期中真题专项复习04 解答题（含答案）--2024-2025学年八年级数学下册（沪科版2024）

2024-2025学年八年级数学下册（沪科版2024）
期中真题专项复习04 解答题
一、解答题
1．（2024八下·濉溪期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
2．（2024八下·霍邱期末）已知关于的一元二次方程有两个不同的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根的差为2，求的值．
3．（2024八下·庐江期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴于点A，交y轴于点B，线段的垂直平分线分别交x轴于点C，交y轴于点D，交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）平面内是否存在点F，使得以B、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的坐标．
4．（2024八下·庐江期末）已知中，，，边上的高，求边的长．
5．（2024八下·合肥月考）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）当时，求的值．
6．（2024八下·萧县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点D在y轴上．已知，，，从C点出发的E点，以每秒2个单位长度的速度向D点移动．M是的中点，的延长线交于F点．
（1）求点B，C的坐标．
（2）当四边形是平行四边形时，求点E的移动时间t．
（3）当为等腰三角形时，直接写出点E的坐标______．
7．（2024七下·全椒期末）已知关于x的方程无实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）判断方程的根的情况．
8．（2024八下·合肥期末）已知关于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3 x1-2x2 =5，求实数m 的值．
9．（2024八下·界首期末）国庆节时，某班一个数学小组，为庆祝祖国华诞，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张， 问这个小组一共有多少人？
10．（2024八下·安庆期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
11．（2024八下·浏阳期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
12．（2024八下·利辛期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推．
，；
，；
，；
…．
根据以上规律，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）求的值．
13．（2024八下·芜湖期末）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
成绩x X＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
人数 1 2 a 8 4
表二
统计量 平均数 中位数 众数
成绩 79.7 b 72
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：
88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a　 　；b　 　；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为　 　；
（3）若成绩在80分及以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
14．（2024八下·霍邱期末）甲，乙两个小区各有户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲小区用气量频数分布表如下：
分组
频数 3 6 10 3
b．乙小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）
c．乙小区用气量的数据在这一组的是：
d．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
小区 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m和n的值；
（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．比较，的大小，并说明理由；
（3）估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数．
15．（2024八下·澧县期中）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
16．（2024八下·霍邱期末）如图，在四边形中，，，，，求的长．
17．（2024八下·庐阳期中）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为．
（1）用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积；
（2）若草坪面积为时，求这时道路宽度．
18．（2024八下·庐阳期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围．
19．（2024八下·庐阳期中）解方程：3x2﹣2x﹣1=0．
20．（2024八下·涡阳期中）已知，
（1）求的值；
（2）若的小数部分为m，的小数部分为n，求的值．
21．（2024八下·庐江期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，已知点是线段上一点，且，求的长．
22．（2024八下·庐江月考）如图，四边形是平行四边形，点，分别为线段，的中点．若，求的度数．
23．（2024八下·池州月考）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
24．（2024八下·池州月考）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接．
（1）若，则的度数是　 　；
（2）连接，则与之间的位置关系是　 　．
25．（2024八下·安徽期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
26．（2024八下·天长月考）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为．
（1）求当t为何值时，四边形是正方形；
（2）求当t为何值时，；
（3）当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．
27．（2024八下·天长月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形网格线的交点上．求的周长及边上的高．
28．（2024八下·合肥期末）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第4个等式：______．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）．
（3）请用（2）中发现的规律计算：．
29．（2024八下·庐江期中）
（1）如图1，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：．
30．（2024八下·庐江期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE平分∠ADB时，判断四边形DEBF是什么特殊的平行四边形，并说明理由．
