期中真题专项复习 04 证明题（含解析）--2024-2025学年七年级数学下册（北师大版2024）

2024-2025学年七年级数学下册（北师大版2024）
期中真题专项复习 04 证明题
一、证明题
1．（2024七下·慈溪期中）如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）若平分交于点，，求证：．
2．（2024七下·义乌期中）如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，F是AB上一点，且∠DEC+∠AFD＝180°．
（1）求证：DF∥AC；
（2）若∠B+∠C＝130°，求∠FDE的度数．
3．（2024七下·嘉善期中）如图，D，E分别在的边、上，F在线段上，且，．求证：．
4．（2024七下·拱墅期中）如图，在三角形中，D，E，F分别是上的点，且．
（1）若，试判断与是否垂直，并说明理由；
（2）若平分，，求的度数．
5．（2024七下·西湖期中）已知：点E在线段间（如图1）．连接．．
（1）求证：．
（2）如图2，点F在点E右侧．连接．
求证．
（3）如图3在（2）的条件下，线段，的延长线交于点H．交于点K．当平分，平分，，时，求的度数．
6．（2024七下·澄城期中）已知，如图，，，求证：，请完成解答过程．
证明：（已知）
▲ （　　）
又（已知）
▲ （　　）
▲ （两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
7．（2024七下·子洲期中）如图，已知点A，B，D在一条直线上，，∠1=∠2，请填写∠B=∠C的理由．
解：因为，所以∠1= ▲ （　　），
∠2= ▲ （　　）．
2因为∠1=∠2，所以∠B=∠C（　　）．
8．（2024七下·潮州期中）如图，已知点P在CD上，∠BAP＋∠APD＝180°，∠1＝∠2，求证：∠E＝∠F．
9．（2024七下·凉州期中）如图，若，，那么吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由．
解：理由如下：
（已知），
____________（______），
______（______）
又（已知），
______（______）
（______）．
10．（2024七下·福田期中）请将下列说理过程补充完整：
如图：，，，试说明．
解：因为（已知），
所以（______），
因为（已知），
所以______（两直线平行，内错角相等），
因为（已知），
所以_____________（______），
即，
所以（______）．
11．（2024七下·上海市期中）如图，如图，已知，，，求的度数．
12．（2024七下·北京市期中）如图，，，求证．完成下面的证明过程．
证明：∵，，
∴（同角的补角相等）．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
∴（ ）．
又∵（已知），
∴ （等量代换）﹒
∴（ ）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
13．（2024七下·柳州期中）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，求证：AB∥CD.
14．（2024七下·镇海区期中）如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，其中平分，平分，．
（1）试说明；
（2）若，求的度数．
15．（2024七下·惠阳期中）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°．求证：BC∥ED．
16．（2024七下·广州期中） 如图，已知，，垂足分别为D、F，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：，（已知），
（　 　），
（　 　）．
　 　（　 　）
（已知）．
（　 　）．
∴　 　（　 　）
（　 　）．
17．（2024七下·宜春期中）如图，已知，．求证：．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵（已知），
∴ （ ）．
又∵（已知），
∴ （ ），
∴ （ ），
∴（两直线平行，同位角相等）．
18．（2024七下·霞浦期中）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，已知BC分别交AB、DE于点B、C，且∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
证明：因为∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
所以AB∥DE（ 　　）．
所以∠ABC＝∠BCD（ 　　）．
因为∠P＝∠Q（已知），
所以PB∥CQ（ 　　）．
所以∠PBC＝（ 　　）（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝∠ABC﹣（ 　　），
∠2＝∠BCD﹣（ 　　），
所以∠1＝∠2（等量代换）．
19．（2024七下·黄埔期中）根据解答过程填空（理由或数学式）．
已知：如图，，，求证：．
证明：∵（邻补角定义），
又∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ）
∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
20．（2024七下·清城期中）如图，在三角形中，，垂足为，为上的点，，垂足为，点在上，连接，若，求证：．
21．（2024七下·天津市期中）如图，已知，，，垂足为A，请在横线上补全求的度数的解题过程或依据．
解：∵（已知）．
∴ （ ）．
∵已知），
∴ （等量代换）．
∴
∴ （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知），
