3.4 一元一次不等式的应用 教案
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3.4 一元一次不等式的应用
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第三章第四节《一元一次不等式的应用》中的内容，它是“一元一次不等式”单元的核心内容，教材通过生活实例引导学生从实际问题抽象数学关系，强调“实际问题→数学建模→求解验证”的思维过程。且教材注重关键词（如“至少”“不超过”）的转化及解的合理性检验，突出数学生活化与建模能力的培养。
二、学情分析
七年级学生已掌握一元一次方程的应用，具备初步代数思维，但首次系统接触不等式应用，易混淆等式与不等式的逻辑差异，尤其在处理不等号方向变化（如乘负数）、隐含条件提取（如整数解、非负性）时存在困难，需通过生活化案例（如路线选择）降低抽象性，激发兴趣。
三、教学目标
1.能根据实际问题中的不等关系建立一元一次不等式模型，并求解、验证解的合理性。
2.经历“实际问题→抽象建模→求解检验”的全过程，提升数学建模能力。
3.体会数学在决策优化中的作用，养成严谨的思维习惯。
四、重点难点
重点：从实际问题中提取不等关系，建立不等式模型。
难点：隐含条件的挖掘（如边界值处理）、解集的实际意义检验（如整数解取舍）。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
解一元一次不等式的一般步骤:
1.去分母（不等式的基本性质2或3）
2.去括号（乘法对加法的分配律）
3.移项（不等式的基本性质1）
4.合并同类项
5.化系数为1（不等式的基本性质2或3）
二、新知探究
【思考】
一个人坐着时,不宜提举过重的重物,以免受伤.若小明坐着时,最多只能提举4.5kg的重物,现桌上有两本各重1.2kg的画册和一批每本重0.4kg的记事本.如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本,他最多只能搬动多少本记事本
问题1：题目中有哪些关键信息，你能找到其中所蕴含的不等量关系吗？
问题2：你能根据你找到的不等关系列出不等式吗？
问题3：你能解出你所列出的不等式吗？你能根据你的解集给出最后的答案吗？
分析：最多只能提举4.5kg的重物画册的总重量+记事本的总重量≤4.5kg.
两本各重1.2kg的画册和一批每本重0.4kg的记事本1.2×2+0.4×记事本的数量≤4.5kg.
解：设小明最多能搬动x本记事本，
由题意得1.2×2+0.4×x≤ 4. 5.
解得 x≤5. 25.
∵记事本的数目必须是整数，
∴x的最大值为5.
答：小明最多只能搬动5本记事本.
注意：解不等式的过程在草稿本上进行
三、例题探究
例1 一种电子琴的进价为每台1800元,如果商店按标价的八折出售所得利润不低于售价的10%,那么每台电子琴的标价至少是多少元
问题1：题目中有哪些关键信息，你能找到其中所蕴含的不等量关系吗？
问题2：什么是利润，售价和标价有什么关系？
问题3：应该设什么为未知数？你能根据你找到的不等关系列出不等式吗？
问题4：你能解出你所列出的不等式吗？你能根据你的解集给出最后的答案吗？
分析：所得利润不低于售价的10%售价-进价≥售价的10%
进价为每台1800元且按标价的八折出售80%×标价-1800≥10%× 80%×标价
解：设每台电子琴的标价为x元，那么售出一台电子琴所得的利润不低于(10%×80%x)元.
根据题意，得80%x-1800≥10%× 80%x.
解这个不等式，得x≥ 2500.
答：每台电子琴的标价至少是2500元.
例2 为增强自身体魄，小华等几名同学只要条件允许几乎每个星期天都去登山，一般是上午7点出发，到达山顶后休息2h，下午不超过4点回到出发点，如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶？（图中7km，8km，11km，13km表示出发点到山顶的路程）.
问题1：题目中有哪些关键信息，你能找到其中所蕴含的不等量关系吗？
问题2：时间与速度有什么关系？应该设什么为未知数？你能根据你找到的不等关系列出不等式吗？
问题3：你能解出你所列出的不等式吗？你能根据你的解集给出最后的答案吗？
分析：下午不超过4点回到出发点去时所花时间+休息时间+回来所花时间≤限定的总时间.
上午7点出发，到达山顶后休息2h、去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h+2+ ≤16-7
解：设从出发点到山顶的距离为x km，则他们去时所花时间为 h，回来所花时间为 h.
由题意得 +2+ ≤ 9.
解得x≤12.
答：小华他们最远能登上山顶Ⅳ.
