第二十八章 锐角三角函数 能力提优卷 （含答案）人教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第二十八章 锐角三角函数 能力提优卷 （含答案）人教版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 236.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-30 07:55:43 | ||
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文档简介
第二十八章 锐角三角函数
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为4,3,5,则 ( )
A.5=3sin B B.3=5sin B C.4=3tan B D.3=5tan B
2.如图所示的为一节楼梯的示意图,BC⊥AC,∠BAC=α,AC=6米.现要在楼梯上铺一块地毯,楼梯的宽度为1米,则地毯的面积至少需要 ( )
A.(+6)m2 B.(6tan α+6)m2 C. m2 D. m2
3.如图,在相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°,测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30 m;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50 m,测得山坡DF的坡度i=1∶1.25.若ND=DE,点C,B,E,F在同一水平线上,则两个通信基站的顶端M与顶端N的高度差为(参考数据:≈1.41,≈1.73) ( )
A.9.0 m B.12.8 m C.13.1 m D.22.7 m
4.已知在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,有以下结论:===2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立.在△ABC中,若∠A=75°,∠B=45°,c=4,则△ABC的外接圆面积为 ( )
A. B. C.16π D.64π
5.小明使用测角仪在甲楼底端A处测得塔顶C处的仰角为53°,在甲楼B处测得塔顶C处的仰角为45°,已知AB=4.5米,则塔顶C处距离地面AD的高度为 ( )
(参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
A.13.6米 B.18.1米 C.17.3米 D.16.8米
6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AC和BD的端点都在网格线的交点上.若AC与BD相交于点E,则tan∠AEB的值为 ( )
A. B. C. D.2
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
7.平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1 m,BC边上露出部分BD的长为0.6 m,则铁板BC边被掩埋部分CD的长是 m.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38)
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC边上一点,且AD=BD=5,tan∠CBD=,线段AB的长度是 .
9.如图1所示的是一辆高空作业升降车的工作实景图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为1.6 m.当起重臂AC的长度为18 m,张角∠HAC为130°时,则操作平台C离地面的高度为 m.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
10.如图,在一个坡比为1∶,坡长为20米的小山坡上生长着一棵树(CD).身高1.8米的小明(AB)在山坡上走了12米后抬头看到树的顶端,仰角为45°,则树的高度有 米.
三、解答题(本大题共5小题,共50分)
11.(8分)求下列各式的值:
(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°;
(2)tan 60°-+2cos 30°+1.
12.(10分)如图①,将“欢迎光临”门挂倾斜放置时,测得挂绳的一段AC=30 cm,另一段BC=20 cm.已知两个固定扣之间的距离AB=30 cm.
(1)求点C到AB的距离;
(2)如图②,将该门挂扶“正”(即AC=BC),求∠CAB的度数.
(参考数据:sin 49°≈0.75,cos 41°≈0.75,tan 37°≈0.75,cos 53°≈0.6,tan 53°≈)
13.(10分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E和点D,且BD=2AC.
(1)求∠B的度数;
(2)求tan∠BAC的值.(结果保留根号)
14.(10分)在数学综合实践活动课上,某小组要测量学校升旗台旗杆的高度.如图所示,测得BC∥AD,斜坡AB的长为6 m,坡度i=1∶,在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70°,点B到旗杆底端C的距离为5 m.
(1)求斜坡AB的坡角α的度数.
(2)求旗杆顶端离地面的高度ED.(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,结果精确到1 m)
15.(12分)性质探究
如图1,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为 .
理解运用
如图2,在四边形EFGH中,EF=EG=EH,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=20,求线段MN的长.
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 .(用含α的式子表示)
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6
B B C A B B
1.B 【解析】在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为4,3,5,∴sin B==,即3=5sin B,因此选项A不符合题意,选项B符合题意,tan B==,即3=4tan B,因此选项C,D不符合题意.
2.B 【解析】在Rt△ABC中,∴tan α=,∴BC=AC·tan α=6tan α,∴AC+BC=6+6tan α,∴地毯的面积至少需要1×(6+6tan α)=(6+6tan α)平方米.