∴ （ ）．
∴ （等式的性质）．
22．（2024七下·东昌府期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1=∠BOC，求∠BOD的度数．
23．（2024七下·永州期中）填空：如图，在四边形中，分别于相交于点E、F．，，试说明．
解：∵，
∴____________．（______），
又∵，
∴____________（______），
∴____________（______）．
24．（2024七下·澄海期中）如图，已知，，平分，平分，，求证：
请将下列证明过程中的空格补充完整
证明：∵，
（　　）
平分，平分
（　　）
=
（　　）
（两直线平行，内错角相等）
即（　　）
25．（2024七下·西城期中）已知：如图，，，．求证：平分．
证明：∵，，
∴，（_______）．
∴．
∴__________（_______）．
∴（_________）．
（_________）．
又∵，∴（等量代换）．
∴平分．
26．（2024七下·北京市期中）请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形，点E、F分别在边两方的延长线上，连接，若，．
求证：．
证明：∵点E在的延长线上（已知）
∴
又∵（已知）
∴ （ ）
又∵（已知）
∴ （ ）
∴（ ）
∴（ ）
27．（2024七下·西工期中）已知：如图所示，，和分别平分和，．求证：．
证明：∵和分别平分和(已知)
∴ ，
．( )
又∵(已知)，
∴∠ (等量代换)．
又∵(已知)，
__________（等量代换），
∴( )．
28．（2024七下·滑县期中）如图，已知，，，将下面“求证：”的过程补充完整．
证明：∵，
∴，（判定依据：________，两直线平行）
∴________（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴________=________（等量代换），
∴________（判定依据：________，两直线平行）
又∵，
∴________°，（垂直的定义）
∴________°，（两直线平行，________）
∴．
29．（2024七下·龙口期中）如图，已知，，求证：．
下面是小明同学不完整的证明过程，请你在横线上补充完整，并在括号里填上每一步的推理依据．
证明：∵（已知），
∴_________，
∵（_________），
∴（_________），
∴（_________），
∴_________（两直线平行，同旁内角互补），
∵（_________），
∴（_________）．
30．（2024七下·北京市期中）完成下面的证明．已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（______）
∴∠ACB＝∠EFB．
∴_____________．（______）
∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠1．（_______）
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．
∴EF平分∠BED．
31．（2024七下·鄞州期中）如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
32．（2024七下·杭州期中）如图，点是上一点，，交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
33．（2024七下·高州期中）已知：如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB
求证：ED//CF
34．（2024七下·白云期中）如图，AD∥BE，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AB∥CD．
35．（2024七下·厦门期中）请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
如图，于D，点E在的延长线上，于G，交于点F，．
求证：平分．
证明：∵于D，于G（已知）
∴（______）
∴______（同位角相等，两直线平行）
∴（______）
______（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴平分（角平分线的定义）
36．（2024七下·瓜州期中）如图，已知平分交于点E．
（1）试说明：与的关系
（2）若于点，求的度数．
37．（2024七下·滨海期中）（1）已知：如图，且，求证．
证明：∵，（已知），
∴（______），
∵（已知）
∵（______），
∴______，
∴（______）；
（2）已知：如图，直线，被所截，，求证：．
证明：∵（______），
又∵（已知），
∴______（______），
∴（______）．
38．（2024七下·余姚期中）如图，于点D，点F是上任意一点，过点F作于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，平分，求的度数．
39．（2024七下·柘城期中）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图(1)是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．
求证：．
证明∶如图，延长交于点．
∵（已知），
∴（_________）
又∵(已知)，
∴（________）
∴____________（________）
∴_______+_______（_______）
∵（已知），
∴_______（__________）
∴．
40．（2024七下·凉州期中）先阅读再解答：
（1）如图1，，试说明：；
（2）已知：如图2，，求证：；
（3）已知：如图3，，．求证：．
