2025年九年级数学中考三轮冲刺训练反比例函数中几何综合问题（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练反比例函数中几何综合问题
一、选择题
1.如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点C（3，4），反比例函数图象交线段AB，射线BC于点E，F，连接EF，则S△BEF的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，点A在双曲线y1＝（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2＝（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．3
5．如图，动点P在函数的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF BE的值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
6．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知：如图，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA＝2OC，直线y＝x+b过点C，并且交对角线OB于点E，交x轴于点D，反比例函数过点E且交AB于点M，交BC于点N，连接MN、OM、ON，若△OMN的面积是，则a、b的值分别为（　　）
A．a＝2，b＝3 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝2
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 　 　．
10．如图，矩形OABC顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交BC、AB于点D、E，连接DE并延长交x轴于点F，连接AC．下列结论：
①DE∥CA；
②S四边形ACDF＝k；
③若BD＝2CD，则AE＝2BE；
④若点E为DF的中点，且S△AEF＝3，则k＝12；
其中正确的有 　 　．（填写所有正确结论的序号）
11．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝　 　；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝　 　；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 　　个．
．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N，若点B的坐标为（4，2），△MON的面积是，则k的值为 　 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 　 　．
三、解答题
14．如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞的解集．
15．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y＝的图象交于M（，4），N（n，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
17．如图，点M、N是反比例函数的图象上的两个动点，过点M作MP⊥y轴、过点N作NQ⊥x轴，分别交反比例函数的图象于点P、Q，连接PN、QM．设点M的横坐标为m（m＞0），点N的横坐标为n（n＜0）．
（1）若m＝3，求MP的长；
（2）若MP＝NQ，求mn的值；
（3）①求△MNP的面积（用含m、n的代数式表示）；
②点P、Q到直线MN的距离是否相等？并说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，△AOB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，OB＝4，反比例函数y过AB的中点C，交OA于点E．
（1）求k的值；
（2）以O为圆心OE为半径作圆，⊙O与y的图象的另一个分支交于点D、F．求图中阴影部分面积．
20．如图，反比例函数y（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA＝2，OC＝4，连接OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．
（1）填空：
①点B坐标为　 　；
②S1　 S2（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）当S1+S2＝2时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．
参考答案
一、选择题
1.【解答】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H，
∵点A在函数y＝﹣图象上，点B在反比例函数y＝图象上，
∴S△AGO＝，S△BOH＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，
∴△AGO∽△OHB，
∴，
∴．
故选：A．
2．【解答】解：∵C（3，4），
∴OC＝BC＝＝5，
∴B（8，4），
在反比例函数y＝中，当y＝4时，x＝2，
F（2，4），
BF＝8﹣2＝6．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，A（5，0）、B（8，4）在直线上，
，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
联立方程组，解得，，
∴E（6，），
∴S△BEF＝＝8．
故选：C．
3．【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D．
由题意，设A（a，）（a＞0），
∵AO＝AC，AD⊥OC，
∴OC＝2OD＝2a．
又设直线OA为y＝mx，
∴ma＝．
∴m＝．
∴直线OA为y＝x．
联立，
∴x2＝．
∴x＝±．
∴B（﹣，﹣）．
∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC
＝OC |yB|+OC |yA|
＝×2a（+）
＝k．
又∵S△ABC＝6，
∴k＝6．
∴k＝4．
故选：C．
4．【解答】解：如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H，
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，
∴∠EDO＝＝＝60°，
∴∠EDG＝30°，
∴EG＝ED，GD＝，
设正六边形ABCDEF的边长为a，则E（，），H（a，），
∵点E、H都在反比例函数图象上，
∴，
解得a＝4，
∴H（4，），
∴k＝4．
故选：A．