3.C 【解析】在Rt△MCB中,∠MCB=60°,CB=30 m,tan∠MCB=,∴MB=CB·tan∠MCB=30×≈51.9,∵山坡DF的坡度i=1∶1.25,EF=50 m,∴DE=40 m,∵ND=DE,∴ND=25 m,∴两个通信基站的顶端M与顶端N的高度差=40+25-51.9=13.1(m).
4.A 【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°,∵=2R,∴2R===,∴R=,∴S=πR2=π=.
5.B 【解析】如图,过点B作BE⊥CD于点E,∵∠CBE=45°,∠CAD=53°,AB=4.5米,∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°,∴四边形ABED是矩形,∴BE=AD,DE=AB=4.5米,设CE=x米,则CD=CE+DE=(x+4.5)米,在Rt△CEB中,BE=CE=x米,在Rt△ADC中,CD=AD·tan 53°,即x+4.5=xtan 53°,∴x≈13.64,∴CE=13.64,∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1(米).
6.B 【解析】如图,设BG与AC交于点F,∵AB=BH=2,BF∥CH,∴BF是△AHC的中位线,∴BF=CH=1.5,AF=FC=AC=2.5,∵BF∥CH,∴△BFE∽△DEC,∴=,设FE=x,则CE=2.5-x,∴=,解得x=1.5,∴BF=FE=1.5,∴∠BEF=∠FBE,∴tan∠AEB=tan∠GBD,在Rt△BGD中,tan∠GBD===,∴tan∠AEB=tan∠GBD=.
二、填空题
7 8 9 10
1.1 4 13.1 (4-2.2)
7.1.1 【解析】在Rt△ABC中,sin A=,∴BC=AB·sin A=2.1sin 54°≈2.1×0.81=1.701,∴CD=BC-BD=1.701-0.6=1.101≈1.1(m).
8.4 【解析】由题意得△BCD为直角三角形,AD=BD=5,tan∠CBD=,设DC=3x,BC=4x,由勾股定理得BD=5x=5,∴x=1,DC=3,BC=4,在Rt△ACB中,AC=AD+DC=5+3=8,BC=4,∴AB===4.
9.13.1 【解析】作CE⊥BD于点E,作AF⊥CE于点G,则四边形AHEG是矩形,∴GE=AH=1.6 m,∠HAG=∠AGC=90°,∵∠HAC=130°,∴∠CAG=∠HAC-∠HAG=40°,在Rt△ACG中,AC=18 m,∠CAG=40°,∵sin∠CAG=,∴CG=ACsin 40°=18sin 40°≈18×0.64=11.52,∴CE=CG+GE=13.12≈13.1(m),则操作平台C离地面的高度为13.1 m.
10.(4-2.2) 【解析】如图,作AQ⊥PF于点Q,AE⊥CF于点E,BH⊥CF于点H,∵山坡PD的坡比为1∶,∴=,设DF=x,则PF=x,在Rt△PDF中,DF2+PF2=PD2=202,即x2+=202,解得x=10,则DF=10,PF=10,设BQ=y,则PQ=y,在Rt△PBQ中,BQ2+PQ2=PB2=122,即y2+=122,解得y=6,则BQ=6,PQ=6,∵四边形BQFH为矩形,∴FH=BQ=6米,BH=QF=PF-PQ=4,∴DH=10-6=4,∵四边形ABHE为矩形,∴EH=AB=1.8米,AE=BH=4,∴DE=4-1.8=2.2,∵小明在山坡的12米处测得大树CD顶端C的仰角为45°,∴CE=AE=4,则CD=CE-DE=(4-2.2)米.
三、解答题
11.解:(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°
=2×+3×-4×1=1+-4=-.(4分)
(2)tan 60°-+2cos 30°+1
=-1+2×+4=-1++4=2+3.(8分)
12.解:(1)过点C作CH⊥AB于点H,如图,设BH=x,则AH=30-x.
∵CH⊥AB,AC=30,BC=20,∴CH2=AC2-AH2=BC2-BH2,
即302-=202-x2,解得x=,
∴CH===(cm).
