期中真题专项复习04 阅读理解题（含解析）--2024-2025学年八年级数学下册（北师大版）

2024-2025学年八年级数学下册（北师大版）
期中真题专项复习04 阅读理解题
一、阅读理解题
1．（2024八下·吉安期中） 阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：
（2）的三边满足，判断的形状．
2．（2024八下·射洪期中）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用）
【例】已知实数满足，求分式的值．
解：观察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值，
因为
所以
【活学活用】
（1）已知实数满足，求分式的值；
（2）已知实数满足，求分式的值．
3．（2024八下·湘西期中）阅读材料：
小明的数学兴趣小组在深度学习过程中，对“完全平方数（式）”有了更深刻的全面了解．他们先回顾“有理数”，知道1，4，，0.25，…，等这样的数，可以写成，，，，…他们称它们为完全平方数；然后回顾“整式的乘法与因式分解”这个章节，掌握了，等这样的整式，可以写成，，，…，他们称它们为完全平方式，他们发现这些数式的变形有时能给问题解决提供方便．现在，小明团队学习了“二次根式”后，能熟练把任意一个非负数改写成一个非负数的平方形式，如，，，，…，等，小明他们类比称这些非负数（式）为二次根式中的完全平方数（式）．
下面，请跟随他们探究、解答下列问题：
（1）请分解因式：________________．
（2）．
反之，，．
（3）仿上例，化简：．
（4）继续进行以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有：
．
∴，．
这样就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法．
方法迁移：当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________；
利用上述探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，
使得：________，________，_________，_________；
（5）若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
4．（2024八下·辽阳期中）阅读理解并解答：
我们把多项式 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：
∵是非负数， 即
则这个代数 的最小值是2，这时相应的x的值是；
，
是非负数，即
则这个代数式 的最小值是 ，这时相应的x的值是 2
【知识再现】（1）当 时， 代数式 的最小值是 ；
【知识运用】 （2）若 ；当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
【知识拓展】 （3）若 求的最小值．
5．（2024八下·西安期中）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程是不等式组的“关联方程”．
任务：
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______．（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求m的取值范围．
6．（2024八下·郑州期中）阅读理解：
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，如：
． 这种分解因式的方法叫分组分解法．
解决问题：
（1）分解因式：；
（2）三边满足，判断的形状．
7．（2024八下·贵阳期中）阅读下面材料：
解方程：-=0.
解：设y=，则原方程化为y-=0，
方程两边同时乘y，得y2-4=0，
解得y=±2.
经检验，y=±2都是方程y-=0的解.
当y=2时，=2，解得x=-1；
当y=-2时，=-2，解得x=.
经检验，x=-1，x=都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-1或x=.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
解答下面的问题：
（1）对于方程-=4，若设 =y，则原方程可化为　 　，原方程的解为　 　.
（2）模仿上述换元法解方程：
--1=0.
8．（2024八下·南海期中）阅读理解
阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以．请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
（1）（A，B为常数），则　 　，　 　；
（2）一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的 第n次倒出的水量是的…按照这种倒水的方法，请说明这，1L的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
（3）按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出，第2次倒出的水量是，第3次倒出的水量是，第4次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
9．（2024八下·南通期中）（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ；
A． B． C． D．
（2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ；
（3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长．
10．（2024八下·从江期中）阅读材料：
把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2.
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：a2-4a+4=　 　；
（2）若a2+2a+b2-6b+10=0，求a+b的值；
（3）若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4=0，试判断△ABC的形状.
11．（2024八下·南海期中）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．
（1）已知3个点：则线段的“等距点”是______，线段的“完美等距点”是______；
（2）若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；
（3）当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．
12．（2024八下·柳南期中）阅读下面材料，并完成相应的任务．
三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图，任意可被看作是矩形的对角线与边的夹角，以点为端点的射线交于点，交的延长线于点．若，则是的一个三等分角．
证明：如图，取的中点，连接．
∵四边形是矩形，∴，．∴．
在中，∵点是的中点，∴，，．
……
任务一：上而证明过程中得出“”的依据是______；
任务二：完成材料证明中的剩余部分．
