期中真题专项复习13 解答题（含解析）--2024-2025学年浙教版七年级数学下册（浙江专用）

2024-2025学年浙教版七年级数学下册（浙江专用）
期中真题专项复习13 解答题
一、解答题
1．（2024七下·西湖期中）剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影正方形的面积；
（2）观察图2中阴影部分面积，直接写出，，之间的等量关系；
（3）根据（1）中的等量关系，已知，，求的值．
2．（2024七下·开化期中）实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求：
（1），a的值.
（2）当速度时该物体的运动时间t.
3．（2024七下·浦江期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价元/个 售价元/个
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
（1）求m和n的值.
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
（3）为提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某天售卖出两款足球总计盈利600元，则这天商场销售A、B两款足球各多少个？每款都有销售
4．（2024七下·浦江期中）
（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由.
（2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为15°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线OC的夹角∠MOC)
（3）如图3，直线EF上有两点A、C分别引两条射线AB、CD， ∠BAF=160°，∠DCF=80°，射线AB、CD分别绕A点、C点以2°/s和5°/s的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t
5．（2024七下·滨江期中）如图，在△ABD中，点C是边BD上一点，点E是△ABD外一点，连结AC、AE、CE，使得CE∥AB，且∠EAC＝∠BAD．
（1）∠ACE与∠EAD相等吗 请说明理由；
（2）若，∠BAC＝2∠CAD，∠B＝65°，求∠D的度数．
6．（2024七下·滨江期中）完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值．
解：．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m＋n＝4，，求mn的值；
（2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
7．（2024七下·苍南期中）小聪和小明同做一道题：已知，求，的值．
小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值．
小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值．
（1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？
（2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值．
8．（2024七下·杭州期中）如图所示，线段，交于点A，C为线段上一点（不与点A，D重合），且为钝角，过点C在的右侧作射线，过点D作直线，交于点G（点G与点D不重合）．
（1）按题目要求在图上补全图形．
（2）如果，求的度数．
9．（2024七下·拱墅期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值：
（3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
10．（2024七下·诸暨期中）如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点．
（1）如图1，点E在点D左侧，若，求的度数；
（2）射线平分．
①如图2，点E在点D左侧，求的度数．
②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数．
11．（2024七下·苍南期中）如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接、、，与的延长线交于点H，，.
（1）求证：；
（2）若，且，求的度数.
12．（2024七下·杭州期中）如图，已知点C，F为直线上两点，在同侧有三条射线，，，平分，．
（1）若，求的度数．
（2）若，请直接用含m的代数式表示的度数．
13．（2024七下·南昌期中）如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，．
（1）试说明；
（2）若，求的度数．
14．（2024七下·曲阜期中）如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．
（1）求的度数；
（2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当为角平分线时，求的度数；
②当时，求t的值．
15．（2024七下·开化期中）完全平方公式不仅具有一定的几何意义，而且将其进行适当变形后还可以解决很多数学问题.
例如：若x满足，
求的值.小军的解法如下：
解：设，，
则，
.
∴.
（1）将图1中的四个小长方形拼成一个如图2所示的大正方形，求解下列问题
①观察图2，请你用等式表示，，ab之间的数量关系.
②若，，求的值.
（2）若x满足，求的值.
16．（2024七下·柯桥期中）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．求出当边BG∥HK时t的值．
17．（2024七下·嘉兴期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线平均分成四个小长方形．然后用四个小长方形拼成一个如图2所示的大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积．
（2）观察图2，写出、、之间的数量关系．
（3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题：
①已知：，，求的值；
②已知：，求的值．
18．（2024七下·嘉兴期中）已知如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若于点，若平分，，求的度数．
19．（2024七下·瑞安期中）如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P.
（1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由.
（2）若∠FHG=3∠EPF，求∠EFD的度数.
（3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ.若∠QFH=∠FQH，且∠PEQ－∠EQF=50°，求∠EQF的度数.
