第十八章 平行四边形（8类压轴题专练）
答案全解全析
考点一 矩形中的折叠问题
例题:如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，，______．
【答案】3
【分析】由折叠可知，，再由，得到，即可得到，于是得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，即可求解；
【详解】解：由折叠可知，，
，
，
，
，
，
．
设，则，，
在中，由勾股定理得：即，
解得：，
．
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．
变式训练
1．如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则_______度．
【答案】37
【分析】由折叠的性质得：，求出，可得到，求出，求出，由等腰三角形的性质求出，即可得出的度数．
【详解】解：四边形是长方形，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出的度数是解题的关键．
2．长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．
【答案】或3
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．
【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：
当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，
在中，，
∴，
∵∠B沿折叠，使点B落在点F处，
∴，
当为直角三角形时，只能得到，
∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，
∴，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴
解得： ；
②当点F落在边上时，如答图2所示．
此时为正方形，
∴．
故答案为：或3；
【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
3．如图，长方形纸片中，，，点、分别在边和边上，连接，将纸片沿折叠．
(1)如图（1），若点落在边的延长线上的点处，求证：；
(2)如图（2），若点落在边的中点处，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质得出，则可得出结论；
（2）设，由勾股定理得出，求出即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
将纸片沿折叠，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，
是的中点，
，
由折叠的性质可知：，
设，
，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
考点二 菱形中的折叠问题
例题：如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．
（1）∠DEF＝________；
（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．
【答案】 90° 2.8
【分析】（1）由折叠得∠，再根据平角的定义可得结论；
（2）首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解由折叠得，∠
∴∠
∵∠
∴∠
即∠
故答案为：90°；
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴ADBC，DCAB，
∴
∵∠A=120°
∴
∵点E为AB的中点，且AB=2
∴
∵点A与点G重合，
∴
∵点B与点H重合
∴
又
∴
∴点G与点H重合
∵∠
∴三点在同一条直线上
过点D作，交BC的延长线于点O，如图，
∵DCAB
∴∠
∴∠
∴
在中，
由折叠得，，
设，则
∴，
在中，
∴
解得，
∴
故答案为2.8
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
变式训练
1．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作于，
由折叠的性质可知，，
由题意得，，
四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
，
设，则，
在中，，，
在中，，即，
解得，，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，F为边上一点，将沿折叠，点C恰好落在延长线上的点E处，连接交于点G，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得CF=EF，DF⊥BC，代入相关数据可得CF=5，BC=7，由菱形的性质得DC=7，最后根据勾股定理可得DF的长．
【详解】解：由折叠得，CF=EF，DF⊥BC，
∵BE=3，BF=2
∴EF=BE+BF=3+2=5
∴CF=5
∴BC=BF+FC=2+5=7
∵四边形ABCD是菱形
∴DC=BC=7
在Rt△DFC中，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，根据折叠的性质得到CF=EF，DF⊥BC是解答本题的关键．
3．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG．
(1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由．
(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，FE=CE，根据FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，从而∠FGE=∠BEF，FG=FE，故FG=EC，四边形CEFG是平行四边形，即可得证；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF的长，可得DF=1，设EF=x，则CE=x，DE=3-x，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程可解得CE，在Rt△BCE中，即可求出答案．
【详解】（1）证明：（1）∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，
∴△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠BEC，
∴∠FGE=∠BEF，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AD=10，
∴BC=10，
∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=10，
在Rt△ABF中，AB=6，AF==8，
∴DF=AD-AF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，
∴22+（6-x）2=x2，解得x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
考点三 正方形中的折叠问题
例题：如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得，，再由折叠可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
由折叠得：
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
变式训练
1．如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．
【答案】67.5
【分析】根据正方形的性质求出，再根据折叠的性质得，进而根据等腰三角形的性质得出答案．
【详解】∵四边形为正方形，
∴，，平分，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∴．
故答案为：67.5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．
2．如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．
【答案】或
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质证明，进而得到，由G是的中点，得到，设，则，，在中由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，
