2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中几何综合问题（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中几何综合问题
1．如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣3m）与x轴交于点A，点B（点B在点A的右边），交y轴于点C，其中m＞0．
（1）直接写出点B，点C的坐标，及抛物线的对称轴．（用m的代数式表示）
（2）过OB的中点M做x轴垂线交抛物线于点D，交BC于点N，若，求m的值．
2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
3．如图，拋物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）求的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP＝S△ACD，求点P的坐标；
（3）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．
6．如图1，已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值．
（3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点A的坐标为（﹣4，0），AO＝4BO．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，已知该抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）连接AC、BC，求∠ACO的正切值；
（3）已知点P是抛物线上的一点，连接BP，当∠PBC＝∠ACO时，求点P的坐标．
10．如图，二次函数y＝a（x2﹣4mx﹣12m2）（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣6），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，连接FC并延长交x轴的负半轴于点G，判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形的面积是否能为24（+1）m2﹣48m﹣72+24，能则求出m；不能则说明理由．
11．如图，已知直线y＝kx与抛物线y＝mx2+n交于点A、C．
（1）若m＝﹣1，且点A坐标为A（1，2），求抛物线解析式与点C坐标；
（2）如图1，若k＝1，将直线y＝x沿着x轴翻折，在第四象限交抛物线于点P，若，求mn的值；
（3）如图2，已知抛物线与直线解析式分别为y＝与y＝x，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（t，0）是x轴正半轴上的动点，记S△AEB＝S1，S△EOD＝S2，OE＝s，OD＝t，当满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD的E点有两个时，求S1 S2﹣（S1+）+的最小值，并求出此时E的坐标．
12．定义：若同一函数图象上存在A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点，满足y2﹣y1＝y3﹣y2，则称ABC三点为等差点，称B为AC的等差中心．
（1）A（2，y1）、B（3，y2）、C（4，y3）是否为一次函数y＝kx+2的图象上以B为等差中心的等差点？判断并说明理由；
（2）若双曲线y＝上存在以B为等差中心A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）的三点，其中A（x1，y1）、C（x3，y3）为反比例函数与一次函数y＝nx+3的交点，若B到原点的距离为，求m的值与n的取值范围；
（3）若直线y＝x与抛物线y＝ax2﹣2ax+b（b＞2）交于A（x1，y1）、C（x3，y3），且满足0＜x2＜x3＜，点B（x2，y2）在直线y＝x上，且为A、C的等差中心．
①证明：2＜x2＜
②设，当s能取得最大值时，求s的最大值的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx﹣8k（k＜0）与x轴，y轴分别交于A、B两点，将直线l沿x轴翻折交y轴于点C，连接AC，过点B作BD⊥AC垂足为点D，并交x轴于点E．
（1）当∠BAO＝30°时，求直线l解析式及点E坐标；
（2）若AB＝2BE，求S△ABC；
（3）在（2）问条件下，构造抛物线y1，y2，其中抛物线y1经过A、B、E三点，其二次项系数为m；抛物线y2＝ax2+bx+c同时满足以下三个条件：①过线段OE中点；②5a+3b+2c＝0；③当≤x≤时，函数y2有最大值m；求a的值．
14.如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
15．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点
（1）若AO＝，求k的值；
（2）若OQ长的最大值为，求k的值；
（3）若过点C的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c＝0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．
16．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足AC条件的长；
（2）如图，点A在以BC为直径的圆上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC＝90°．
①求证：△ABC为比例三角形；
②求的值．
（3）若以点C为顶点的抛物线y＝mx2﹣4mx﹣12m（m＜0）与x轴交于A、B两点，△ABC是比例三角形，若点M（x0，y0）为该抛物线上任意一点，总有n﹣≤﹣my02﹣40y0+298成立，求实数n的最大值．
参考答案
1.【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣3m）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3m，
∴B点坐标为（3m，0），
当x＝0时，y＝﹣（x+1）（x﹣3m）＝﹣1×（﹣3m）＝3m，
∴C点坐标为（0，3m），