20．（2024七下·永康期中）如图，直线，一副三角板按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）．设旋转时间为（）．
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点分别为）．请直接写出当边时的值．
答案解析部分
1．（1）解：方法一：直接用边长求：；
方法二：用大正形面积减去四个矩形面积：；
（2）解：同题意得：
（3）解：∵，，
∴．
（2）解：由（1）得：．
（1）方法一：由图可得阴影正方形的边长为(a-b)，根据正方形的面积等于变成的平方直接求解；方法二：由正方形及矩形的面积计算公式，根据阴影正方形的面积等于大正形面积减去四个矩形面积，列式计算即可；
（2）利用（1）中的结果，根据等面积法可直接得出结论；
（3）利用（2）中的式子代入即可得到答案．
（1）解：方法一：直接用边长求：；
方法二：用大正形减去四个矩形：．
（2）解：由（1）得：．
（3）解：∵，，
由（2）得：．
2．（1）解：由题意得：
∴.
（2）解：由（1）得：
当时，.
（1）由题意列出关于和a的二元一次方程组，解此方程组即可求解；
（2）结合（1）得到令即可求出t的值.
3．（1）解：根据题意得：
解得：
故每个A款足球80元，每个B款足球60元.
（2）解：由题意得：
120x+90y=3300
化简，得4x+3y=110，
∴3y=110-4x，
故该商场可获利：(120－80)x+(90－60)y=40x+30y=40x+10(110-4x)=1100（元）
故此时商场可获利1100元.
（3）解：该日商场销售A款足球a个，B款足球b个，根据题意，
整理得：，
故b=9时，a=13；b=18时，a=6.
故这天商场销售13个A款足球，9个B款足球或6个A款足球，18个B款足球.
（1）根据题意得等量关系：买5个A款足球的钱+买12个B款足球的钱=1120， 买10个A款足球的钱+买15个B款足球的钱=1700，列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意，列出二元一次方程并整理得3y=110-4x，再表示出两类足球的获利并相加，即可得到答案；
（3）设该日商场销售A款足球a个，B款足球b个，根据题意得等量关系：A款的销售利润+B款的销售利润－赠送的跳绳的费用=600，据此列出二元一次方程，再由a、b均为正整数求解即可。
4．（1）解：如图：
光线a平行于光线b，理由如下：
∵ ∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠3-∠1=∠4-∠2，即∠ABC=∠BCD，
∴a//b.
（2）解：因为入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1=∠2
∵入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底，
∴MN 与水平线的夹角为：
（3）解：存在，分三种情况讨论
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
要使AB∥CD ，
则，
解得t=-20(舍去)；
如图②，CD旋转到和AB都在EF的右侧时，
，
要使AB∥CD，则，
即
解得t=40
此时，
，故成立；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
，
要使AB∥CD，则，
即；
解得 t=40 ，
此时 2t＞160
∴此情况不存在．
综上所述，t为40秒时，CD与AB平行
（1）反向延长射线a和射线b，由 ∠1=∠2，∠3=∠4可得∠ABC=∠BCD，根据平行线的判定定理即可得到结论.
（2）根据镜面反射的性质得∠1=∠2，根据入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底，可得∠1+∠2=180°，于是可得∠1的度数，∠1+15°即为平面镜MN与水平线的夹角.
（3）分三种情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，同样分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解.
5．（1）解：∠ACE=∠EAD
理由如下：∵ CE∥AB
∴ ∠ACE=∠BAC
∵ ∠EAC＝∠BAD．
∴ ∠EAC-∠CAD=∠BAD-∠CAD
即∠EAD=∠BAC
∴ ∠ACE=∠EAD
（2）解：∵ AE∥BD
∴ ∠B+∠BAE=180°，∠D=∠EAD
∵ ∠B=65°
∴ ∠BAE=115°
由（1）知∠EAD=∠BAC
∵ ∠BAC=2∠CAD
∴ ∠EAD=∠BAC=∠D=2∠CAD
∴ ∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠EAD=5∠CAD=115°
∴ ∠CAD=23°
∴ ∠D=46°
本题考查平行线的性质，角的和差倍数关系，掌握平行线的性质，找出角度的数量关系是解题关键。（1）由 CE∥AB得∠ACE=∠BAC；根据∠EAC＝∠BAD．得∠EAD=∠BAC，得∠ACE=∠EAD；（2）由 AE∥BD得∠B+∠BAE=180°，∠D=∠EAD，得 ∠BAE=115°证 ∠EAD=∠BAC=∠D=2∠CAD得
∠BAE=5∠CAD=115°得 ∠CAD=23°，则 ∠D=46°.