【议一议】
用流程图表示运用一元一次不等式解决实际问题的步骤，并与同学交流结果.
四、课堂小结
一般步骤
步骤 注意事项
审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系 抓住题目中的关键字眼，如“大于” “小于” “不等于”“不小于” “至少” “超过”等
设 设出适当的未知数 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现
列 根据题中的不等关系列出不等式 单位要统一
解 解不等式，求出其解集 不等号方向及符号等不要出错
验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意 一是满足不等式； 二是符合实际意义
答 写出答案 应把表示不等关系的文字补上
五、课堂练习
行程、工程问题
1.爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是90 m（人员要撤到距爆破点90 m及以外的地方）. 已知导火线长120 cm，且导火线的燃烧速度是8 cm/s. 假设爆破员从爆破点开始撤离，为了确保安全，爆破员的撤离速度至少为________m/s.
积分问题
2.某校举行防溺水知识竞赛,共有20道抢答题,答对一题得5分,答错或不答扣3分,要使总得分不少于90分,则至少应该答对几道题 设答对x道题,则可列不等式( )
A.5x-3(20-x)>90 B.5x-3(20-x)≤90 C.5x-3x≥90 D.5x-3(20-x)≥90
销售问题
3.某业主贷款2.2万元购进一台机器,生产某种产品.已知产品的成本是每个5元,售价是每个8元,应付的税款和其他费用是售价的10%,若每个月能生产、销售2 000个产品,则至少几个月后能赚回这台机器的贷款 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
和差倍分问题
4.某商店销售一批荧光笔,第一天以每支5元的价格售出20支,从第二天起开始降价,以每支4元的价格将这批荧光笔全部售出,最终的销售总额不低于1220元.这批荧光笔至少有多少支
方案设计问题
5.某校在植树节（3月12日）这一天购买甲、乙两种树苗对校园进行绿化改造，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且购买乙种树苗的棵数比甲种树苗棵数的2倍多30.
（1）若购买两种树苗的总费用不超过3 400元，则最多可以购买甲种树苗多少棵？
（2）为保证绿化效果，学校决定再购买甲、乙两种树苗共24棵（两种树苗都要买），总费用不超过500元，有哪几种购买方案？
六、作业布置
课堂作业：P73 T1、2
家庭作业：《学法》P47-48 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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3.4 一元一次不等式的应用
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第三章第四节《一元一次不等式的应用》中的内容，它是“一元一次不等式”单元的核心内容，教材通过生活实例引导学生从实际问题抽象数学关系，强调“实际问题→数学建模→求解验证”的思维过程。且教材注重关键词（如“至少”“不超过”）的转化及解的合理性检验，突出数学生活化与建模能力的培养。
二、学情分析
七年级学生已掌握一元一次方程的应用，具备初步代数思维，但首次系统接触不等式应用，易混淆等式与不等式的逻辑差异，尤其在处理不等号方向变化（如乘负数）、隐含条件提取（如整数解、非负性）时存在困难，需通过生活化案例（如路线选择）降低抽象性，激发兴趣。
三、教学目标
1.能根据实际问题中的不等关系建立一元一次不等式模型，并求解、验证解的合理性。
2.经历“实际问题→抽象建模→求解检验”的全过程，提升数学建模能力。
3.体会数学在决策优化中的作用，养成严谨的思维习惯。
四、重点难点
重点：从实际问题中提取不等关系，建立不等式模型。
难点：隐含条件的挖掘（如边界值处理）、解集的实际意义检验（如整数解取舍）。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
解一元一次不等式的一般步骤:
1.去分母（不等式的基本性质2或3）
2.去括号（乘法对加法的分配律）
3.移项（不等式的基本性质1）
4.合并同类项
5.化系数为1（不等式的基本性质2或3）
二、新知探究
【思考】
一个人坐着时,不宜提举过重的重物,以免受伤.若小明坐着时,最多只能提举4.5kg的重物,现桌上有两本各重1.2kg的画册和一批每本重0.4kg的记事本.如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本,他最多只能搬动多少本记事本
问题1：题目中有哪些关键信息，你能找到其中所蕴含的不等量关系吗？
问题2：你能根据你找到的不等关系列出不等式吗？
问题3：你能解出你所列出的不等式吗？你能根据你的解集给出最后的答案吗？
分析：最多只能提举4.5kg的重物画册的总重量+记事本的总重量≤4.5kg.
两本各重1.2kg的画册和一批每本重0.4kg的记事本1.2×2+0.4×记事本的数量≤4.5kg.