∵A（﹣1，0），B（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1＝；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3m，0），C（0，3m）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3m；
∵M点为OB的中点，
∴M（m，0），
∵DM⊥x轴，
∴N（m，m），D（m，m2+m），
∴MN＝m，DN＝m2+m﹣m＝m2，
∵＝，
∴＝，
整理得m2＝1，解得m1＝﹣1（舍去），m2＝1，
∴m的值为1．
2．【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
，
解得：，
∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点P作PE⊥x轴于点E，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内，
∴OE＝﹣x，AE＝3+x，
∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC
＝AE×PE（OC+PE）×OE﹣×OA×OC
＝（3+x）（﹣x2﹣2x+3）+（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）×3×3
＝（x+）2+
∵＜0，
∴S有最大值，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为（，）．
3．【解答】解：（1）设B（xB，yB），
将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
∵点B在x轴上，
∴yB＝0，
将yB＝0代入y＝﹣x2+x+2中，得：﹣xB2+xB+2＝0，
解得：xB1＝4，xB2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴B（4，0）；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝，
∵直线y＝kx+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD＝2﹣1＝1，
∴＝EG，
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（4，0），C（0，2）代入，得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），且0＜t＜4，
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，的值最大，最大值为2，此时点E的坐标为（2，3）；
（3）设直线DE的解析式为y＝kx+b，将D（0，1），E（2，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+1，
设M（n，n+1），
∵B（4，0），D（0，1），
∴BM2＝（4﹣n）2+（0﹣n﹣1）2＝2n2﹣6n+17，
DM2＝（0﹣n）2+（1﹣n﹣1）2＝2n2，
BD2＝42+12＝17，
∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形，
∴分两种情况：BD为边时或BD为对角线，
①当BD为边时，MN＝DM＝BD（如图2）或MN＝BM＝BD（如图3），
∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，
解得：n＝±或n＝0（舍去）或n＝3，
∴M（，）或M（﹣，）或M（3，4），
②如图4，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，），
∵四边形BMDN是菱形，
∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD，
∴QD2+QM2＝DM2，
∴（2﹣0）2+（﹣1）2+（n﹣2）2+（n+1﹣）2＝2n2，
解得：n＝，
∴M（，），
综上所述，点M的坐标为（，）或（﹣，）或（3，4）或（，）．
4．【解答】解：（1）c＝3，点B（3，0），
将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，交CB于点M，
S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，
∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，
由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，
解得：x＝1或2，
故点D（1，4）或（2，3）；
（3）①当点P在x轴上方时，
取OG＝OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，
则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，
设MH＝x，则MG＝，
则△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2，
故MG＝＝，则点M（0，4），
将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BM的表达式为：y＝﹣x+4…②，
联立①②并解得：x＝3（舍去）或，
故点P（，）；
②当点P在x轴下方时，
同理可得：点P（﹣，﹣）；
综上，点P的坐标（，）或（﹣，﹣）．
5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3经过B（1，0），
∴﹣1+b+3＝0，
解得：b＝﹣2，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0，得：y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC解析式为：y＝kx+c，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为：y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
过点D作DG⊥x轴交直线AC于点G，过点P作PH⊥x轴交直线AC于点H，