6．（1）解： ∵
∴ 42-2mn=25
∴ mn=
（2）解：∵
∴ (a-2b)2+4×（-5）=11
∴ (a-2b)2=31
∴ a-2b=
（3）解：如图
设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6
∵ 正方形ABHG，正方形DEFC，正方形AMND，正方形BPQC，
∴ S正ABHG= S正DEFC=b2， S正AMND= S正BPQC=a2
∴ S阴影=S正ABHG+ S正DEFC+S正AMND+ S正BPQC=2（b2+a2）
∵ 阴影部分的周长为38
∴ 8a+4b=38 即4a+2b=19
∴ （4a+2b）2=192
∴ （4a-2b）2=（4a+2b）2-32ab=192-32×6=169
∴ （4a-2b）2=169
∵ BC＞2AB
∴ a＞2b
∴ 4a＞2b即4a-2b＞0
∴ 4a-2b=13
联立解得a=4，b=
则S阴影=2（b2+a2）=2（16+）=
本题考查完全平方公式的变形应用求值，灵活变形，解二元一次方程组是解题关键。（1）用完全平方公式变形，得 即可；（2）先求，可得 a-2b的值；（3）设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6，表示S阴影=2（b2+a2）；根据阴影周长得4a+2b=19；利用完全平方公式变形后得4a-2b=13，联立可得a，b值，可得S阴影.
7．（1），；发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的；
（2）；，．
8．（1）解：如图所示，

（2）解：∵ DF∥AB，
∴ ∠A=∠ADF，
∵ ∠B+∠A+∠ACB=180°，∠ACB+∠BCD=180°，
∴ ∠BCD=∠B+∠A，
∵ BC⊥CE，
∴ ∠BCE=90°，
∴ ∠DCG=90°-∠BCD=90°-∠B-∠A，
在△CGD中，∠CGD=180°-∠DCG-∠ADF=180°-(90°-∠B-∠A)-∠A=90°+∠B，
∵ ∠B=25°，
∴ ∠CGD=90°+25°=115°.
（1）先作CE⊥BC，再过点D作直线DF∥AB，即可求得；
（2）根据平行线的性质可得∠A=∠ADF，根据三角形内角和定理和平角的定义可得∠BCD=∠B+∠A，根据垂直的定义可推出∠DCG=90°-∠A-∠B，再根据三角形内角和定理即可求得∠CGD=90°+∠B.
9．解：（1）方程组，把②代入①得：3y+1=7，解得：y=1，代入②得：x=1+1=2，
满足．
方程组的解，具有“邻好关系”；
（2）方程组
①-②得：，即．
方程组的解，具有“邻好关系”，
，即
或：
（3）方程两式相加得：2y+ay=12，即(2+a)y=12，
∴x=2y－5，.
，，均为正整数，
∴（舍去），（舍去），，，
满足条件的两组解中，当时，．
，方程组的解为

（1）解方程组得解，利用题中的新定义判断即可；（2）两式相减并整理可得，由题中的新定义可得，求解即可得到m的值；
（3）两方程相加消去x，2y+ay=12，整理得x=2y－5，.根据a，x，y都为正整数，从y=1开始讨论，求出所有满足条件的a，x，y的值，最后再利用题中的新定义确定出a值以及方程组的解即可．
10．（1）；
（2）①；②或．
11．（1）证明：，，，
，
，
（2）解：，，
，
，
，
，，
(1)先利用同位角相等，两直线平行可得AC∥GH，从而利用平行线的性质可得∠2=∠ACE，然后利用等量代换可得∠ACE-∠3=180°，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得DH∥CE，即可解答；
(2)利用平行线的性质可得∠2=∠H=∠4+10°，然后利用三角形的外角性质可得∠2+∠4=∠BGH从而可得∠4-10°+∠4=62°，最后进行计算即可得出答案.
12．（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解：的度数为；理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
（1）根据邻补角求出∠BCE的度数，根据角平分线的定义得出∠DCB得度数，最后根据二直线平行，同位角相等得∠BFG=∠BCD，从而即可得出答案；
（2）根据邻补角求出∠BCE的度数，根据角平分线的定义得出∠DCB得度数，最后根据二直线平行，同位角相等得∠BFG=∠BCD，从而即可得出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解：的度数为；理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
13．（1）解：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，结合已知推出∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行，即可求得；
（2）根据AB∥CD得∠FED=∠AFE，根据角平分线的定义可得∠AED=2∠FED，根据平角的定义可得∠3+∠AED=180°，求出∠2，即可求得∠AFE.
