期中真题专项复习04 解答题（含答案）--2024-2025学年八年级数学下册（湘教版）

2024-2025学年八年级数学下册（湘教版）
期中真题专项复习04 解答题
一、解答题
1．（2024八下·长沙期中）如图所示，以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，请说明：四边形ADEF为平行四边形．
2．（2024八下·长沙期中）如图1，在长方形纸片ABCD中，．E为BC上一点，将长方形纸片ABCD沿直线AE折叠，使点落在AD边上，记为点，如图2．
（1）当，时，求线段FD的长；
（2）设，，如果再将沿直线EF向右翻折，使点落在FD所在的直线上，记作点．若线段，请根据题意画出图形，并求出相应的值；
（3）设，，将沿直线EF向右翻折后交线段CD于点，连接FH．当时，求，之间的数量关系．
3．（2024八下·长沙期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)直接写出边 AB、AC、BC 的长．
(2)判断△ABC 的形状，并说明理由．
4．（2024八下·赫山期中）如图，在中，，平分，于，若，求的长度．
5．（2024八下·长沙期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．
6．（2024八下·永兴期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在线段上有一点M，且，当P运动多少秒时，四边形的周长最小，并求出点M的坐标．
7．（2024八下·乌鲁木齐期中）如图，每个小正方形的边长都为1
（1）求四边形的面积与周长；
（2）是直角吗？
8．（2024八下·长沙期中）已知如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，连接，；
（1）求直线l的解析式；
（2）求的面积．
9．（2024八下·新宁期中） 如图，走廊上有一梯子(AB)以 的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置到(CD)，使其倾斜角变为( 如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米 (结果保留根号)
10．（2024八下·邵东期中）在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，且，满足，若点沿线段从向以每秒2cm的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒，连接、．
（1）如图1，当 t 为何值时，四边形是菱形？
（2）如图2，将矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，连接，
①求点坐标；
②求四边形的面积．
（3）如图3，点P是对角线上一动点，求的最小值．
11．（2024八下·邵东期中）已知函数y=(12m)x+m+1，求当m为何值时．
(1)y随x的增大而增大
(2)图象经过第一、二、四象限
(3)图象经过第一、三象限
(4)图象与y轴的交点在x轴的上方
12．（2024八下·邵东期中）如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，，求的度数．
13．（2024八下·浏阳期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
14．（2024八下·邵东期中）已知：如图，，，，，，求图形中阴影部分的面积．
15．（2024八下·攸县期中）如图，小芳在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为，小芳朝正前方笔直行走，此时测得塔尖的仰角为，若小芳的眼睛离地面，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗？
16．（2024八下·新宁期中）如图，以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转( 角，得到正方形AEFG， . 作直线BE， 过点F作， 垂足为H， 连接DG.
（1） 如图1， 当( 时，请直接写出DG和FH的数量关系；
（2） 如图2， 当( 时，(1)中的结论是否成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由；
（3）当点E在AD的垂直平分线上时，请直接写出FH 的长度.
17．（2024八下·浏阳期中）如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则菱形的面积为　 　．
18．（2024八下·浏阳期中）如图，在中，，为边上一点，以，为邻边作平行四边形，连接、．
（1）求证：≌；
（2）若点是中点，说明四边形是矩形．
19．（2024八下·永兴期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，求对角线？
20．（2024八下·桑植期中）如图，在矩形中，点在边上，且与相交于点，若，，且，求的长．
21．（2024八下·广州期中）如图，在四边形中，，，，，对角线．求四边形的面积．
22．（2024八下·云溪期中）已知：点是的对角线与的交点，，，，求的周长．
23．（2024八下·澧县期中） 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
24．（2024八下·桂林期中）一次函数的图象经过点，．
（1）求函数的表达式．
（2）在该一次函数图象上有一点到轴的距离为，求点的坐标．
25．（2024八下·蓝山期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
26．（2024八下·衡阳期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为．
（1）求A、的坐标；
（2）若点恰好落在直线上，求的面积；
（3）如图2，若恰好与轴平行，且边与线段有交点，设交点为，在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024八下·浏阳期中）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作，与的延长线相交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．
28．（2024八下·长沙期中）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标a，b满足．
（1）求证：四边形ABCD为正方形．
（2）若E点为正方形BC边上的动点，连接AE，过点作，且，连接CF，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
29．（2024八下·长沙期中）在中，，是BC的中点，是AD的中点，过点作交CE的延长线于点．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若，，求CF的长．
30．（2024八下·长沙期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中BC的长度 1米
图2中BD的长度 5.4米
… …
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度；
（2）该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到0.01）.