答:点C到AB的距离为 cm.(4分)
(2)过点C作CH⊥AB于点H,如图.由已知得AC=BC=25.
∵CH⊥AB,∴AH=AB=15,∴cos∠BAC==0.6,∴∠BAC≈53°.(10分)
13.解:如图,连接AD,
∵AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E和点D,∴AD=BD,∠B=∠DAB,
∵BD=2AC,∴AD=2AC,
∵∠C=90°,∴sin∠ADC==,∴∠ADC=30°,
∴∠ADC=∠B+∠DAB,∴∠B=15°.(4分)
(2)设AC=m,则AD=BD=2m,
在Rt△ACD中,CD==m,∴BC=(2+)m,
在Rt△ABC中,tan∠BAC===2+,
∴tan∠BAC=2+.(10分)
14.解:(1)如图,过点B作BF⊥AD于点F,
∵i=tan∠BAF===,∴∠BAF=30°,即α=30°.
答:斜坡AB的坡角α的度数是30°.(4分)
(2)∵∠BAF=30°,AB=6,∴CD=BF=AB=3米,
∵∠EBC=70°,BC=5,∴EC=BCtan∠EBC≈5×2.75≈14(米),
则ED=EC+CD=3+14=17(米).
答:旗杆顶端离地面的高度ED的长约为17米.(10分)
15.解:性质探究
如图,过点C作CD⊥AB于D.
∵CA=CB,∠ACB=120°,CD⊥AB,
∴∠A=∠B=30°,AD=BD,∴AB=2AD=2ACcos 30°=AC,∴AB∶AC=∶1.
故答案为∶1.(3分)
理解运用
如图,连接FH.
∵∠FGH=120°,EF=EG=EH,∴∠EFG=∠EGF,∠EHG=∠EGH,
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH=120°,
∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°,∴∠FEH=360°-120°-120°=120°,
∵EF=EH,∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形,∴FH=EF=20,
∵FM=MG,GN=NH,∴MN=FH=10.(8分)
类比拓展
如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵CA=CB,∠ACB=2α,CD⊥AB,∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=α,
∴AB=2AD=2ACsin α,∴AB∶AC=2sin α∶1.
故答案为2sin α∶1.(12分)
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为4,3,5,则 ( )
A.5=3sin B B.3=5sin B C.4=3tan B D.3=5tan B
2.如图所示的为一节楼梯的示意图,BC⊥AC,∠BAC=α,AC=6米.现要在楼梯上铺一块地毯,楼梯的宽度为1米,则地毯的面积至少需要 ( )
A.(+6)m2 B.(6tan α+6)m2 C. m2 D. m2
3.如图,在相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°,测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30 m;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50 m,测得山坡DF的坡度i=1∶1.25.若ND=DE,点C,B,E,F在同一水平线上,则两个通信基站的顶端M与顶端N的高度差为(参考数据:≈1.41,≈1.73) ( )
A.9.0 m B.12.8 m C.13.1 m D.22.7 m
4.已知在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,有以下结论:===2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立.在△ABC中,若∠A=75°,∠B=45°,c=4,则△ABC的外接圆面积为 ( )
A. B. C.16π D.64π
5.小明使用测角仪在甲楼底端A处测得塔顶C处的仰角为53°,在甲楼B处测得塔顶C处的仰角为45°,已知AB=4.5米,则塔顶C处距离地面AD的高度为 ( )
(参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
A.13.6米 B.18.1米 C.17.3米 D.16.8米
6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AC和BD的端点都在网格线的交点上.若AC与BD相交于点E,则tan∠AEB的值为 ( )
A. B. C. D.2
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
7.平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1 m,BC边上露出部分BD的长为0.6 m,则铁板BC边被掩埋部分CD的长是 m.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38)
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC边上一点,且AD=BD=5,tan∠CBD=,线段AB的长度是 .
9.如图1所示的是一辆高空作业升降车的工作实景图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为1.6 m.当起重臂AC的长度为18 m,张角∠HAC为130°时,则操作平台C离地面的高度为 m.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
10.如图,在一个坡比为1∶,坡长为20米的小山坡上生长着一棵树(CD).身高1.8米的小明(AB)在山坡上走了12米后抬头看到树的顶端,仰角为45°,则树的高度有 米.