由折叠得：，，
∵在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，G是的中点，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中是解决此类问题常用的方法．
3．如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析，②线段的长为2
【分析】（1）由正方形的性质可得．，由折叠的性质得出，，，再求出，，然后由“”证明，由全等三角形对应角相等得出，得出即可；
（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得，，再由三角形的外角性质得出，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
②设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
【详解】（1）证明：如图1：∵四边形是正方形，
．，
沿折叠得到，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2所示：
沿折叠得到，为的中点，
，，
，
，
，
，
即，
；
②解：设，则，，
正方形边长为6，为的中点，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
即线段的长为2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
考点四 矩形、菱形、正方形中旋转问题
例题：如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．
(1)求证：：
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由旋转矩形可得，，再根据斜边为公共边，利用“”可证得结论；
（2）由可知，由旋转矩形可知，即可求得的长度．
【详解】（1）证明：∵旋转矩形得到矩形，
∴，，
在和中，
，．
∴．
（2）解：由可得，
∵旋转矩形得到矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明，利用矩形和旋转性质求解．
变式训练
1．如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．
【答案】
【分析】连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，然后根据旋转的性质和勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
，
∵矩形，，
∴，，
∴，
∵将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
2．如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．
【答案】
【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．
【详解】如图，交于点，连接
根据题意得：，
∵
∴
∴
∵正方形绕点顺时针旋转到
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
故答案为：．
【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质．
3．如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】或
【分析】连接相交于O，与相交于E，根据菱形的性质先求出，根据菱形的性质和旋转可得，三点共线，再求出，最后根据，即可得答案．
【详解】解：如下图，连接相交于O，与相交于E，
四边形是菱形，，
∴∠CAB=30°，AC⊥BD，，
，
∴，
，
菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴∠D′AB=30°，AD=AD′=2，
∴A，D′，C三点共线，
∴CD′=CA-AD′=2-2，
，
∴∠D′EC=360°-120°-120°-30°=90°，
，
∴D′E=-1，CE=D′E=3-，
S△D′EC，
×2×1-×（-1）×（3-）=3-，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
4．综合与实践
【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．
(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是____，位置关系是_____．
(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．
【答案】(1)，
(2)（1）中的结论成立，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由正方形性质可以得到与相等且垂直；
（2）由可证，可得，，由余角的性质可证；
（3）由（2）问结论连接，表示出三边即可利用勾股定理列方程解题．
【详解】（1）∵四边形和均为正方形，
∴，
∴，
即，
∴与的数量关系是相等；位置关系是垂直
故答案为：相等；垂直
（2）（1）中结论成立，理由如下：
设交于O，于N，
∵四边形和均为正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，
∵，
∴，
∴,，
由（2）可得：，
∴在中，，
则，
∴
解方程得：，
∴，
即线段的长度为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
考点五 矩形、菱形、正方形中求定值问题
例题：如图，在矩形中，，，是上异于和的任意一点，且于，于，则为_____．
【答案】或2.4
【分析】根据矩形的性质，，，可求出矩形的面积，的长，由此可知的面积，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，设与相交于点，连接，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等面积法求高，掌握矩形的性质，三角形的等面积法求高是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（ ）
A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值
【答案】D
【分析】连接，过点作，利用，即可得解．
【详解】解：连接，过点作，交于点，
∵在矩形中，，，
∴，
∵
即：，
∴；
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质和勾股定理以及等积法求线段．熟练掌握矩形的性质，以及等积法求线段的长度是解题的关键．
2．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______
【答案】
【分析】首先利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接，如图，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴，
∴S△ABD，
∴S△ABD，
而，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角．也考查了三角形的面积公式．
3．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是定值，
【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形；
（2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值．
【详解】（1）解：如图所示，过作于点，过作于点，
四边形为正方形，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
，即，
是正方形对角线的点，
，
在和中，
，
，
，
矩形为正方形．
（2）的值为定值，
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等．
考点六 矩形、菱形、正方形中求最小值问题
例题：如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】A
【分析】连接交于P点，根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长，求出的长即可.