31．（2024八下·赫山期中）在中，，，求的长度．
32．（2024八下·桂阳期中）一个多边形的内角和是它外角和的3倍，它是几边形？
33．（2024八下·沅江期中）如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长．
34．（2024八下·溆浦期中）如图，矩形中，，，P是上不与A和D重合的一动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F；的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是定值请求出这个定值．
35．（2024八下·长沙期中）如图，四边形ABCD的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求四边形ABCD的面积．
36．（2024八下·岳阳期中）如图，在坐标平面内，正方形的顶点坐标分别为、．
（1）直接写出正方形的边长__________；
（2）求顶点A的坐标．
37．（2024八下·长沙期中）如图，平面直角坐标系中，已知等腰三角形，，点，点，且a，b满足，轴，
（1）求点C的坐标______；
（2）动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，运动时间为t秒，当三角形满足时，求对应t的值；
（3）已知点，且，，D是线段上的动点，，
①当最小时，求点M坐标；
②在第①问的条件下，点T是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，以点A、D、T、为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标．
38．（2024八下·邵东期中）如图，菱形的周长为，．对角线，交于点．求：
（1）这个菱形的对角线长；
（2）菱形的面积．
39．（2024八下·云溪期中）如图，在中，于点，于点，为的中点，若，，求的周长．
40．（2024八下·桑植期中）如图，将一张矩形纸片进行折叠，已知该纸片宽为，长为，折叠时顶点D落在边上的点F处（折痕为）．
（1）求的面积；
（2）求的长．
41．（2024八下·娄底期中）如图：在四边形中，，E，F分别是的中点，且，求的值．
42．（2024八下·桂阳期中）一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形是几边形？
43．（2024八下·岳阳期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接、．求的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
44．（2024八下·岳阳期中）如图，将一块直角三角形纸片沿直线折叠，使落在斜边上，且点C与点E重合．已知两直角边，求的长．
45．（2024八下·西青期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
46．（2024八下·攸县期中）如图，在中，，，，求的面积．
47．（2024八下·吉林期中）如图，在中，，求的长．
48．（2024八下·隆回期中）已知：如图，中，，是高，，．求的长．
49．（2024八下·岳阳期中）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“理正四边形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形”中，一定是“理正四边形”的有 ；②在凸四边形中，且则该四边形 “理正四边形”．（填“是”或“不是”或“有可能是”）
（2）如图1，四边形是面积为1的“理正四边形”，且求的值；
（3）如图2，在平面直角坐标系中第一象限内有动点E，且四边形是“理正四边形”（点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，点D在 y轴正半轴上），在并且， 求的取值范围．
50．（2024八下·沅江期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为秒．
（1）求的长．
（2）斜边上的高是______．
（3）若点在的角平分线上，则的值为______．
（4）在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值．
答案解析部分
1．证明：∵△ABD，△EBC都是等边三角形，∴ AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC，
∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴ ∠ DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA，
∴ ∠ DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，∵ ，
∴ △ DBE≌△ABC（SAS），
∴ DE＝AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴ AC＝AF，
∴ DE＝AF，
同理可证：AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形
由△ABD，△EBC都是等边三角形，易证得△DBE≌△ABC（SAS），则可得DE=AC，又由△ACF是等边三角形，即可得DE=AF，同理可证得AD=EF，即可判定四边形ADEF是平行四边形．
2．（1）解：由折叠的性质可得，
，．
（2）解：若点落在线段FD上时，如图1所示，
由折叠的性质可得：，
，，
，，
解得：；
若点落在线段FD的延长线上时，如图2所示，
由折叠的性质可得：，
，，
，
，
解得：，
综上：或．
（3）解：如图3所示，
由题意可知：，，
，
，，
，
整理可得：．
（1）利用折叠的性质可得，再利用线段的和差求出FD的长即可；
（2）分类讨论：①若点落在线段FD上时，②若点落在线段FD的延长线上时，再分别画出图形并列出方程求解即可；
（3）先求出，，再结合可得，最后求出即可.