13．（2024八下·贵阳期中）阅读下面材料：
解方程：．
解：设，则原方程化为，
方程两边同时乘y，得，
解得．
经检验，都是方程的解．
当时，，解得；
当时，，解得．
经检验，，都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
解答下面的问题：
（1）对于方程，若设，则原方程可化为　　　　　　　，原方程的解为　　　　　　　　．
（2）模仿上述换元法解方程：．
14．（2024八下·贵阳期中）（阅读理解题）在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边都乘以x﹣3，得2﹣x＝﹣1﹣2①．移项得﹣x＝﹣1﹣2﹣2②．解得x③．
（1）你认为小明在哪一步出现了错误？　 （只写序号），错误的原因是　 ．
（2）小明的解题步骤完善吗？如果不完善，说明他还缺少哪一步？答：　 ．
（3）请你解这个方程．
15．（2024八下·柳州期中）阅读与思考：
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形.这个平行四边形是四边形的中点四边形，也称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，分别交，于点，，
∵，分别为，中点，
∴．
∵，分别为，中点，
∴________________（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形．
任务：
（1）填空1：________________；填空2：________________
（2）矩形的瓦里尼翁平行四边形是（　　）
A.平行四边形 B.菱形 C. 矩形 D.正方形
（3）菱形的瓦里尼翁平行四边形是（　　）
A.平行四边形 B.菱形 C. 矩形 D.正方形
（4）在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．
16．（2024八下·莱山期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）代数式的最大值为________；
（2）已知：，，求代数式的值．
17．（2024八下·铁西期中）【阅读材料】
（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，，连接，，若，求的长；
小明是这样想的：如图2，把绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．连接，则可以得到直角三角形，利用勾股定理可以求出的长，又易证，从而求的长；
小亮是这样想的：如图3，把和分别沿和所在直线折叠，得到和，从而得到直角三角形，利用勾股定理可以求出的长；
根据小明或小亮的做法，可以求得________；
【拓展延伸】
（2）如图4，在等边中，点，在边上，且，连接，，若，求的边长；
【解决问题】
（3）在某公园的水平空地上，四条道路围成四边形，已知米，，，．道路，上有两个景点，分别记作，（如图5所示），测得米，米．若在，之间修一条直路，请直接写出走路线比走路线少走多少米？
18．（2024八下·沈阳期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：（应用配方法）
（2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式中，的值．
19．（2024八下·景泰期中）阅读材料
对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值．
20．（2024八下·丹东期中）材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如分解因式：
材料2：分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将因式分解；
（2）根据材料2将因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将因式分解．
答案解析部分
1．（1）解：
（2）解：，
，
，
，
是三角的三边，
，
，
得，
是等腰三角形．
（1）仿照例题中分组分解法进行因式分解即可；
（2）先根据分组分解法进行因式分解得到，再根据三角形的两边之和大于第三边得到，则a-b=0，据此即可判断 是等腰三角形.
2．（1）
（2）
3．（1）
（2）；
（3）
（4），；答案不唯一，13，4，1，2
（5）14或46
4．（1）3，3；（2）1，大，；（3）
5．（1）②
（2）
6．（1）
（2）等腰三角形
7．（1）y-=4；x=或x=-
（2）原方程化为-=0.
设y=，则原方程化为y-=0，
方程两边同时乘y，得y2-1=0，
解得y=±1.
经检验，y=±1都是方程y-=0的解.
当y=1时，=1，该方程无解；
当y=-1时，=-1，解得x=-.
经检验，x=-是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-.
解：（1） 设 =y， 则原方程可转化为：y-5×=4，即y-，
解方程，得：y1=5，y2=-1，
经检验，y1=5，y2=-1，是分式方程的解，
当y1=5时，=5，解得：x=，
经检验，x=是分式方程=5的解；
当y2=-1时，=-1，解得：x=，
经检验：x=是分式方程=-1的解。
故第1空答案为：y-；第2空答案为：x=或x=；
（1）设 =y，根据换元法先把原方程转化为未知数为y的方程y-，然后解方程求得y的值，然后再根据=y，分别求得相应的x的值即可；
（2）首先把原方程整理为：-=0. 然后 设y=， 把原方程换元为： y-=0， 先求y的值，并进行检验，然后再根据y=，进一步求得x的值即可，注意检验。
8．（1）1；-1
（2）解：这1L水不能倒完，理由如下：
倒n次倒出的总水量为：
；
这1L水不能倒完．
（3）解：第1次倒出水后，剩余水量为
第2次倒出水后，剩余水量为
第3次倒出水后，剩余水量为
第4次倒出水后，剩余水量为
……
第n次倒出水后，剩余水量为
令，
解得n=99，
经检验n=99是原方程的根，
∴故要经过99次操作，剩余水量为.
解：（1）∵， ，
∴
解得，
故答案为：1；-1；
（1）将 将等式右边通分计算后可得，从而求解即可；
（2）根据题意列式表示出倒n次倒出的总水量，进而根据题干给出的方法将每一个加数分别表示成部分分数的形式，再计算加减法得到最简结果，根据除法的意义判断这个结果比1小即可；
（3）根据倒水方式分别表示出前几次倒水后剩余水量，就会发现规律第n次倒出水后，剩余水量为，令，求解即可得出答案.
9．（1）C；（2）；（3）竹竿长尺
10．（1）(a-2)2
（2）a2+2a+b2-6b+10
=a2+2a+1+b2-6b+9
=(a+1)2+(b-3)2
=0，
∴a=-1，b=3，
∴a+b=-1+3=2.
（3）∵a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4
=a2-2ab+b2+c2-2c+1+3(b2-2b+1)
=(a-b)2+(c-1)2+3(b-1)2
=0，
∴a=b=c=1，
∴△ABC为等边三角形.
解： （1）a2-4a+4= (a-2)2.
故答案为：(a-2)2.
（1）直接根据完全平方公式因式分解即可解答；
（2）先将原等式配方变形为(a+1)2+(b-3)2=0，根据平方的非负性求出a，b的值，再计算a+b即可；
（3）先将原等式配方变形为(a-b)2+(c-1)2+3(b-1)2=0，再根据平方的非负性求出a=b=c=1，即可判断△ABC为等边三角形.