5．【解答】解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），
∴BN＝1﹣，
在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°，
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∴OB＝OA＝1，
∴NF＝BN＝1﹣，
∴F点的坐标为（1﹣，），
同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），
∴AF2＝（1﹣1+）2+（）2＝，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，
∴AF2 BE2＝ 2a2＝1，即AF BE＝1．
故选：C．
6．【解答】解：过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，
∴△OME∽△OCA，
∴，
设，
∵OE＝2AE，
∴，
∴，
∴，
即，解得：，
故选：D．
7．【解答】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，
设，，
由BC中点为D，AB＝AC，
在等腰三角形ABC中，
∴BD＝DC＝a﹣b，
∴，
∵AC的中点为M，
∴，即，
由M在反比例函数上得，
∴，
解得：b＝﹣3a，
由题可知，AD∥NE，
∴，
故选：B．
8．【解答】解：过点E作EH⊥AO，垂足为H，如图，
∵直线y＝x+b与y轴交于点C，交x轴于点D，
∴点C（0，b），点D（﹣b，0）．
∴OC＝OD＝b．
∵四边形OABC是矩形，OA＝2OC，
∴BC＝OA＝2b，AB＝OC＝b，BC∥OA．
∴△BEC∽△OED．
∴＝＝2．
∴＝3．
∵EH⊥OA，∠COA＝90°，
∴∠EHA＝∠COA＝90°．
∴EH∥OC．
∴△DOC∽△DHE．
∴＝＝＝3．
∴EH＝，DH＝．
∴OH＝OD﹣DH＝b﹣＝．
∴点E的坐标为（﹣，）．
∵点E在反比例函数上，
∴﹣×＝a．
∴2b2＝﹣9a．
∵反比例函数图象交AB于点M，交BC于点N，
∴点M的坐标为（﹣2b，），点N的坐标为（，b）．
∴S△BMN＝BM BN
＝（b﹣）[2b﹣（﹣）]
＝××
＝
＝﹣a．
∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△AMO﹣S△OCN﹣S△BMN
＝2b2﹣（﹣）﹣（﹣）﹣（﹣a）
＝﹣9a+a+a
＝﹣a＝．
解得：a＝﹣2．
∴2b2＝﹣9a＝﹣9×（﹣2）＝18．
∴b＝±3．
∵b＞0，
∴b＝3．
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：点A与B关于直线y＝x对称，
设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，将点A（1，2）坐标代入得，
2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3，
∵点A（1，2）在反比例函数图象上，
∴反比例函数解析式为y＝，
联立方程组，解得或．
∴B（2，1）．
故答案为：（2，1）．
10．【解答】解：设B（m，n），则OA＝BC＝m，OC＝AB＝n，
∵双曲线分别交BC、AB于点D、E，
∴D（，n），E（m，），
∴CD＝，AE＝，
∵，＝＝，
∴，
∴DE∥CA，故①正确；
∵DF∥AC，CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴S四边形ACDF＝CD OC＝k，故②正确；
∵DE∥CA，
∴，
∵BD＝2CD，
∴＝2，
∴BE＝2AE，故③错误；
∵∠B＝∠EAF＝90°，∠BED＝∠AEF，BE＝AE，
∴△BED≌AEF（ASA），
∴AF＝BD，S△BDE＝S△AEF＝3，
∴＝3，
∵CD＝AF，
∴＝3，
∴CD AB＝12，
∴k＝12，故④正确．
故答案为：①②④．
11．【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），
∵L过点T1，
∴k＝﹣16×1＝﹣16，
故答案为：﹣16；
（2）∵L过点T4，
∴k＝﹣10×4＝﹣40，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
当x＝﹣8时，y＝5，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m＝5，
故答案为：5；
（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，
若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，
若曲线L过点T3（﹣12，3），T6（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36，
若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，
∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴﹣36＜k＜﹣28，
∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，
故答案为：7．
12．【解答】解：由题意可知点M的坐标为（4，），点N的坐标为（，2，），则BM＝2﹣，BN＝4﹣，
由反比例函数k值的几何意义可得：S△OCN+S△OAM＝k，
∴S△BMN＝S矩形OABC﹣k﹣，
＝8﹣k﹣，
解得：k＝2．
故答案为：2．
13．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图所示：
∵点A（5，0），B（2，6），BC∥x轴，∠COM＝90°，
∴四边形OMBC为矩形，
∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，
∴AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
∵BD＝2AD，
∴AD：AB＝1：3，
∵BM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴BM∥DN，
∴△ADN∽△ABM，
∴DN：BM＝AN：AM＝AD：AB，
即DN：6＝AN：3＝1：3，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝5﹣1＝4，
∴点D的坐标为（4，2），
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝8，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OCE＝×8＝4，
∵S梯形OABC＝（BC+OA） OC＝×（2+5）×6＝21，S△AOD＝OA DN＝×5×2＝5，
∴S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△AOD＝21﹣4﹣5＝12．
