中考数学复习专项突破重难题型八 课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
重难题型八　二次函数与几何综合
——三阶　综合提升练
类型一：二次函数与线段问题
1．(2024·临夏州节选)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C，作直线BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是线段BC上方的抛物线上一动点，
过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ
是否存在最大值？若存在，请求出最大值及
此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
解：(1)由题意知
y＝－（x+1)(x-3)，
∴y＝－x2＋2x＋3.
2．如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰Rt△ABC底边BC上的高，抛物线y＝a(x－2)2＋4的顶点为点A，且经过B，C两点，B，C两点在x轴上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图②，E为抛物线上位于
直线AC上方的一点，过点E作
EN⊥x轴交直线AC于点N，求
线段EN的长的最大值及此时点E的坐标；
(3)如图②，M(5，b)是抛物线上的一点，P为对称轴上一动点，在(2)的条件下，当线段EN的长度最大时，求PE＋PM的最小值．



类型二：二次函数与面积问题
5．(2024·西吉县模拟)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A, B两点，其中点 A坐标为(－3，0)，与y轴交于点C，点D(－2，－3)在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，
求出PA＋PD的最小值；
(3)若抛物线上有一动点E，使△ABE的面积为6，
求点E坐标．
6．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为线段BC上的一动点(不与B，C重合)，
PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，
当△BCM的面积最大时，求点P 的坐标．
7．(2024·凉山州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于
A(－2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点M，使△ABM的
面积等于△ABC面积的一半？若存在，
请直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
8．(2024·惠农区模拟)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.P是抛物线上任意一点，连接PA，PC.
(1)求这个抛物线与直线AC的解析式；
(2)如图，过P，B作直线BP，交直线AC于点Q，
是否存在一点P，使得S△PQC∶S△BQC＝1∶2，若
存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，
请说明理由．

类型三：二次函数与特殊三角形问题
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴分别交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，
△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形
时，求点Q的坐标．
10．(2024·达州节选)如图，抛物线y＝ax2＋kx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，
是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰
三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的
坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过P(4，
－3)，与y轴交于点A(0，1)，直线y＝kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
类型四：二次函数与特殊四边形问题
13．(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴 交于点B，且关于直线x＝1对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，
过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上
是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的
四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；
若不存在，说明理由．



16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(3，0)，B(0，－3)两点，P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交x轴于点N.
(1)分别求直线AB和这条抛物线的解析式；
(2)C是平面直角坐标系中的一点，当点M在
第四象限时，是否存在这样的点M，使得以
A，C，B，M为顶点组成的以AB为边的矩形？
若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)直线AB的解析式为y＝x－3，抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)存在．设M(m，m2－2m－3)，AB2＝18，
AM2＝(m－3)2＋(m2－2m－3)2，BM2＝m2＋(m2－2m)2，
①当AB2＋AM2＝BM2时，
即18＋(m－3)2＋(m2－2m－3)2＝m2＋(m2－2m)2，∴m2－m－6＝0，
解得m＝－2或m＝3(舍去)，∴M(－2，5)(不在第四象限，舍去)；
②AB2＋BM2＝AM2时，即18＋m2＋(m2－2m)2＝(m－3)2＋(m2－2m－3)2，整理得m2－m＝0，而m≠0，∴m＝1，∴M(1，－4)，
∵四边形ABMC是矩形，∴C(4，－1)．综上所述，C(4，－1)．
类型五：二次函数与角度问题
17．(2024·海南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋4经过点A(－4，0)，B(1，0)，交y轴于点C(0，4)，P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)当点P的坐标为(－2，6)时，
求四边形AOCP的面积；
(3)当∠PBA＝45°时，求点P的坐标．
解：(1)抛物线的函数解析式为y＝－x2－3x＋4.
(2)由点A，C的坐标得直线AC的解析式为y＝x＋4，连接AC，
过点P作PH∥y轴交AC于点H(－2，2)，则PH＝6－2＝4，
∴S四边形AOCP＝S△APC＋S△AOC＝16.
(3)当∠PBA＝45°时，则直线BP的解析式为
y＝±(x－1)，联立上式和抛物线的解析式得
－x2－3x＋4＝x－1或－x＋1＝－x2－3x＋4，
解得x＝－5，－3或1(舍去)．
故点P的坐标为(－5，－6)或(－3，4)．
18．抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接BC，在抛物线上求出点Q，
使∠QAC＋∠OCB＝45°.