∴D（﹣1，4），G（﹣1，2），H（m，m+3），
∴DG＝4﹣2＝2，PH＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△ACD＝ DG 3＝×2＝3，S△ACP＝ PH 3＝（﹣m2﹣3m），
∵S△ACP＝S△ACD，
∴（﹣m2﹣3m）＝×3，
解得：m1＝，m2＝，
∴P1（，），P2（，）；
（3）如图2，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），D（﹣1，4），
∴E（0，4），
∴OA＝OC＝3，CE＝DE＝1，
∵∠CED＝∠AOC＝90°，
∴△AOC和△CED都是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝∠DCE＝45°，AC＝OA＝3，CD＝CE＝，
∴∠ACD＝90°，
连接BC，在△COB中，∠BOC＝90°，OB＝1，OC＝3，
∴＝，＝＝，
∴＝，∠BOC＝∠ACD，
∴△COB∽△ACD，
∴点M在O点处时符合题意，即M1（0，0），
过点C作CM2⊥BC交x轴于点M2，
∴∠BCM2＝∠BOC＝90°，
∴∠BCO+∠CBO＝∠BCO+∠OCM2＝90°，
∴∠CBO＝∠OCM2，
∴△CBO∽△OCM2，
∴∠BM2C＝∠BCO，
∵∠COM2＝∠COB＝90°，
∴△M2OC∽△COB，
∴＝＝，
∴OM2＝3OC＝9，
∴M2（﹣9，0），
过点B作BM3⊥BC交y轴于点M3，
∴∠CBM3＝∠COB＝∠BOM3＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝∠CBO+∠OBM3＝90°，
∴∠BCO＝∠OBM3，
∴△BOM3∽△COB，
∴＝＝，
∴OM3＝OB＝，
∴M3（0，﹣），
∵△COB∽△ACD，
∴△M2OC∽△ACD∽△BOM3，
∴点M的坐标为：（0，0）或（﹣9，0）或（0，﹣）．
6．【解答】解：（1）∵y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4）．
（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C'，连接PP'，CC'，
∴BP＝BP'，BC＝BC，∠PBP'＝60°，∠CBC′＝60°，PC＝P'C′，
∴△BPP'和△BCC′为等边三角形，
∴BC′＝BC，PP′＝BP，
当O，P，P'，C′四点共线，OP+BP+CP的值最小，
∴tan∠OBC＝＝＝，
∴∠OBC＝30°，
∴BC＝2OC＝8，
∴BC′＝BC＝8，
∵∠OBC′＝∠OBC+∠CBC′＝30°+60°＝90°，
∴OC′＝＝，
∴OP+BP+CP＝OP+PP'+C'P'＝OC′＝4．
（3）需要分类讨论：
①如图，当CE＝CF，且点F在点C左侧时，过点F作FG⊥CE于点G，则△CFG∽△CAO，
∵OA＝3，OC＝4，
∴AC＝5，
∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5，
设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m，
∴CE＝FC＝5m，
∴GE＝m，OE＝4﹣5m，
∵△FGE∽△DOE，
∴，
∴，
∴m＝，
∴CE＝5m＝；
当点F在点C右侧时，如图所示，过点F作FG⊥y轴于点G，
则△FCG∽△ACO，
∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5，
设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m，
∴CE＝FC＝5m，
∴GE＝9m，OE＝5m﹣4，
∵△FGE∽△DOE，
∴，
∴，解得m＝，
∴CE＝5m＝16；
②如图，当CE＝EF时，过点A作AG∥EF交y轴于点G，由EF＝CE，可得，AG＝CG，
设OG＝m，则AG＝CG＝4﹣m，
∵OA2+OG2＝AG2，
∴32+m2＝（4﹣m）2，解得，m＝．
由A（﹣3，0）和G（0，），可得直线AG的解析式为：y＝x+，
设直线DF为：y＝x+b，将D（4，0）代入得：b＝﹣，
∴E（0，﹣），
∴CE＝4+＝．
③如图，当CF＝EF时，过点C作CG∥DE交x轴于点G，则∠GCO＝∠ACO，
∴OG＝OA＝3，
∴G（3，0），
由G（3，0），C（0，4）可得直线CG的解析式为：y＝﹣x+4，
设直线DE为：y＝﹣x+n，将D（4，0）代入得：n＝，
∴E（0，），
∴CE＝﹣4＝．
故CE的长为：或或或16．
7．【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴抛物线对称轴为x＝1，
∴E（3，0），
设直线AE的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，
如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴＝＝，
∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是．
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，
①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
∴∠PAG＝∠APG＝45°，
∴PG＝AG，
∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），
②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，
∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，
∴，
即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
8．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），且AO＝4BO，
∴OB＝OA＝1，
∴B（1，0）．
把A（﹣4，0）、B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）存在．
由抛物线y＝x2+x﹣3与y轴交于点C，得C（0，﹣3）；
∵以A，C，E，P为顶点的平行四边形以AC为一边，
∴点P到x轴的距离与点C到x轴的距离相等.