三、解答题
14．【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2），
∵tan∠ACO＝2，
∴＝2，
∴C（﹣1，0），
代入y＝k1x+2得k1＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
过A作AM⊥x轴，如图1．
∴tan∠ACO＝＝2，
∵AM＝4，
∴CM＝2，
∴OM＝1，
∴A（1，4），
代入y＝得k2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝．
（2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N．
联立y＝2x+2和y＝得x2+x﹣2＝0，
∴x＝﹣2或1，
∴B（﹣2，﹣2）．
∴BD＝＝2，
∴DE＝DB＝2，
∴OE＝＝4，
∴E（4，0），
设直线BE解析式为y＝mx+n，
∴，
∴m＝，n＝﹣，
∴直线BE解析式为y＝x﹣，
∴N（1，﹣1），
∴△ABE面积＝（4+1）（4+2）＝15．
（3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞，即2x+2＞．
15．【解答】解：（1）将A（，1）代入到y＝中，
得：1＝，
解得：k＝；
（2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G，
∵A（，1），
∴AG＝1，OG＝，
OA＝＝2，
∴半径为2；
∵AG＝OA，
∴∠AOG＝30°，
由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴圆心角的度数为：60°；
（3）∵OD＝2OG＝2，
∴S菱形AOCD＝AC×OD＝2，
∴S扇形AOC＝×π×r2＝，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO＝＝，
∴S△FBO＝2×＝，
∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC＝+2﹣π＝3﹣．
16．【解答】解：（1）由题意，∵M（，4）在反比例函数y＝上，
∴k＝×4＝2．
∴反比例函数表达式为y＝．
又N（n，1）在反比例函数y＝上，
∴n＝2．
∴N（2，1）．
设一次函数表达式为y＝ax+b，
∴．
∴a＝﹣2，b＝5．
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5．
（2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为y＝﹣2x+5，
∴A（，0），B（0，5）．
∴OA＝，OB＝5．
∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣×AO yN﹣×BO×xM
＝××5﹣××1﹣×5×
＝．
（3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长．
∵M（，4）与M'关于y轴对称，
∴M'为（﹣，4）．
又N（2，1），
∴直线M′N为y＝﹣x+．
令x＝0，则y＝，
∴P（0，）．
17．【解答】解：（1）当m＝3时，
又点M的横坐标为m，M在y＝上，
∴M（3，1）．
又MP⊥y轴，
∴P的纵坐标为1．
又∵P在y＝﹣上，
∴P（﹣2，1）．
∴MP＝3﹣（﹣2）＝5．
（2）由题意，∵点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，M、N都在y＝上，
∴M（m，），N（n，）．
又MP⊥y轴，NQ⊥x轴，
∴P的纵坐标为，Q的横坐标为n．
又∵P、Q都在y＝﹣上，
∴P（﹣，），Q（n，﹣）．
∴MP＝m﹣（﹣m）＝m，NQ＝﹣﹣＝﹣．
又MP＝NQ，
∴＝﹣．
∴mn＝﹣3．
（3）①由题意，根据（2）N（n，），P（﹣，），
∴△MNP的MP边上的高h为：﹣＝．
又∵MP＝m，
∴S△MNP＝MP h＝×m×＝．
②相等．理由如下：
由题意，根据（2）M（m，），Q（n，﹣）．
∴△MNQ的NQ边上的高h'＝m﹣n．
又∵NQ＝﹣，
∴S△MNQ＝NQ h'＝×（m﹣n）×（﹣）＝．
又由①S△MNP＝，
∴S△MNP＝S△MNQ．
∴当MP看作底时，点P、Q到直线MN的距离相等．
18．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA，AB＝OC，
∵tan∠COD＝，
∴设OC＝3x，CD＝4x，
∴OD＝5x＝5，
∴x＝1，
∴OC＝3，CD＝4，
∴D（4，3），
设过点D的反比例函数的解析式为：y＝，
∴k＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵点D是BC的中点，
∴B（8，3），
∴BC＝8，AB＝3，
∵E点在过点D的反比例函数图象上，
∴E（8，），
∴S△DBE＝BD BE＝＝3；
（3）存在，
∵△OPD为直角三角形，
∴当∠OPD＝90°时，PD⊥x轴于P，
∴OP＝4，
∴P（4，0），
当∠ODP＝90°时，
如图，过D作DH⊥x轴于H，
∴OD2＝OH OP，
∴OP＝＝．
∴P（，O），
∴存在点P使△OPD为直角三角形，
∴P（4，0），（，0）．
19．【解答】解：（1）如图，连接OC，过点C作CM⊥OB于点M，
∵△OAB是正三角形，OB＝4，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝2，
∴OCBC＝2，
在Rt△OCM中，∠COM＝30°，OC＝2，
∴OMOC＝3，CMOC，
∴S△COMOM CM|k|，
∵k＞0，
∴k＝3；
（2）由中心对称图形的性质可知，∠DOF＝∠AOC＝30°，OD＝OF＝OC＝2，
∴S扇形ODFπ．
20．【解答】解：（1）①根据长方形OABC中，OA＝2，OC＝4，
则点B坐标为（4，2），
②∵反比例函数（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，
利用△OAD、△OCE的面积分别为S1AD AO，S2 CO EC，xy＝k，得出，
S1AD AOk，S2 CO ECk，
∴S1＝S2；
（2）当S1+S2＝2时，∵S1＝S2，
∴S1＝S2＝1，
∴k＝2，
∵S1AD AOAD×2＝1，
∴AD＝1，
∵S2 CO EC4×EC＝1，
∴EC，
∵OA＝2，OC＝4，
∴BD＝4﹣1＝3，
BE＝2，
∴DO2＝AO2+AD2＝4+1＝5，
DE2＝DB2+BE2＝9，
OE2＝CO2+CE2＝16，
∴D的坐标为（1，2），E的坐标为（4，）
∴DO2+DE2＝OE2，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO2＝5，
∴DO，
∵DE2，
∴DE，
∴△ODE的面积为：DO×DE，
故答案为：（1）①（4，2）；②＝．
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