小题狂做——三角函数（含解析）

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高考专题——三角函数（含解析）
一、选择题：
1．（2025·浙江模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·江门模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁模拟）已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·重庆市模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
多选题：
5．（2024高三上·四川模拟）中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（　　）
A．
B．，，不能构成三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，，均为有理数，则为有理数
6．（2024高三下·东阳模拟）已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A． B．
C．为偶函数 D．在区间的最小值为
7．（2024·诸暨模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
三、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
8．（2024高三上·广东月考）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求C；
（2）若，，求的面积.
9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求；
（2）若，求外接圆的半径R．
10．（2025·浙江模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求A.
（2）若，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
（Ⅰ）求AM；
（Ⅱ）求.
11．（2025·辽宁模拟）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求ab；
（2）若，求的面积．
12．（2025·四川模拟）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求的值.
（2）若，求边上的高的取值范围.
13．（2024高三上·邯郸期中）在中，角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
14．（2024高三上·广东模拟）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且．
（1）若，且的面积为，求A；
（2）若，求．
15．（2024高一下·温州月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求B的值；
（2）求b的值；
（3）求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由
，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据两角和、差的正弦公式和已知条件得出的值.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由，
得，即，
因此，所以.
故答案为：B.
【分析】利用两角和与差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，从而得出的值.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知，又因为，
所以，故，解得，故，
令，解得，
故函数的单调递增区间为，
当时，一个单调递增区间为；
当时，一个单调递增区间为；
当时，一个单调递增区间为.
故答案为：B.
【分析】根据得出的值，再利用整体法和赋值法得出函数的一个单调区间.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由题知，由正弦定理得，
即，
因为，所以，
又因为，
所以，得，
所以最多有一个是钝角，所以，
因为
，
由基本不等式得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：B.
【分析】根据三角形中角B的取值范围、等差中项公式和正弦定理以及三角恒等变换，从而化简得出，再结合三角形内角和定理和两角和的正弦公式、正切公式，则将所求化简为关于的表达式，再利用基本不等式求最值的方法得出的最小值.
5．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A，由于，
平方可得，
相加化简可得，故A正确；
对于B，取，则，，能构成三角形，故B错误；
对于C，由可知，故为最大的内角，
则，
故为锐角，可得为锐角三角形，故C正确；
对于D，若，，均为有理数，则均为有理数，
则为有理数，
不妨设，延长到，使得，
过作，故，
由于，
故为有理数，所以均为有理数，
因此为有理数.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角形三边的关系，由平方法和不等式的基本性质，从而判断出选项A；利用进而三角形的判断方法，则可判断选项B；利用余弦定理和不等式的基本性质以及三角形中边角关系，再根据角C是三角形中最大内角，从而判断出三角形的形状，则判断出选项C；利用余弦定理和有理数的定义，结合图形关系，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
6．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：因为
A、由图像可知，所以，
又因为，所以，故选项A正确；
B、由五点法可得，解得，故选项B错误；
所以.
C、，所以 为偶函数，故选项C正确；
D、当时，，，
所以在区间的最小值为 ，故选项D正确；
故选：ACD.
【分析】先借助辅助角公式对函数进行变形，结合图像求出的值，即可判断选项A，B，求出函数f(x)的解析式，利用诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确.
7．【答案】A,D
【解析】【解答】解：A、由，可得，解得，故A正确；
B、由A可知，结合，解得，故B错误；
C、由A可得，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据同角三角函数关系求得正切值，再根据二倍角计算求解即可.
8．【答案】（1）解：因为，根据正弦定理可得：，又因为在中，所以
故可得：，又，所以或.
（2）解：因为，再结合恒等式：，可得：，又因为，所以，即，又由（1）知：或，根据，所以只能，，此时，故，根据正弦定理可得：故的面积为：
【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题型.
（1）根据已知条件结合正弦定理可得：，再根据B，C的取值范围进行求解即可；
（2）根据已知条件结合恒等式：，可得：，再根据C的大小求得：，，再根据同角三角函数关系求得，然后利用正弦定理及三角形的面积公式进行求解即可.