解：设小明最多能搬动x本记事本，
由题意得1.2×2+0.4×x≤ 4. 5.
解得 x≤5. 25.
∵记事本的数目必须是整数，
∴x的最大值为5.
答：小明最多只能搬动5本记事本.
注意：解不等式的过程在草稿本上进行
三、例题探究
例1 一种电子琴的进价为每台1800元,如果商店按标价的八折出售所得利润不低于售价的10%,那么每台电子琴的标价至少是多少元
问题1：题目中有哪些关键信息，你能找到其中所蕴含的不等量关系吗？
问题2：什么是利润，售价和标价有什么关系？
问题3：应该设什么为未知数？你能根据你找到的不等关系列出不等式吗？
问题4：你能解出你所列出的不等式吗？你能根据你的解集给出最后的答案吗？
分析：所得利润不低于售价的10%售价-进价≥售价的10%
进价为每台1800元且按标价的八折出售80%×标价-1800≥10%× 80%×标价
解：设每台电子琴的标价为x元，那么售出一台电子琴所得的利润不低于(10%×80%x)元.
根据题意，得80%x-1800≥10%× 80%x.
解这个不等式，得x≥ 2500.
答：每台电子琴的标价至少是2500元.
例2 为增强自身体魄，小华等几名同学只要条件允许几乎每个星期天都去登山，一般是上午7点出发，到达山顶后休息2h，下午不超过4点回到出发点，如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶？（图中7km，8km，11km，13km表示出发点到山顶的路程）.
问题1：题目中有哪些关键信息，你能找到其中所蕴含的不等量关系吗？
问题2：时间与速度有什么关系？应该设什么为未知数？你能根据你找到的不等关系列出不等式吗？
问题3：你能解出你所列出的不等式吗？你能根据你的解集给出最后的答案吗？
分析：下午不超过4点回到出发点去时所花时间+休息时间+回来所花时间≤限定的总时间.
上午7点出发，到达山顶后休息2h、去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h+2+ ≤16-7
解：设从出发点到山顶的距离为x km，则他们去时所花时间为 h，回来所花时间为 h.
由题意得 +2+ ≤ 9.
解得x≤12.
答：小华他们最远能登上山顶Ⅳ.
【议一议】
用流程图表示运用一元一次不等式解决实际问题的步骤，并与同学交流结果.
四、课堂小结
一般步骤
步骤 注意事项
审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系 抓住题目中的关键字眼，如“大于” “小于” “不等于”“不小于” “至少” “超过”等
设 设出适当的未知数 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现
列 根据题中的不等关系列出不等式 单位要统一
解 解不等式，求出其解集 不等号方向及符号等不要出错
验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意 一是满足不等式； 二是符合实际意义
答 写出答案 应把表示不等关系的文字补上
五、课堂练习
行程、工程问题
1.爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是90 m（人员要撤到距爆破点90 m及以外的地方）. 已知导火线长120 cm，且导火线的燃烧速度是8 cm/s. 假设爆破员从爆破点开始撤离，为了确保安全，爆破员的撤离速度至少为________m/s.
积分问题
2.某校举行防溺水知识竞赛,共有20道抢答题,答对一题得5分,答错或不答扣3分,要使总得分不少于90分,则至少应该答对几道题 设答对x道题,则可列不等式( )
A.5x-3(20-x)>90 B.5x-3(20-x)≤90 C.5x-3x≥90 D.5x-3(20-x)≥90
销售问题
3.某业主贷款2.2万元购进一台机器,生产某种产品.已知产品的成本是每个5元,售价是每个8元,应付的税款和其他费用是售价的10%,若每个月能生产、销售2 000个产品,则至少几个月后能赚回这台机器的贷款 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
和差倍分问题
4.某商店销售一批荧光笔,第一天以每支5元的价格售出20支,从第二天起开始降价,以每支4元的价格将这批荧光笔全部售出,最终的销售总额不低于1220元.这批荧光笔至少有多少支
方案设计问题
5.某校在植树节（3月12日）这一天购买甲、乙两种树苗对校园进行绿化改造，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且购买乙种树苗的棵数比甲种树苗棵数的2倍多30.
（1）若购买两种树苗的总费用不超过3 400元，则最多可以购买甲种树苗多少棵？
（2）为保证绿化效果，学校决定再购买甲、乙两种树苗共24棵（两种树苗都要买），总费用不超过500元，有哪几种购买方案？
六、作业布置
课堂作业：P73 T1、2
家庭作业：《学法》P47-48 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做）
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