第二十一章 一元二次方程 能力提优卷 （含答案）人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程
时间:60分钟满分:100分
一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
1.在下列方程中,有一个方程有两个实数根,且它们互为相反数,这个方程是 ( )
A.x-1=0 B.x2+x=0 C.x2-1=0 D.x2+1=0
2.如图,在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为1800平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为 ( )
A.(54-x) (38-x) =1800 B.(54-x) (38-x) +x2=1800
C.54×38-54x-38x=1800 D.54x+38x=1800
3.某快递公司推出无接触配送服务,第1周接到5万件订单,第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍,若第3周接到订单7.8万件,设第1周到第2周的订单量增长率为x,则可列方程为 ( )
A.5(1+x+1.5x)=7.8 B.5(1+x·1.5x)=7.8
C.7.8(1-x) (1-1.5x) =5 D.5(1+x) (1+1.5x) =7.8
4.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》,是晋商数学家王文素的数学著作.书中研究了一元高次方程的数值解法,内容详实可贵,代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题“门厅一座,高广难知.长竿横进,门狭四尺.竖进过去,竿长二尺,两阴斜进,恰好方齐.”大意是:现在有一座门,不知道宽度和高度,如果拿支长竹竿横着过,门的宽度比竹竿的长度少四尺,拿竹竿竖着过,竹竿的长度比门的高度多二尺.沿对角线斜着进,恰好通过.则门的高 （ ）
A.5尺 B.6尺 C.8尺 D.10尺
5.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x+1=0没有实数根,则k的取值范围是 ( )
A .k<2 B .k<2且k≠1 C .k>2 D .k≥2
6.若实数x满足方程(x2+2x)·(x2+2x-2)-8=0,则x2+2x的值为 ( )
A.-2或4 B.4 C.-2 D.2或-4
7.关于x的方程(x-3)(x-2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是 ( )
A.两个正根 B.两个负根
C.一个正根,一个负根 D.根的符号与p的值有关
8.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是 (　　)
A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
9.将3x2-2x-2=0配方成(x +m)2=n的形式,则n=　　 .
10.已知a ,b是关于x的一元二次方程x2-2x-2023=0的两个实数根,则ab +a +b的值为　 .
11.一次排球邀请赛中,每两个队之间都要比一场,赛程计划安排9天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛,则可列一元二次方程为　　 .(用一般式表示)
12. 等腰三角形三边长分别为a,b,3,且a, b是关于x的一元二次方程x2-8x-1+m=0的两根,则m的值为　 .
三、解答题(本大题共6小题,共52分)
13.(6分)解方程:
(1)x2-6x-4=0;(2)3x(x-2) =2x-4.
14.(8分)数学课上,李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容,丽丽同学看错了第②题※中的数,求得①的一个解x=2;想想同学看错了第①题■中的数,求得②的一个解x=3.
(1)请写出老师布置的作业① ;② ;
(2)请解答老师布置的第②题作业.
15.(8分)2022年年底某市提出了确保到2024年年底实现全市生活垃圾利用率达到35%的目标.
(1)已知截至2022年年底该市生活垃圾利用率只有28%,要实现这个目标,从2023年起该市生活垃圾利用率的年平均增长率应达到多少 (参考数据:≈2.2)
(2)若照(1)的速度增长,2026年年底该市生活垃圾利用率可否超过40% 请说明理由.
16.(8分)某一皮衣专卖店销售某款皮衣,其进价为每件750元,经市场调查发现,按每件1100元出售,平均每天可售出30件,每件降价50元,平均每天的销售量可增加10件,皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元,则每件皮衣定价为多少元
(1)以下是小明和小红的两种不同设法,请帮忙填完整:
小明:设每件皮衣降价x元,由题意,可列方程为　 .
小红:设每件皮衣定价为y元,由题意,可列方程为　 .
(2)请写出一种完整的解答过程.
17.(10分)已知关于x的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)当a取最大整数值时,△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0,求△ABC的周长.
18.(12分)近年来,扬州市委组织部借助网红直播基地,积极探索党建引领乡村振兴的新模式.某电商在某销售平台对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售,如果按每千克40元销售,每天可卖出200千克.通过市场调查发现,如果“阳光玫瑰”售价每千克降低1元,日销售量将增加20千克.
(1)若每千克售价为36元,每天可卖出　 千克.
(2)若日利润保持不变,每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元
(3)小明的线下水果店也销售同款葡萄,标价为每千克50元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(2)中的售价,则该商品至少需打几折销售
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D C C B D D
1.C　【解析】A、x-1=0是一次方程,方程有一个实数根;B、∵一次项的系数为1,故选项不合题意;C、∵Δ=0-4×1×(-1)=4>0,且一次项系数为0,故此选项符合题意;D、∵Δ=0-4×1×1=-4<0,故此选项不合题意.
2.A　【解析】设道路的宽为x米,则种植草坪的部分可合成长为(54-x)米,宽为(38-x)米的矩形,依题意得(54-x)(38-x)=1800.