三、解答题(本大题共5小题,共50分)
11.(8分)求下列各式的值:
(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°;
(2)tan 60°-+2cos 30°+1.
12.(10分)如图①,将“欢迎光临”门挂倾斜放置时,测得挂绳的一段AC=30 cm,另一段BC=20 cm.已知两个固定扣之间的距离AB=30 cm.
(1)求点C到AB的距离;
(2)如图②,将该门挂扶“正”(即AC=BC),求∠CAB的度数.
(参考数据:sin 49°≈0.75,cos 41°≈0.75,tan 37°≈0.75,cos 53°≈0.6,tan 53°≈)
13.(10分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E和点D,且BD=2AC.
(1)求∠B的度数;
(2)求tan∠BAC的值.(结果保留根号)
14.(10分)在数学综合实践活动课上,某小组要测量学校升旗台旗杆的高度.如图所示,测得BC∥AD,斜坡AB的长为6 m,坡度i=1∶,在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70°,点B到旗杆底端C的距离为5 m.
(1)求斜坡AB的坡角α的度数.
(2)求旗杆顶端离地面的高度ED.(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,结果精确到1 m)
15.(12分)性质探究
如图1,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为 .
理解运用
如图2,在四边形EFGH中,EF=EG=EH,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=20,求线段MN的长.
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 .(用含α的式子表示)
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6
B B C A B B
1.B 【解析】在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为4,3,5,∴sin B==,即3=5sin B,因此选项A不符合题意,选项B符合题意,tan B==,即3=4tan B,因此选项C,D不符合题意.
2.B 【解析】在Rt△ABC中,∴tan α=,∴BC=AC·tan α=6tan α,∴AC+BC=6+6tan α,∴地毯的面积至少需要1×(6+6tan α)=(6+6tan α)平方米.
3.C 【解析】在Rt△MCB中,∠MCB=60°,CB=30 m,tan∠MCB=,∴MB=CB·tan∠MCB=30×≈51.9,∵山坡DF的坡度i=1∶1.25,EF=50 m,∴DE=40 m,∵ND=DE,∴ND=25 m,∴两个通信基站的顶端M与顶端N的高度差=40+25-51.9=13.1(m).
4.A 【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°,∵=2R,∴2R===,∴R=,∴S=πR2=π=.
5.B 【解析】如图,过点B作BE⊥CD于点E,∵∠CBE=45°,∠CAD=53°,AB=4.5米,∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°,∴四边形ABED是矩形,∴BE=AD,DE=AB=4.5米,设CE=x米,则CD=CE+DE=(x+4.5)米,在Rt△CEB中,BE=CE=x米,在Rt△ADC中,CD=AD·tan 53°,即x+4.5=xtan 53°,∴x≈13.64,∴CE=13.64,∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1(米).
6.B 【解析】如图,设BG与AC交于点F,∵AB=BH=2,BF∥CH,∴BF是△AHC的中位线,∴BF=CH=1.5,AF=FC=AC=2.5,∵BF∥CH,∴△BFE∽△DEC,∴=,设FE=x,则CE=2.5-x,∴=,解得x=1.5,∴BF=FE=1.5,∴∠BEF=∠FBE,∴tan∠AEB=tan∠GBD,在Rt△BGD中,tan∠GBD===,∴tan∠AEB=tan∠GBD=.
二、填空题
7 8 9 10
1.1 4 13.1 (4-2.2)
7.1.1 【解析】在Rt△ABC中,sin A=,∴BC=AB·sin A=2.1sin 54°≈2.1×0.81=1.701,∴CD=BC-BD=1.701-0.6=1.101≈1.1(m).
8.4 【解析】由题意得△BCD为直角三角形,AD=BD=5,tan∠CBD=,设DC=3x,BC=4x,由勾股定理得BD=5x=5,∴x=1,DC=3,BC=4,在Rt△ACB中,AC=AD+DC=5+3=8,BC=4,∴AB===4.