41．（2024七下·滨江期中）如图，在中，点C是边上一点，点E是外一点，连结，使得，且．
（1）与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
42．（2024七下·滨海期中）如图所示，已知，平分，平分，，试说明：．
解：（______），
又平分，
______（______），
又平分，
______，
．（______）
，
____________
（______）
43．（2024七下·清苑期中）如图，点D，E是线段上的点，点F是线段上的点，，点H是上的点，且．求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵，
∴______．（理由：_________）
∵，
∴_____．
∴____________．（理由：______）
∴．
44．（2024七下·蕲春期中）填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由．
如图，已知∠BEF+∠EFD＝180°，∠AEG＝∠HFD，求证：∠G＝∠H．
解：∵∠BEF+∠EFD＝180°，（已知）．
∴AB//　 　（　 　）．
∴　 　＝∠EFD（　 　）．
又∵∠AEG＝∠HFD，
∴∠AEF﹣∠AEG＝∠EFD﹣∠HFD，即∠GEF＝　 　．
∴　 　//FH（　 　）．
∴∠G＝∠H．（　 　）．
答案解析部分
1．（1）解：解：，
，
，
，
的度数是110°；
（2）证明：∵平分交于点，＝110°，
，
，
，
，
，
．
（1）根据平行线的性质得，最后进行计算即可求出答案；
（2）根据角平分线的定义求出∠DAE=55°，再根据平行线的性质得∠AEB=∠DAE=55°，从而得∠AEB=∠BCD，最后根据平行线的判定得AE∥CD.
2．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
根据（1）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（1）根据平行线的性质得到，进而结合题意得到，再根据平行线的判定即可求解；
（2）先根据题意得到，进而根据（1）可知：，，从而根据平行线的性质即可求解。
3．证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
先证明，可得，于是根据平行线的性质可得，再根据平行线性质得，等量代换即可证明结论．
4．（1）解：，理由如下：
，
，
∴∠BFD=∠FDE.
，
，
，
．
（2）解：平分，
，
，
，∠AFE=∠FED.
∵△FDE中，∠FDE+∠DFE+∠FED=2∠FDE+∠AFE=180°，
又∵∠FDE+3∠AFE=180°，
∴2∠FDE+∠AFE=∠FDE+3∠AFE，即∠FDE=2∠AFE.
∴5∠AFE=180°，
解得：∠AFE=36°，
∴∠BFE=2∠FDE=4∠AFE=144°．
5．（1）解：如图，过点E作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：设，∵平分，平分，
∴，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
6．证明：∵AD∥BE（已知）
∴∠A=∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2（已知）
∴AC∥DE（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠E（两直线平行，内错角相等）
∴∠A=∠E（等量代换）
故答案为：3，两直线平行，同位角相等；DE，内错角相等，两直线平行；E
通过对已知的观察分析可以看出，由两直线平行，同位角相等可以得到∠A=∠3，再由内错角相等，两直线平行，推出AC∥DE，进而由 两直线平行，内错角相等 得到∠3=∠E，最后由等量代换得∠A=∠E.
7．因为，所以∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1=∠2，所以∠B=∠C（等量代换）．
利用平行线的性质求出∠1=∠B和∠2=∠C，通过等量转化即可推出 ∠B=∠C .
8．证明：∵∠BAP＋∠APD＝180°，（已知）
∴AB∥CD．（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BAP＝∠CPA．（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠BAP－∠1＝∠CPA－∠2
∴∠EAP＝∠FPA．
∴AE∥PF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠E＝∠F．（两直线平行，内错角相等）
利用同旁内角互补，两直线平行可证得AB∥CD，利用平行线的性质可推出∠BAP＝∠CPA，结合已知条件可证得∠EAP＝∠FPA；再利用内错角相等，两直线平行可证得AE∥PF，然后利用平行线的性质可证得结论.
9．；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行．
10．两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换
11．
12．，两直线平行，内错角相等，，同位角相等，两直线平行
13．解：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠4（对顶角相等）
∴∠2=∠4(等量代换)
∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠B=∠C（已知）
∵∠B=∠3(等量代换)
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
根据对顶角相等，得到∠1=∠4，得到∠2=∠4，由EC∥BF，得到∠C=∠3，根据∠B=∠C，得出∠B=∠3，结合内错角相等，两直线平行，即可证得AB∥CD.