【详解】连接，交于P点
∵四边形为正方形
∴A点和C点关于对称
根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长.
∵，
∴的最小值为5
故选：A
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.
变式训练
1．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．不能确定
【答案】A
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．
【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，AB=BC，
即Q在AB上，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵MQ⊥BD，
∴，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴，
∴，
而点Q是AB的中点，
故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，
同理可得，PM是△ABC的中位线，
故点P是AC的中点，
即点P是菱形ABCD对角线的交点，
∵四边形ABCD是菱形，
则△BPC为直角三角形，
∴CP＝ AC＝3，BP＝ BD＝4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，
即NQ＝5，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
2．△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在点P运动的过程中，EF的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再由垂线段最短的性质得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，然后由勾股定理求出BC，最后由面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝，AC＝1，BC＝2，
∴，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
根据垂线段最短可知，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
此时
即，
解得：
∴EF的最小值为，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积等知识；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键，属于中考常考题型．
3．如图，在正方形中，边长，点Q是边的中点，点P是线段上的动点，则的最小值为 _____．
【答案】
【分析】先连接，连接、，再根据正方形的对称性得，进而得出的最小值，然后根据勾股定理求出解即可.
【详解】解：连接，交于点P，连接、．
∵四边形是正方形，
∴点B与点D关于对称，
∴，
∴．
∵，点Q是边的中点，
∴，，
在中，，
∴的最小值为．
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等，得出点P的位置是解题的关键．
考点七 矩形、菱形、正方形中求最大值问题
例题：矩形中，，，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接．则的最大值是 ___________．
【答案】或
【分析】取的中点M，连接，当成一条直线时，有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案．
【详解】解：取的中点M，连接，当成一条直线时，有最大值，
在中，，
在中，，
∴的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形三边关系、直角三角形斜边上中线的性质，读懂题意，得出当成一条直线时，有最大值是解本题的关键．
变式训练
1．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（ ）
A．6 B．11 C． D．
【答案】D
【分析】如图将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，得出是等腰直角三角形，推出，当的值最大时，的值最大，根据三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．
【详解】解：如图，
将绕点顺时针旋转得到，
由旋转不变性可知：，，，
是等腰直角三角形，
，
当的值最大时，的值最大，
，
，
的最大值为11，
的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为____．
【答案】2
【分析】作点关于的对称点，连接，从而可得，再根据菱形的性质、等边三角形的判定证出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
如图，作点关于的对称点，连接，
则，
，当且仅当共线时，等号成立，
，，
，
是等边三角形，
，
即的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
3．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）计算： =________；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是____________．
【答案】 6
【分析】（1）连接AC，证明，从而得到：，即可求出；
（2）利用，可以推出四边形AECF的面积等于△ABC的面积，利用△CEF的面积等于△ABC的面积减去△AEF的面积，当△AEF的面积面积最小时，即可求出△CEF的面积．
【详解】解：（1）连接，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵△AEF为等边三角形，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
∴；
故答案为：6．
（2）∵
∴四边形AECF的面积=，
∴，
∴当最小时，最大，
根据垂线段最短，当时，最短，此时最小，
∵为等边三角形，
∴当时，，
，
∴，
同理可求：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质．解题的关键是连接菱形的对角线，构造全等三角形．
考点八 矩形、菱形、正方形中点四边形问题
例题：如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（ ）
A．当四边形是矩形时，四边形是菱形
B．当四边形是菱形时，四边形是矩形
C．当四边形满足时，四边形是菱形
D．当四边形满足，时，四边形是矩形
【答案】C
【分析】先证四边形EFGH是平行四边形；再根据选项条件结合矩形、菱形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：，分别是，的中点，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，分别是，的中点，、分别是、中点，
，，
当四边形是矩形时，，
，
四边形是菱形，故A正确，不符合题意；
当四边形是菱形时，，
，，
，
四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
当四边形满足时，不能证明四边形是菱形，故C错误，符合题意；
当四边形满足，时，
∵，，
∴AC是BD的垂直平分线，即
∵，
∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°
∴四边形是矩形，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键
变式训练
1．四边形的对角线，交于点，点，，，分别为边，，，的中点．有下列四个推断：
①对于任意四边形，四边形都是平行四边形；
②若四边形是平行四边形，则与交于点；
③若四边形是矩形，则四边形也是矩形；
④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形．
所有正确推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】点分别为边的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，正确；
若四边形是平行四边形，
∴,
∵分别为的中点，
∴
∴四边形是平行四边形，
由（1）可得四边形是平行四边形，
与互相平分，
的中点就是的中点，
则与交于点正确；
若四边形是矩形，则，
，
四边形是菱形，不是矩形；不正确；
四边形中，若，
则四边形是正方形，
若四边形是正方形，则四边形不一定是正方形，不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、正方形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
2．如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，依次连接，，，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