3．解：(1)AB＝，AC＝=，BC＝；
(2)△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AB＝AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形
(1)利用勾股定理进行求解即可得到结论；
(2)根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论．
4．
5．（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，
，，，
又，
（2）证明：，，，
，，
四边形DEBF是平行四边形．
（1）四边形ABCD为平行四边形，
，，
，
∵，
（1）利用平行四边形的性质可得，，再结合，利用“SAS”证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，，再证出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法分析求解即可.
6．（1）；
（2）存在，时，；时，，时，；
（3），．
7．（1），
（2）是，理由如下
8．（1）；
（2）
9．解： ∵AB=CD=4， ∠ABO=45°，
∵∠CDO=60°，
∴∠DCO=30°，
则
答：行走的通道拓宽了 米.
先利用等腰直角三角形的性质求出OB的长，再根据含30度角的直角三角形求得DO，从而可以利用BD=BO-DO，求出BD.
10．（1）当 t =，四边形 是菱形
（2）① ；②
（3）
11．(1) m<；(2) m>；(3) ；(4) m>l
12．
13．（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形
（2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为：
由（1）可得：四边形AFBD为平行四边形；
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝＝BD，
∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD；
∴四边形AFBD为菱形．
(1)先利用AAS证明△AFE≌△DCE，再利用全等三角形的性质得出AF＝CD，结合D是BC的中点，说明AF=BD，再结合AF∥BC，依据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）通过说明一组邻边相等的平行四边形是菱形来证明.
14．
15．这个电视塔塔尖离地面的高度为米．
16．（1）解： DG=2FH
理由： ∵正方形ABCD逆时针旋转60°得到正方形AEFG，
∴AB=AE=AD=AG=EF ， ∠BAE=∠DAG=60°， ∠AEF=90°，
∴△BAE， △DAG都是等边三角形，
∴DG=AG=EF， ∠AEB=60°，
∴∠FEH=180°-∠AEF-∠AEB=30°，
又FH⊥BE，∴EF=2FH，∴DG=2FH；
（2）解：(1)中结论成立，
理由： 过A作AM⊥BE于M，
由 (1) 知： AE=AB，
∴BE=2ME，
∵AB=AD， ∠BAE=∠DAG=α， AE=AG，
∴△ABE≌△ADG，
∴BE=DG=2ME，
∴AM⊥BE， ∠AEF=90°，
∴∠MAE+∠AEM=90°， ∠FEH+∠AEM =90°，
∴∠MAE=∠FEH，
∵∠AME=∠EHF=90°， AE=EF，
∴△AME≌△EHF，
∴ME=HF，∴DG=2FH；
（3）解： ①当点E在AD下方时，
如图， 过点 E作EN⊥AB于N，
∵点E在AD的垂直平分线上，
由 (2) 知：
②当点E在AD上方时，
如图， 过点E作EN⊥AB延长线于N，
同理：NE=1， AN= ， ∴BN=AB+AN=2+ ，
由 (2) 知：
综上，FH的长度为 或 .
（1）先利用旋转的性质说明△BAE， △DAG都是等边三角形，再利用等边三角形的性质说明 ∠AEB=60°，然后三角形的内角和定理求得∠FEH，结合FH⊥BE，可说明DG=2FH；
（2）先假设结论成立，再证明.过A作AM⊥BE于M，利用等腰三角形三线合一，说明BE=2ME，进而可证明△ABE≌△ADG，利用全等三角形的性质说明BE=DG=2ME，再利用同角的余角相等说明∠MAE=∠FEH，然后证明△AME≌△EHF，利用全等三角形的性质来说明DG=2FH；
(3)分“点E在AD下方”“点E在AD上方”两种情况，分别利用勾股定理计算求解.
