；
（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
24.如图，AB，CD均为⊙O的直径，点E在上，连接AE，交CD于点F，连接DE．∠EDB+∠EAD＝45°，点G在BD的延长线上，AB＝AG．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若BG＝，tan∠EDB＝，求EF的长．
25.鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份.某校科学小组连续28天监测了25℃恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数(蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标.蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜).当储存时间为x(单位：天)时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为y1， B品类鸡蛋的蛋黄指数记为y2， 部分数据如下：
x /天 0 7 14 21 28
y1 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13
y2 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15
通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系xOy中，画出了函数y1，y2的图象.
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
（1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数；
（2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性. A品类鸡蛋从第天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；
（3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）.
26.在平面直角坐标系xOy中，M，N是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为.
（1）当，，求抛物线的对称轴；
（2）若对于，，都有，求t的取值范围.
27.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC绕点C顺时针旋转角度α
（0°＜α＜360°）得到DC.
（1）如图1，若α＝30°，连接AD交BC于点E，若AC＝6，求DE的长；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，CF平分∠BCD交AD于点F，连接BF，过点C作CG⊥AD，在射线CG上取点G使得∠BGC＝45°，连接BG，请用等式表示线段CG、CF、BF之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若BC＝8，点P是线段AB上一动点，将CP绕点P逆时针旋转90°得到QP，连接AQ，M为AQ的中点，当2CM+CQ取得最小值时，请直接写出△ABM的面积.
图1 图2 图3
28.在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，将图形M绕⊙O上某一点P逆时针旋转90°，再关于直线y=1对称，得到图形N．我们称图形N为图形M关于点P的“旋转对称”图形.
已知点A(1，0).
若点P的坐标是（-1，0)，直接写出点A关于点P的“旋转对称”图形的坐
标 ；
（2）若点A关于点P的“旋转对称”图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）若点A关于点P的“旋转对称”图形在⊙O上且不与点A重合，且线段AB=，其关于P的“旋转对称”图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标的取值范围.
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
10名男生对《哪吒2》评分扇形统计图
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2025.3
一、选择题（共16分，每题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D C B A D B
二、填空题（共16分，每题2分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 x≠4 x=9 45 -3 4 ①②④ 54≤v≤72
解答题
17.原式= …………………………………4分
=． …………………………………5分
18．解：原不等式组为
解不等式①，得．…………………………………2分
解不等式②，得．…………………………………4分
∴原不等式组的解集为． …………………………………5分
19.解：原式=，
=，
=． 3分
∵．
∴， 4分
∴原式=． 5分
20．证明：（1）∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE=BD．
∵BD＝CB，
∴AE=CB．
∵AE∥BD，
∴四边形ACBE是平行四边形．
∵∠C＝90°，
∴四边形ACBE是矩形． 3分
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴设BC=2x，AC=3x．
∴BD=BC=2x．
∴DC=4x．
在Rt△ADC中，∠C＝90°，，
∵AC2+DC2=AD2，
∴()2+()2=()2．
解得，x=．
∴AC=3x=． 5分
21.解：（1）∵函数的图象经过点和，
∴
解得
∴该函数的解析式为. ……………………3分
（2）1≤m≤3． ………… 5分
22.解：设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元.
由题意可得， .
解得 .
∴，. ……………………4分
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元. …………5分
(1)a＝98，b＝93，m＝10; ……………………3分
(2)略 ……………………4分
(3)（人）
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人.……………6分
24.（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴，即.
∵为的直径，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵为的直径，
∴与相切. ………………………3分
（2）解：连接BE，如图.
∵，，，
∴.
在Rt△ADB中，，，可得.
∴.
∵，
∴.
∵为的直径，
∴.
在Rt△AEB中，，可得.
由勾股定理得 .
∴.
∴.
∵.
∴.
在Rt△AOF中，，，可得.
由勾股定理得 .
∴. ………………………6分
（1）11；………………………2分
（2）21；27；………………………4分
（3）答案不唯一，如0.09. ………………………6分
26.解：（1）
∵抛物线经过（0，c）和（2，c），
∴抛物线对称轴为x=1．…………………………………………2分
（2）
∴①当点M在对称轴左侧时，
②当点M对称轴右侧时，
……………………………………………6分
解:（1）∵∠BCD＝α＝30°，CB＝CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，∠ACD＝90°+30°＝120°，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠BCD＝30°,
∴DE＝EC，AE＝2EC，
在Rt△AEC中，AC2+EC2＝AE2，
∴62+EC2＝（2EC）2，
∴CE=，
∴DE=CE=；………………………2分
CG=BF+CF ………………………3分
证明：连接BD，AD与CG交于点O，如图2，由旋转可得∠BCD＝α，CB＝CD＝CA，
∴∠CBD＝∠CDB＝，∠ACD＝90°+α，
∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF＝∠DCF=，
∴△BCF≌△DCF（SAS）,
∴BF＝DF,
∴∠FDB＝∠FBD,
∵CG⊥AD,
∴∠GOD＝∠FOC＝90°，∠ACG＝∠DCG=∠ACD＝45°+， ∴∠OCF＝∠DCG—∠FCD＝45°+—＝45°，
∴∠OCF＝∠OFC＝45°，
∴△OFC是等腰直角三角形，
∴OC＝OF＝CF，
∵∠FDC＝∠OFC—∠FCD＝45°—，
∴∠FDB＝∠CDB—∠FDC＝（90°—）—（45°—）＝45°， ∴∠FDB＝∠FBD＝45°，
∵∠BGC＝45°，∠GOD＝90°，∠FDB＝45°，
∴G、B、D三点共线，且△OGD是等腰直角三角形，
∴OG＝OD,
∴CG＝OG+OC=OD+OC=OF+FD+OC=CF+CF+BF,
整理得CG=CF+BF; ………………………6分
（3）8 ………………………7分
28.（1）（-1，0）； ………………………2分
（2）P（0，1）； ………………………4分
（3）P（-1，0）； ………………………7分
①
②