【答案】（1）见解析；（2）当AB=CD时，EF⊥GH，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可证得；
（2）根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG=CD，FG∥CD．HE=CD，HE∥CD．
∴FG=EH，FG∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：当AB=CD时，EF⊥GH，
理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
当AB=CD时，EH=CD，EG=AB，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是______．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．
【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形
【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH∥FG，EH=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）证明△APC≌△BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；
（3）证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质证明∠EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．
【详解】解：（1）如图1，连接BD，
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）结论：四边形EFGH是菱形，
理由：如图2，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD，
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∴EF=FG，
由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（3）结论：四边形EFGH是正方形，
理由：如图2，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠DOC=90°，
由（2）知中点四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．
第 页 共 页第十八章 平行四边形（8类压轴题专练）
考点一 矩形中的折叠问题
例题：如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，，______．
变式训练
1．如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则_度．
2．长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．
3．如图，长方形纸片中，，，点、分别在边和边上，连接，将纸片沿折叠．
(1)如图（1），若点落在边的延长线上的点处，求证：；
(2)如图（2），若点落在边的中点处，求的长．
考点二 菱形中的折叠问题
例题：如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．
（1）∠DEF＝________；
（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．
变式训练
1．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为______．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，F为边上一点，将沿折叠，点C恰好落在延长线上的点E处，连接交于点G，若，，则的长为______．
3．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG．
(1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由．
(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．
考点三 正方形中的折叠问题
例题：如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1．如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．
2．如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．
3．如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．
考点四 矩形、菱形、正方形中旋转问题
例题：如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．
(1)求证：：
(2)若，求的长．
变式训练
1．如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．
2．如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．
3．如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．
4．综合与实践
【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．
(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是____，位置关系是_____．
(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．
考点五 矩形、菱形、正方形中求定值问题
例题：如图，在矩形中，，，是上异于和的任意一点，且于，于，则为_____．
变式训练
1．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（ ）
A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值
2．如图，菱形的周长为20，面积为24，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______
3．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
考点六 矩形、菱形、正方形中求最小值问题
例题：如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．10
变式训练
1．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．不能确定
2．△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在点P运动的过程中，EF的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，在正方形中，边长，点Q是边的中点，点P是线段上的动点，则的最小值为 _____．
考点七 矩形、菱形、正方形中求最大值问题
例题：矩形中，，，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接．则的最大值是 ___________．
变式训练
1．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（ ）
A．6 B．11 C． D．
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为____．
3．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）计算： =________；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是____________．
考点八 矩形、菱形、正方形中点四边形问题
例题：如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（ ）
A．当四边形是矩形时，四边形是菱形
B．当四边形是菱形时，四边形是矩形
C．当四边形满足时，四边形是菱形
D．当四边形满足，时，四边形是矩形
变式训练
1．四边形的对角线，交于点，点，，，分别为边，，，的中点．有下列四个推断：
①对于任意四边形，四边形都是平行四边形；
②若四边形是平行四边形，则与交于点；
③若四边形是矩形，则四边形也是矩形；
④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形．
所有正确推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
2．如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，依次连接，，，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是______．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．
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