9．【答案】（1）解：因为，
所以
，
所以，因为，
所以，所以，又，
所以；
（2）解：因为，
所以在中，由正、余弦定理得：
，
所以，故，
由正弦定理得，
所以外接圆半径为.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式以及三角形中角C的取值范围，从而得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出实数a的值，再利用正弦定理得出三角形 外接圆半径。
10．【答案】（1）解：由正弦定理得，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，
又因为，故，
∴，解得.
（2）解：（Ⅰ）∵M是BC的中点，∴，两边平方得：
，
∴.
（Ⅱ）∵M，N分别是BC，AC的中点，
则，.
所以与的夹角等于，
∴，
∵
，
，
在（Ⅰ）中，
所以.
【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式得到，再由辅助角公式和特殊角的三角函数值，从而得到角的值.
（2）（Ⅰ）将两边平方得出，再开方得出AM的长.
（Ⅱ）利用与的夹角等于，其中，，
从而计算出，的值，再结合（Ⅰ）中，则利用数量积求向量夹角公式，从而得出的值.
（1）由正弦定理得，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，
又，故，
∴，解得；
（2）（Ⅰ）∵M是BC的中点，
∴，两边平方得
，
∴；
（Ⅱ）∵M，N分别是BC，AC的中点，
，.
所以与的夹角等于，
∴.
∵
，
，
又（Ⅰ）中，
所以.
11．【答案】（1）解：由，
可得，故，
由于为锐角三角形，所以，
故，则.
（2）解：由，
可得，所以又因为，所以，
由于为锐角三角形，故，
所以.
【解析】【分析】（1）根据余弦定理和数量积的定义可得，再结合锐角三角形中角的取值范围和三角函数值在各象限的符号，从而得出ab的值.
（2）利用余弦定理和正弦定理边角互化可得，再根据同角三角函数基本关系式以及和差角公式化简，再结合已知条件可得的值，从而得出角C的值，再利用三角形的面积公式得出的面积.
（1）由可得，故，
由于为锐角三角形，所以，
故，故
（2）由可得，
所以，结合，
故，
由于为锐角三角形，故
所以
12．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
因为正弦定理得，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以.
（2）解：因为是锐角的内角，又因为，
所以，
所以，
设边上的高为，
，
.
【解析】【分析】（1）利用切化弦和正弦定理、两角和差公式，从而得出角A的值，进而得出角A的正弦值.
（2）先根据三角形是锐角三角形得出角C的取值范围，再结合三角形的面积公式和三角型函数求值域的方法，从而得出边上的高的取值范围.
（1）因为，所以，
所以，
又因为，所以，
应用正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
（2）因为是锐角的内角，又因为，所以得出，
所以，
设边上的高为，，
.
13．【答案】（1）解：由题得，
因为，，
故，，所以.
（2）解：由（1）得，故由和得，
所以，故，
所以的周长为.
【解析】【分析】（1）先利用两角和的正切公式，再结合角A的范围及即可求解.
（2）先由（1）结合已知条件求出，再由余弦定理求出即可求解.
（1）由题得，
因为，，
故，，所以.
（2）由（1）得，故由和得，
所以，故，
所以的周长为.
14．【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，所以，
所以的面积，则，
因为，所以或．
（2）解：因为，所以，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以或，
又因为，所以，所以，
所以．
【解析】【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合勾股定理得出b，c的值，再根据三角形的面积公式和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用已知条件和勾股定理、余弦定理得出b，c的值，再结合正弦定理得出满足要求的b，c的值，从而根据数量积的定义和余弦定理得出的值.
（1）因为，所以，
又，所以，
所以的面积，
则，因为，所以或．
（2）因为，所以，
所以.由余弦定理得，
因为，所以或，
又，所以，所以，
所以．
15．【答案】（1）解：因为，
由余弦定理可得，
又因为，所以.
（2）解：因为，则，
由正弦定理可得.
（3）解：因为，，
则，.
【解析】【分析】（1）利用已知条件和余弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出角A的正弦值，再利用正弦定理得出b的值.
（3）利用已知条件和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而求出的值，再利用两角差的正弦公式得出的值.
（1）因为，由余弦定理可得，
又，所以.
（2）因为，则，
由正弦定理可得.
（3）因为，，
则，
所以.
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