11．（1）B和 C；C；
（2）解：在上，
，
，
，
，
或．
设的坐标为，
或，
，，
或，
解得：或．
的坐标为或
（3）点P的坐标为或．
（1）解：，，
，
为等距点．
，，
，
为等距点．
，，
，
不为等距点．
，
，，，，
为完美等距点，
故答案：和；；
（3）解：设点的坐标为，
，
，，
点是线段的“等距点”，
，
，
解得：，
为线段的“完美等距点”，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；
（2）已知直线y=x上的点P(m，n)且满足OP=，根据距离公式，可以求出m和n的值。由于H在y轴上，设H点坐标为(0，t)，根据等距点定义，HP=HA，即或，通过解方程组可以求出t的值进而求出点H的坐标；
（3）首先根据“等距点”的定义，确定N点到线段OA两端点距离相等的条件。然后，根据“完美等距点”的定义，结合线段OP的条件，确定N点到线段OP构成直角的条件。结合线段OA和线段OP的条件，求出满足上述两个条件的N点和P点坐标。
12．任务一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
证明：任务二：如图，取的中点，连接．
∵四边形是矩形，
∴ AD∥BC，∠CAD=90°
∴∠CAF=180°-∠CAD=90°．
在中，∵点是的中点，
∴，，
∴AG=GF．
∵EF=2AB，
∴AB=AG．
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F，
∵AD∥BC，
∴∠F=∠CBF，
∴∠ABG=2∠CBF，
∴∠ABC=3∠CBF，
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线；
本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据直角三角形斜边中线的性质构造辅助线是解题关键.任务一：根据证明过程可知的依据是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
任务二：取EF的中点G，连接AG，根据矩形的性质：对边平行，四个角都是90°可知：AD∥BC，∠CAD=90°，再由平角的定义可知：∠CAF=180°-∠CAD=90°，结合点G是EF的中点和直线三角形斜边的中线=斜边的一半可知：，即AG=GF，由等腰三角形的性质：等角对等边可知：∠F=∠FAG，结合EF=2AB可得：AB=AG，再由等腰三角形的性质：等角对等边可知：∠ABG=∠AGB，根据三角形外角的性质可知：∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F，再根据平行线的性质证得∠F=∠CBF，根据角的倍数运算可知：∠ABC=3∠CBF，即可证得结论.
解：任务一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
13．（1）解：，或；
（2）解：原方程化为．
设，则原方程化为，
方程两边同时乘y，得，
解得．
经检验，都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得．
经检验，是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
（1）解：对于方程，
若设，则原方程可化为，
方程两边同时乘y，得，
解得或．
经检验，，都是方程的解．
当时，，解得；
当时，，解得．
经检验，，都是原分式方程的根，
故原方程的解为或；
（1）参照题干中的换元法的计算方法设，则原方程可化为，再利用分式方程的计算方法分析求解即可；
（2）参照题干中的换元法的计算方法设，则原方程化为，再利用分式方程的计算方法分析求解即可.
（1）解：对于方程，若设，则原方程可化为，
方程两边同时乘y，得，
解得或．
经检验，，都是方程的解．
当时，，解得；
当时，，解得．
经检验，，都是原分式方程的根，
故原方程的解为或；
（2）解：原方程化为．
设，则原方程化为，
方程两边同时乘y，得，
解得．
经检验，都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得．
经检验，是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
14．解：（1）①；﹣2没有乘以最简公分母；
（2）小明得解题步骤不完善，少了检验；
（3）去分母得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），
去括号得：2﹣x＝﹣1﹣2x+6，
移项合并得：x＝3，
经检验x＝3是增根，分式方程无解．
解：（1）出现错误的为①，原因是﹣2没有乘以最简公分母；
故答案为①；﹣2没有乘以最简公分母；
（2）小明得解题步骤不完善，少了检验；
（1）出现错误的步骤为第一步，原因是各项都要乘以最简公分母；
（2）不完善，最后没有进行检验；
（3）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
15．（1）；；；
（2）B
（3）C
（4）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于．
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，
∴点，，，分别是边，，，的中点．
∴，，，，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为：
．
（1）证明：连接，分别交，于点，，
∵，分别为，中点，
∴.
∵，分别为，中点，
∴
∴
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形.
故答案为：；；；；
（2）解：∵点，，，分别是边，，，的中点，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴平行四边形是菱形，
故选：B；
（3）解：∵点，，，分别是边，，，的中点，
∴，，，，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故选：C；
（1）连接，分别交，于点，，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得到，，则平行四边形是菱形，
（3）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，，则平行四边形是矩形，
（3）根据三角形中位线定理可得，，，，则瓦里尼翁平行四边形的周长为：
．
16．（1）
（2）
17．（1）；（2）；（3）
18．（1）
（2）当时，多项式有最大值，最大值是7
（3），
19．（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
，
，
故的最小值为2023．
（1）根据题意计算即可求出答案.
（2）利用配方法将代数式转化为，再根据非负数的性质即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
，
，
故的最小值为2023．
20．（1）
（2）
（3）