如图1，点P在x轴的下方，
则x2+x﹣3＝﹣3，
解得x1＝﹣3，x2＝0（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标为（﹣3，﹣3），
如图2，点P在x轴的上方，
则x2+x﹣3＝3，
解得x1＝，x2＝．
∴点P的坐标为（，3）或（，0）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（，3）或（，0）．
9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）且抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
（2）令抛物线y＝﹣x2+2x+3中，x＝0，则y＝3，
即，C（0，3），在Rt△AOC中，AO＝1，CO＝3，
因此，tan∠ACO＝＝，
（3）如图所示，过点C作MN⊥BC交BP于M、N点，即点P分别位于线段BC的上方或下方，
①当P位于线段BC的上方，过N作y轴垂线交于E点，
∵0C＝BC＝3，
∴BC＝3，
∴△COB为等腰直角三角形，
而MN⊥BC，
∴△COB∽△NEC，
故△NEC也为等腰直角三角形，
∵tan∠ACO＝tan∠NBC＝＝，
∴NC＝，
∴NE＝EC＝1，
故N（1，4），而（1，4）刚好为抛物线顶点坐标，即N与P重合，
∴P（1，4），
②当P位于线段BC的下方，过M作y轴垂线交于F点，
∵tan∠ACO＝tan∠MBC＝＝，
∴MC＝，
而EN∥MF，
∴∠CMF＝45°，即△CMF也为等腰直角三角形，
∵MF＝CF＝1，
∴M（﹣1，2），
而点P'在直线MB上且与抛物线相交，
∴设直线MB的解析式为y＝kx+b，将B、M坐标代入得：
，
解得：，
∴直线MB的解析式为：y＝﹣x+，
联立方程：，
解得：或（舍去），
故P'（﹣，），
综上所述，当∠PBC＝∠ACO时，点P的坐标为（1，4）或（﹣，）．
10．【解答】解：（1）将C（0，﹣6）代入二次函数y＝a（x2﹣4mx﹣12m2），
则﹣6＝a（0﹣0﹣12m2），
解得a＝；
（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由a（x2﹣4mx﹣12m2）＝0，
解得x1＝﹣2m，x2＝6m，
则点A（﹣2m，0），B（6m，0），
∵CD∥AB，
∴点D的坐标为（4m，﹣6），
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM＝∠EAN，
∴∠DMA＝∠ENA＝90°，
∴△ADM∽△AEN，
∴＝＝，
设点E坐标为（x，（ x2﹣4mx﹣12m2）），
∴＝，
∴x＝8m，
∴E（8m，10），
∵AM＝AO+OM＝2m+4m＝6m，AN＝AO+ON＝2m+8m＝10m，
∴＝＝，即为定值．
（3）如图2，记二次函数图象的顶点为F，则F的坐标为（2m，﹣8），过点F作FH⊥x轴于点H，
∵tan∠CGO＝，tan∠FGH＝，
∴＝，即＝，
∴OG＝6m，
∵GF＝＝8，AD＝＝6，
∴＝，
∵＝，
∴AD：GF：AE＝3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形的面积为GF AD＝24（m2+1），
∴24（+1）m2﹣48m﹣72+24＝24（m2+1），
∴m＝3或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝3．
11．【解答】解：（1）∵点A（1，2）在直线y＝kx上
∴k＝2，即直线为y＝2x
∵点A（1，2）在抛物线y＝mx2+n上，m＝﹣1
∴﹣1+n＝2，解得：n＝3
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3
解得：（即点A）
∴点C坐标为（﹣3，﹣6）；
（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N
∴∠OMA＝∠ONP＝90°
∵点A在直线y＝x上，设A（a，a）（a＞0）
∴OM＝AM＝a，∠AOM＝45°
∵点A关于x轴对称点A'（a，﹣a）
∴直线y＝x沿着x轴翻折得到直线OA'解析式为y＝﹣x，∠PON＝∠AOM＝45°
∴△AOM、△PON都是等腰直角三角形
∵
∴
∴ON＝PN＝2a
∴P（2a，﹣2a）
∵点A、P都在抛物线y＝mx2+n
∴
①﹣②消去n后整理得：ma＝﹣1，即a＝﹣