17．（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）
解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
故答案为：．
（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形；
（2）先利用含30°角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出OC的长，再求出对角线BD和AC的长，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
18．（1）证明：四边形是平行四边形已知，
，平行四边形的对边平行且相等；
两直线平行，同位角相等；
又已知，
等量代换，等边对等角，
等量代换；
在和中，
，
≌；
（2）证明：四边形是平行四边形已知，
，平行四边形的对边平行且相等，
，
点是中点，
，
等量代换，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
在中，，，
等腰三角形的“三线合一”性质，
，
四边形是矩形．
（1）利用平行四边形的性质及等量代换求出，再利用“SAS”证出≌即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是矩形．
19．菱形的对角线
20．
21．84
22．
23．（1）解：四边形是菱形，
理由： ，平分，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
四边形是菱形
（2）解：平分，，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的长为．
（1）四边形是菱形，理由：证明（AAS），可得AD=BC，利用一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形，由AB=BC，根据菱形的判定定理即证；
（2）由角平分线的定义可得，结合菱形的性质可证是等边三角形，可得，易求∠E=30°，利用直角三角形的性质可得，根据勾股定理求出DE即可.
24．（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，
∴设一次函数的表达式为，把点，代入中，得：，
解得：，
∴函数的表达式为；
（2）解：∵函数的表达式为，该一次函数图象上有一点到轴的距离为，
∴当纵坐标为时，，
解得：，
∴此时点的坐标为；
当纵坐标为时，，
解得：，
∴此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或
（1）设一次函数的表达式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数表达式即可求出答案.
（2）一次函数图象上到轴的距离为，分“纵坐标为”和“纵坐标为”两种情况讨论，代入表达式求出点的坐标即可．
25．70°．
26．（1）
（2）的面积为15或60
（3）存在，点的坐标为或或或
27．（1）证明：为的中点，为中点，
，，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：当满足条件时，四边形是菱形，理由为：
为的中点，为中点，
，，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形；
，是的中点，
，
四边形为平行四边形，；
四边形为菱形．
（1）先利用平行线的性质可得，，再利用“AAS”证出 ≌，可得AF=CD，再利用等量代换可得AF=BD，再结合，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先证出四边形为平行四边形，再结合，是的中点，证出，即可得到四边形为菱形．
28．（1）证明：，，
，，，
点，，
又四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是正方形．
（2）解：恒为45°，理由如下：
如图，在AB上截取AK等于EC，连接EK，
四边形ABCD是正方形，，，
，，，
，
，，
又，，
又，，，
又在正方形ABCD中，
．
（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，可得点D的坐标，再求出，再结合四边形ABCD是矩形，即可得到四边形ABCD是正方形；
（2）在AB上截取AK等于EC，连接EK，先利用“SAS”证出，可得，再结合，利用角的运算求出即可.
29．（1）证明：是BC的中点，是AD的中点，
，，
，，
在和中，
，，
，，四边形ADBF是平行四边形，
，D是BC的中点，，
四边形ADBF是菱形．
（2）解：作交CB的延长线于点，
则，
四边形ADBF是菱形，，
，，
和都是等边三角形，
，，
又，
，
，，
，
，
的长是．
（1）先利用“AAS”证出，可得FA=CD，再证出四边形ADBF是平行四边形，再结合，即可证出四边形ADBF是菱形；
（2）作交CB的延长线于点，则，先证出和都是等边三角形， 可得，， 再利用勾股定理求出，利用线段的和差求出CG的长，最后利用勾股定理求出CF的长即可.
30．（1）解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，
由图2可得，在中，，
，解得，
答：旗杆的高度为14.08米．
（2）解：96厘米米，
（米），（米/秒），（米/秒）．
答：五星红旗升起的速度不小于0.26米/秒且不大于0.29米/秒．
（1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可；
（2）先列出算式求出旗杆滑动的距离，再利用“速度=路程÷时间”求解即可.
31．
32．这个多边形是八边形
33．的长是
34．的值是定值，定值为
35．（1）解：根据勾股定理得，，
，，
故四边形ABCD的周长为．
（2）解：连接BD，
，，，，，
同理可证，
面积为．
（1）先利用勾股定理求出AB、AD、CD和BC的长，最后利用周长公式求解即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出，，再利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
36．（1）5
（2）
37．（1）
（2）或8秒
（3）①；②或或
38．（1），
（2）
39．14
40．（1）
（2）
41．7
42．六边形
43．（1）
（2）①以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒；②
44．
45．36
46．的面积为
47．
48．8
49．（1）菱形；不是
（2）
（3）
50．（1）
（2）
（3）
（4）的值为或或或