14．（1）解：如图，，
平分，
，
，
（2）解：如图
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
的度数为
（1）根据等边对等角得到，根据角平分线得到，即可得到，再根据平行线的判定定理得到结论即可；
（2）先得到，再根据两直线平行，内错角相等得到，根据角平分线的定义得到，求出∠3的度数，即可得到的度数解题．
15．证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
由两直线平行，内错角相等可得∠B=∠C，由等量代换可得∠C+∠D=180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”可求解.
16．垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
解：，（已知），
（ 垂直的定义 ），
（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∠1（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
（已知）．
（ 同角的补角相等 ）．
∴DG（ 内错角相等，两直线平行 ）
（ 两直线平行，同位角相等 ）．
根据垂直的定义得∠ADB=∠EFB=90°，由同位角相等，两直线平行，得AD∥EF，由二直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠2=180°，结合已知，由同角的补角相等得∠1=∠3，由内错角相等，两直线平行，得AB∥DG，最后根据两直线平行，同位角相等可得∠GDC=∠B.
17．；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行
18．同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ
19．同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
20．证明：∵，，∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查平行线的判定与性质，根据，，得到，证得，结合，得到，结合内错角相等，两直线平行，证得，再由两直线平行，同位角相等，即可证得．
21．；两直线平行，内错角相等；；；；；垂直的定义；
22．（1）ON⊥CD．（2）60°．
23．1；2；两直线平行，内错角相等；2；3；两直线平行，同位角相等；1；3；等量代换．
24．两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行；；垂直的定义．
25．垂线的定义；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；
26．1；1；同角的补角相等；3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
27．角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行
28．同位角相等；内错角相等；90；90；同位角相等
29．；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行；；对顶角相等；等量代换
30．垂直定义；AC∥EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
31．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
32．（1）证明：，
．
，
∠A=∠BFD．
．
（2）解：，
．
，
．
，，
．
（1）根据二直线平行，同位角相等，可得，结合已知推出∠A=∠BFD，从而由同位角相等，两直线平行，即可得出结论；
（2）根据二直线平行，同位角相等，可得，，再由平角的定义及已知可求出答案.
33．证明：∵∠A=∠D∴DE∥AB
∵∠B=∠BCF
∴AB∥CF
∴DE∥CF
本题考查了平行线的判定方法，由∠D=∠A，∠B=∠FCB，利用内错角相等两直线平行可，得到ED∥AB，AB∥CF，再由平行于同一条直线的两直线平行，得到ED∥CF，即可得证．
34．证明：
（两直线平行，内错角相等）
平分
又
．（同位角相等，两直线平行）
35．垂线的定义；；两直线平行，内错角相等；
36．（1）
（2）
37．（1）垂直的定义；等式的性质；；内错角相等，两直线平行；（2）对顶角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行．
38．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
又∵平分，
∴
∵，
∴．
（1）先根据同位角相等，两直线平行得到，可以得到，再根据等量代换得到即可得到结论；
（2）根据角平分线定义得到，然后再根据两直线平行，同位角相等解题．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
又∵平分，
∴
∵，
∴．
39．两直线平行，内错角相等；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同旁内角互补．
40．（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长和反向延长相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（1）过点E作，得到，得出，结合，即可求解；
（2）过点E作，得到，得出，结合，即可求解；
（3）延长和反向延长相交于点G，由，得到，根据，得到，结合同位角相等，两直线平行，证得，再根据平行线性质，即可证得，
（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长和反向延长相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
41．（1）解：，理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴.
∵∠BAC=2∠CAD，，
∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠EAD=5∠CAD.
∴∠CAD=23°，∠EAD=46°.
∵，
∴∠D=∠EAD=46°.
（1）根据角的和差关系得到，再根据平行线性质得，即可解答；
（2）由平行线的性质求得∠BAE的度数，由根据角的和差关系得 ∠BAC=2∠CAD，，即可求出∠CAD，最后再根据平行线的性质即可得到∠D的度数．
42．已知；；角平分线的定义；；等量代换；；；同位角相等，两直线平行
43．；两直线平行，同旁内角互补；；；；内错角相等，两直线平行
44．CD；同旁内角互补，两直线平行；∠AEF；两直线平行，内错角相等；∠EFH；GE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．