①×4﹣②消去ma2后整理得：n＝2a
∴n＝﹣
∴mn＝﹣2；
（3）过点E作EH⊥x轴于点H
解得：，，
∵点A在第一象限
∴A（1，），OA＝，tan∠AOD＝
∴∠AOD＝60°
∴∠BAE＝∠BED＝∠AOD＝60°
设直线AB与x轴交点为F，则△AOF为等边三角形
∴OF＝OA＝2，F（2，0）
设直线AB解析式为：y＝kx+b
解得：
∴直线AB：y＝﹣x+2
解得：（即点A）
∴点B与点F重合，点B在x轴上
∴OB＝AB＝OA＝2
∵∠BAE＝∠BED，∠BEO＝∠BAE+∠ABE＝∠BED+∠OED
∴∠ABE＝∠OED
∵∠BAE＝∠AOD
∴△ABE∽△OED
∴ 即
∴t＝＝﹣（s﹣1）2+，故0＜t＜；
∵OE＝s，sin∠EOH＝＝
∴EH＝OE＝s
∴S2＝S△EOD＝OD EH＝st＝＝
∵
∴S1＝＝
∴S1 S2﹣（S1+）+＝﹣[+]+＝，
令s（2﹣s）＝u，则原式＝u2﹣u+＝，
∵＞0，
∴当u＝时，S1 S2﹣（S1+）+的最小值为，
此时，s（2﹣s）＝，解得：s1＝，s2＝，
当s＝或时，均满足0＜t＜；
∴当OE＝s1＝时，OH＝cos60°＝，EH＝sin60°＝，
∴E1（，）
当OE＝s2＝时，OH＝cos60°＝，EH＝sin60°＝，
∴E2（，），
综上所述，E的坐标为：E1（，），E2（，）．
12．【解答】解：（1）A（2，y1），B（3，y2），C（4，y3）为一次函数y＝kx+2的图象上以B为等差中心的等差点，理由如下：
∵点A（2，y1），B（3，y2），C（4，y3）为一次函数y＝kx+2的图象上的点，
∴y1＝2k+2，y2＝3k+2，y3＝3k+2．
∵y2﹣y1＝k＝y3﹣y2，
∴A（2，y1），B（3，y2），C（4，y3）为一次函数y＝kx+2的图象上以B为等差中心的等差点．
（2）y1＝，y2＝，y3＝，
∴y2﹣y1＝﹣＝|m|，y3﹣y2＝﹣＝|m|，
∴|m|＝|m|，
∴＝2，
∵A（x1，y1）、C（x3，y3）为反比例函数与一次函数y＝nx+3的交点，
∴，
∴nx2+3x﹣|m|＝0，
∴x1+x3＝﹣，x1x3＝﹣，△＝9+4n|m|＞0，
又因为＝2，
∵2y2＝y1+y3，
∴2y2＝n（x1+x3）+6，
∴2＝n（x1+x3）+6＝﹣3+6＝3，
∴x2＝，
∴y3＝，
∴x2＝，
∴y2＝，
∵B到原点的距离为，
∴m2+＝3，
∴m＝±，
∴△＝9+4n|m|＝9+3n＞0，
∴n＞﹣，
∴n的取值范围n＞﹣且n≠0；
（3）①直线y＝x与抛物线y＝ax2﹣2ax+b（b＞2）交于A（x1，y1）、C（x3，y3），
∴ax2﹣2ax+b＝x，
ax2﹣2ax﹣x+b＝0，
∴x1+x3＝，
又∵点B（x2，y2）在直线y＝x上，且为A、C的等差中心．
∴2y2＝2x2＝，
∴x2＝，
∵0＜x2＜x3＜，
∴＜，
∴0＜a＜，
∴x2＝＝1+＞2，
∴2＜x2＜．
②＝﹣x22+6b+2015＝﹣x22+12ax2+2015＝﹣（x2﹣6a）2+2015+36a2，
∴s能取得最大值，
∴s的最大值为2015+36a2，
∵0＜a＜，
∴2015＜2015+36a2＜2024，
∴s的最大值的取值范围是2015＜2015+36a2＜2024．
13．【解答】解：（1）∵y＝kx﹣8k（k＜0）与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴点A（8，0），点B（0，﹣8k）
∵∠BAO＝30°
∴tan∠BAO＝＝
即＝
∴k＝﹣
即点B（0，），BO＝
∴直线解析式y＝﹣x+
∵将直线l沿x轴翻折交y轴于点C
∴AC＝AB，∠BAO＝∠CAO＝30°
∴∠BAC＝60°
∴△ABC是等边三角形，且BD⊥AC
∴∠CBD＝30°＝∠ABD
∴BO＝OE
∴OE＝
∴点E（，0）
（2）∵翻折
∴∠BAO＝∠CAO，OB＝OC
∵AO⊥BO，BD⊥AC
∴∠OBE+∠BEO＝90°，∠CAO+∠AED＝90°
∴∠OBE＝∠CAO＝∠BAO
且∠AOB＝∠AOB
∴△BOE∽△AOB
∴，且AB＝2BE
∴
∴OB＝4＝OC
∴BC＝OB+OC＝8
∴S△ABC＝×8×8＝32
（3）∵△BOE∽△AOB
∴
∴OE＝2，OB＝4
∴点A（8，0），点B（0，4），点E（2，0）
∵抛物线y1经过A、B、E三点，其二次项系数为m；
∴设y1＝m（x﹣2）（x﹣8）过点B
∴4＝16m
∴m＝
∵点O（0，0），点E（2，0）
∴线段OE的中点（1，0）