9.13.1 【解析】作CE⊥BD于点E,作AF⊥CE于点G,则四边形AHEG是矩形,∴GE=AH=1.6 m,∠HAG=∠AGC=90°,∵∠HAC=130°,∴∠CAG=∠HAC-∠HAG=40°,在Rt△ACG中,AC=18 m,∠CAG=40°,∵sin∠CAG=,∴CG=ACsin 40°=18sin 40°≈18×0.64=11.52,∴CE=CG+GE=13.12≈13.1(m),则操作平台C离地面的高度为13.1 m.
10.(4-2.2) 【解析】如图,作AQ⊥PF于点Q,AE⊥CF于点E,BH⊥CF于点H,∵山坡PD的坡比为1∶,∴=,设DF=x,则PF=x,在Rt△PDF中,DF2+PF2=PD2=202,即x2+=202,解得x=10,则DF=10,PF=10,设BQ=y,则PQ=y,在Rt△PBQ中,BQ2+PQ2=PB2=122,即y2+=122,解得y=6,则BQ=6,PQ=6,∵四边形BQFH为矩形,∴FH=BQ=6米,BH=QF=PF-PQ=4,∴DH=10-6=4,∵四边形ABHE为矩形,∴EH=AB=1.8米,AE=BH=4,∴DE=4-1.8=2.2,∵小明在山坡的12米处测得大树CD顶端C的仰角为45°,∴CE=AE=4,则CD=CE-DE=(4-2.2)米.
三、解答题
11.解:(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°
=2×+3×-4×1=1+-4=-.(4分)
(2)tan 60°-+2cos 30°+1
=-1+2×+4=-1++4=2+3.(8分)
12.解:(1)过点C作CH⊥AB于点H,如图,设BH=x,则AH=30-x.
∵CH⊥AB,AC=30,BC=20,∴CH2=AC2-AH2=BC2-BH2,
即302-=202-x2,解得x=,
∴CH===(cm).
答:点C到AB的距离为 cm.(4分)
(2)过点C作CH⊥AB于点H,如图.由已知得AC=BC=25.
∵CH⊥AB,∴AH=AB=15,∴cos∠BAC==0.6,∴∠BAC≈53°.(10分)
13.解:如图,连接AD,
∵AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E和点D,∴AD=BD,∠B=∠DAB,
∵BD=2AC,∴AD=2AC,
∵∠C=90°,∴sin∠ADC==,∴∠ADC=30°,
∴∠ADC=∠B+∠DAB,∴∠B=15°.(4分)
(2)设AC=m,则AD=BD=2m,
在Rt△ACD中,CD==m,∴BC=(2+)m,
在Rt△ABC中,tan∠BAC===2+,
∴tan∠BAC=2+.(10分)
14.解:(1)如图,过点B作BF⊥AD于点F,
∵i=tan∠BAF===,∴∠BAF=30°,即α=30°.
答:斜坡AB的坡角α的度数是30°.(4分)
(2)∵∠BAF=30°,AB=6,∴CD=BF=AB=3米,
∵∠EBC=70°,BC=5,∴EC=BCtan∠EBC≈5×2.75≈14(米),
则ED=EC+CD=3+14=17(米).
答:旗杆顶端离地面的高度ED的长约为17米.(10分)
15.解:性质探究
如图,过点C作CD⊥AB于D.
∵CA=CB,∠ACB=120°,CD⊥AB,
∴∠A=∠B=30°,AD=BD,∴AB=2AD=2ACcos 30°=AC,∴AB∶AC=∶1.
故答案为∶1.(3分)
理解运用
如图,连接FH.
∵∠FGH=120°,EF=EG=EH,∴∠EFG=∠EGF,∠EHG=∠EGH,
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH=120°,
∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°,∴∠FEH=360°-120°-120°=120°,
∵EF=EH,∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形,∴FH=EF=20,
∵FM=MG,GN=NH,∴MN=FH=10.(8分)
类比拓展
如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵CA=CB,∠ACB=2α,CD⊥AB,∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=α,
∴AB=2AD=2ACsin α,∴AB∶AC=2sin α∶1.
故答案为2sin α∶1.(12分)