3.D　【解析】设第1周到第2周的订单增长率为x,根据题意得5(1+x)(1+1.5x)=7.8.
4.C　【解析】设竹竿的长度为x尺,则门宽(x-4)尺,门高(x-2)尺,依题意得(x-4)2+(x-2)2=x2,整理得x2-12x+20=0,解得x1=2(不合题意,舍去),x2=10,∴x-2=10-2=8,∴门的高度是8尺.
5.C　【解析】∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x+1=0没有实数根,∴Δ<0且k-1≠0,即Δ=4-4(k-1)<0且k≠1,∴k>2.
6.B　【解析】设x2+2x=y,则原方程化为y(y-2)-8=0,解得y=4或-2,当y=4时,x2+2x=4,此时方程有解;当y=-2时,x2+2x=-2,此时方程无解,舍去,所以x2+2x=4.
7.D　【解析】∵关于x的方程(x-3)(x-2)=p2(p为常数),∴x2-5x+6-p2=0,根据根与系数的关系,方程的两个根的积为6-p2,∴根的符号与p的值有关.
8.D　【解析】∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,∴,∴b=a+1或b=-(a+1).当b=a+1时,有a-b+1=0,此时-1是方程x2+bx+a=0的根;当b=-(a+1)时,有a+b+1=0,此时1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0,∴a+1≠-(a+1),∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根.
二、填空题
9 10 11 12
-2021 x2-x-72=0 16或17
9.　【解析】∵3x2-2x-2=0,∴x2-x-=0,∴x2-x+=+,∴n= .
10.-2021　【解析】根据题意知a +b=2,ab=-2023,则ab +a +b=ab+(a +b)=-2023+2=-2021.
11.x2-x-72=0　【解析】依题意,得x(x-1)=9×4,即x2-x-72=0.
12.16或17　【解析】当a=3或b=3时,把x=3代入方程x2-8x-1+m=0得9-24-1+m=0,解得m=16,此时方程为x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5;当a=b时,Δ=82-4(-1+m)=0,解得m=17,此时方程为x2-8x+16=0,解得x1=x2=4;综上所述,m的值为16或17.
三、解答题
13.解:(1)x2-6x-4=0,
x2-6x=4,
x2-6x+9=4+9,即(x-3)2=13,(1分)
∴x-3=±,
∴x1=3+,x2=3-;(3分)
(2)3x(x-2)=2x-4,
3x(x-2)=2(x-2),
3x(x-2)-2(x-2)=0,(4分)
∴(3x-2)(x-2)=0,(5分)
∴x1=,x2=2.(6分)
14.解:(1)①(x-1)2-1=0;(2分)
②x2-7x+12=0;(4分)
(2)x2-7x+12=0,(x-3)(x-4)=0,(6分)
∴x-3=0 或者 x-4=0,
解得x1=3,x2=4.(8分)
15.解:(1)设从2023年起该市生活垃圾利用率的年平均增长率应达到x,
根据题意得28%(1+x)2=35%,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去),
答:从2023年起该市生活垃圾利用率的年平均增长率应达到10%.(5分)
(2)35%×(1+10%)2=35%×1.12=42.35%>40%,
∴照(1)的速度增长,2026年年底该市生活垃圾利用率能超过40%.(8分)
16.解:(1)(1100-x-750)(30+x÷50×10)=12000;(2分)
(y-750)(30+ ×10)=12000.(4分)
(2)选择小明的设法,则(1100-x-750)(30+x÷50×10)=12000,
整理,得x2-200x+7500=0,(5分)
解得x1=50,x2=150,
∴1100-x=1050或950.(7分)
答:每件皮衣定价为1050元或950元.(8分)
选择小红的设法,则(y-750)(30+ ×10)=12000,
整理,得y2-2000y+997500=0,(5分)
解得y1=1050,y2=950.(7分)
答:每件皮衣定价为1050元或950元.(8分)
17.解:(1)∵关于x的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0有两个不相等的实数根,
∴,
解得a<且a≠3.(5分)
(2)由(1)得a的最大整数值为4,
∴x2-4x+3=0,解得x1=1 ,x2=3.(6分)
∵△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0,
∴①三边都为1,则△ABC的周长为3;(7分)
②三边都为3,则△ABC的周长为9;(8分)
③三边为1,1,3,因为1+1<3,此情况不存在;(9分)
④三边为1,3,3,则△ABC的周长为7.(10分)
18.解:(1)答案:280.(2分)
200+20×(40-36)=200+20×4=200+80=280(千克),∴若每千克售价为36元,每天可卖出280千克.
(2)设每千克“阳光玫瑰”售价降低x元,则每千克的销售利润为(40-x-20)元,日销售量为(200+20x)千克,
根据题意得(40-x-20)(200+20x)=(40-20)×200,整理得x2-10x=0,解得x1=0(不符合题意,舍去),x2=10.
答:若日利润保持不变,每千克“阳光玫瑰”售价可降低10元.(7分)
(3)设该商品打y折销售,根据题意得50×≤40-10,
解得y≤6,∴y的最大值为6.
答:该商品至少需打六折销售.(12分)