14．（1）
（2）①的度数为或；②或
15．（1）解：①图中阴影部分面积可表示为，也可以表示为，
∴.
②∵，
∴
∵，
∴.
（2）解：设
∴
∵，
∴.
（1）①将图中阴影部分的面积用两种不同的方法表示出来，进而即可求解；
②根据①中得到的结论，计算即可；
（2）设根据题意求出进而即可求解.
16．（1）解：如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°．
（2）解：①如图②中，
∵BG∥CD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴3t＝30，
∴t＝10s．
∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为10s．
②点F在平行线内部时，如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．
∵BG∥KR，
∴∠GBN＝∠KRN，
∵∠QEK＝60°+2t，∠K＝∠KEQ+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+2t）＝30°﹣2t，
∴3t＝30°﹣2t，
∴t＝6s．
点F在平行线外部时，如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．
∵BG∥KR，
∴∠GBN+∠KRM＝180°，
∵∠QEK＝60°+2t，∠EKR＝∠KEP+∠KRM，∠GBN=3t，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣2t）＝2t﹣30°，
∴3t+2t﹣30°＝180°，
∴t＝42s．
综上所述，满足条件的t的值为6s或42s．
（1）由邻补角定义求得∠ACN度数，根据角平分线性质求得∠ECN，再根据平行线的性质求得∠QEC，用∠QEC－∠DEC即可得到答案；
（2）①由平行线的性质得∠GBC＝∠DCN，求出∠DCN的度数，表示出∠GBC，即可得到t值，
②分两种情况进行讨论：点F在平行线内部时，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．由平行线的性质可得∠GBN＝∠KRN，表示出t秒时∠QEK以及∠KRN的度数，根据∠GBN＝∠KRN得关于t的方程并求解；点F在平行线外部时，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．由平行线的性质可得∠GBN+∠KRM＝180°，表示出t秒时∠QEK以及∠KRM的度数，根据∠GBN+∠KRN＝180°得关于t的方程并求解；最后综述即可.
17．（1）解：方法一：阴影部分的面积为：，
方法二：阴影部分的面积为；
（2）解：由题意得：；
（3）解：①∵，，由（2）的结论得：，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴设，，则，，
∴
．
（1）根据“阴影部分的面积=阴影小正方形的面积”，“阴影部分的面积=大正方形的面积-四个小长方形的面积”，两种不同的方法表示即可；
（2）根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，可得结论；
（3）①由（2）的结论得：，从而整体代入整理得出，再开平方得出的值即可；
②设，，得出，，则，代入计算即可．
18．（1）解：，理由如下：
∵
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∵平分，
∴
∵
∴∠ADB=90°，
∴．
（1）根据二直线平行，内错角相等，得∠1=∠DAB，结合已知可得∠2=∠DAB，从而根据同位角相等，两直线平行，得出AD∥GF；
（2）首先根据二直线平行，同位角相等，得到∠EAB=∠CED=20°，由角平分线的概念得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
19．（1）解：相等，理由如下：
平分
（2）解：解：
设

（3）解：解：点在射线上，
①当点在点上方时，如图所示，
平分，
即
由题意得
，
②当点在点下方时，过点作平行线交射线于点，交直线于点，延长交射线于点
如图所示，
平分，.
由题意得
∴∠PEF+∠EFT=90°，
∴QT⊥PE，
，
又∵
综上所述或
（1）根据平行得出，根据平分得出，故证明出；
（2）根据三角形外角和定理得出∠EFD与∠EPF的数量关系，根据平行的性质以及条件得出∠FHG与∠EFD的数量关系，结合条件，设∠EPF=x°，得关于x的方程并求解，从而可计算出∠EFD；
（3）点Q为射线GH上的一点，即可能出现在H上方（G的下方）或H的下方，故需要分两种情况讨论.
当点Q在H上方时，证明，由角平分线定义得，由平行线性质可证得EP//FQ，于是可计算∠EQF度数；当点Q在H下方时，过点作平行线交射线于点，交直线于点，延长交射线于点，证明，由角平分线定义得，由平行线性质得∠PEF+∠EFT=90°，于是有QT⊥PE，根据直角三角形性质可得
，结合题目条件即可计算∠EQF度数；
20．（1）
（2）①t的值为；②t的值为或