∵抛物线y2＝ax2+bx+c过线段OE中点；且5a+3b+2c＝0；
∴
解得：
∴抛物线y2＝ax2+bx+c＝ax2﹣3ax+2a＝a（x﹣1）（x﹣2）
∴对称轴为直线x＝
∵当≤x≤时，函数y2有最大值m；
∴当≤x≤2时，函数y2有最大值；
若a＞0时，当x＝时，函数y2有最大值．
∴a（﹣1）（﹣2）＝
∴a＝
若a＜0时，当x＝，函数y2有最大值．
∴a（﹣1）（﹣2）＝
∴a＝﹣1
综上所述：a＝﹣或﹣1
14．【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝1；
（2）四边形ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C′（2，3），则CD＝C′D，
取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝3：5或5：3，
则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
15．【解答】解：（1）设A（m，n），
∵AO＝，
∴m2+n2＝5，
∵一次函数y＝2x的图象经过A点，
∴n＝2m，
∴m2+（2m）2＝5，解得m＝±1，
∵A在第一象限，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝1×2＝2；
（2）连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2＝3，
如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝﹣×（﹣）＝；
（3）∵抛物线经过点C（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
又∵a+b+c＝0，
∴b＝a，c＝﹣2a，
∴y＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣a，
∵﹣＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜﹣，
∴当x＝a时，取得最大值4a，
则a a2+a a﹣2a＝4a，
解得a＝﹣3或2（不合题意舍去），
当x＝a+1时，取得最大值4a，
则a（a+1）2+a（a+1）﹣2a＝4a，
解得a＝1或﹣4，
综上所述所求a的值为﹣4或1．
16．【解答】解：（1）∵AB＝2，BC＝3
∴1＜AC＜5
①若AB2＝BC AC，则AC＝
②若BC2＝AB AC，则AC＝
③若AC2＝AB BC＝6，则AC＝
综上所述，满足条件的AC的长为，，．
（2）①证明：∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBC
∴∠ABD＝∠ADB
∴AB＝AD
∵点A在以BC为直径的圆上
∴∠BAC＝90°
∵∠BAC＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠DAC
∴△ABC∽△DCA
∴
∴AC2＝BC DA＝BC AB
∴△ABC为比例三角形
②∵∠BAC＝∠CDA＝90°，AB＝AD
∴BC2＝AB2+AC2，AC2＝AD2+CD2＝AB2+CD2
∵AD∥BC
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝90°
∴BD2＝BC2+CD2＝AB2+AC2+AC2﹣AB2＝2AC2
∴BD＝AC
∴
（3）∵y＝mx2﹣4mx﹣12m＝m（x﹣2）2﹣16m（m＜0）
∴抛物线开口向下，顶点C（2，﹣16m）
∵y＝0时，mx2﹣4mx﹣12m＝0
解得：x1＝﹣2，x2＝6
∴A（﹣2，0），B（6，0），AB＝8
∴AC＝BC＝
∵△ABC是比例三角形
∴AB2＝BC AC或AC2＝AB BC
∴AB＝AC
∴4＝8
解得：m1＝（舍去），m2＝﹣
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4
∵M（x0，y0）在抛物线上
∴y0≤4
设z＝﹣my02﹣40y0+298＝4y02﹣40y0+298＝4（y0﹣5）2﹣2
∴当y0≤4时，z随x的增大而减小
∴y0＝4时，z最小值＝4×（4﹣5）2﹣2＝4×3﹣2＝10
∵n﹣≤z恒成立，即n﹣≤10
∴n的最大值为10+
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