31．（2024八下·庐江期中）在中，，，，求的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作于，设，用含的式子表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
32．（2024九上·无锡月考）如图，由两个全等的和构成的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程．
（1）直接写出一个勾股方程；
（2）若勾股方程有两个相等的实数根，求的值；
（3）若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是6，求四边形的面积．
33．（2024八下·合肥期中） 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
34．（2024八下·蜀山期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目：
的整数部分是1，故的小数部分是．
（1）的整数部分是______；
（2）设分别是的整数部分和小数部分，则______，______；
（3）在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值．
35．（2024八下·六安期中） 如图，将，的长方形，沿过顶点A的直线为折痕折叠，使顶点B落在边上的点Q处．
（1）求的长；
（2）求的长．
36．（2024八下·岳麓月考）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
37．（2024八下·利辛期中）若是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
38．（2024八下·利辛期中）如图，把长方形沿对折后点落在边的点处，，，求：
（1）的长；
（2）的长．
39．（2024八下·潜山期中） 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
40．（2024八下·潜山期中） 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求∶
（1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；
（2） 的面积；
（3）点C到边的距离．
41．（2024八下·合肥期中） 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．
（1）问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
（2）是否存在这样的时刻，使=8cm2，试说明理由．
42．（2024八下·合肥期中）已知，关于x的方程有两个实数根、．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若、满足，求实数m的值．
43．（2024八下·涡阳期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题：
（1）若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解）
（2）若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解）
44．（2024八下·桐城期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为．
（1）若，则的值为______；
（2）当时，求的值；
（3）当是直角三角形时，求的值．
45．（2024八下·六安期中） 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58的价格出售． 经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．
（1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只． 当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？
46．（2024八下·六安期中） 关于x的方程．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
47．（2024八下·太和期中）若两个二次根式m，n满足； ，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”．
（1）若m与 是关于的“共轭二次根式”，求m的值．
（2）若与 是关于的“共轭二次根式”，求a的值．
48．（2024八下·合肥期中）图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，是直角边为1的直角三角形，以的斜边为直角边，长为1的线段为另一直角边，画第二个直角三角形……依此类推．
（1）第一个直角三角形的斜边长为______．
（2）第n个直角三角形的斜边长为______．
（3）求的值．
答案解析部分
1．（1）米；
（2）米．
2．（1）
（2）
3．（1）
（2）
（3）或或．
4．的长为或．
5．（1）
（2）0
6．（1），
（2）4
（3）或或
7．（1）
（2）当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
8．（1）；（2）6
9．11人
10．（1）；
（2）．
11．解：设水深x尺，芦苇（x+1）尺，
由勾股定理：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，x+1=13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
12．（1）6，
（2）
13．（1）5，81.5；（2）90°（3）九年级一共有180名学生的体质达标
14．（1）、
（2）
（3）190（户）
15．解：如图所示
设旗杆高度为 ，则 ， ， ，
在 中，
解得： ，
答：旗杆的高度为 m．
结合题意，利用勾股定理计算求解即可。
16．
17．（1）温室花房的面积为，小路的面积为
（2）道路的宽度为
18．
19．．
20．（1）13；（2）
21．（1），，
为的平分线，，
，
，四边形是平行四边形，
，平行四边形是菱形．
（2）四边形是菱形，，，
，，，，
在中，，．
（3）如图，在（2）的条件下，
，．
，，
或．
22．
23．（1）A、C两点之间的距离为15cm；
（2）114（cm2）
24．32°；垂直平分（是的垂直平分线）
25．（1）；（2）
26．（1）当时，四边形是正方形；
（2）当时；
（3）
27．周长为；高为
28．（1）
（2）
（3）
29．（1）是等腰三角形，理由如下：
如图，取的中点，连接，，
分别是，的中点，
，分别是，的中位线，
，，
，，，
，
，
是等腰三角形．
（2）如图，连接，取的中点，连接，，
分别是，的中点，
，分别是的中位线，
，
，
，
．
30．（1）证明：四边形是平行四边形，，，
，分别为边，的中点，
，，，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
如图，延长，交于点，
平分，
，
，
，
四边形是矩形．
31．解：
设，则，
由勾股定理得：，，，解得：，，
．
32．（1）
（2）
（3）2
33．（1）解：由题意得：，
∴
解得：，
∴的值为或
（2）解：由题意得：
∴
即：
解得：，
当时，
∴舍去
当时，
∴的值为10.
（1）根据题意可知方程有两个相等的实数根，利用判别式可得关于m的一元二次方程，解方程即可得到答案；
（2）根据题意可知方程的两实数根之积等于 ，利用根与系数的关系得到，即可得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值，进而即可得到答案.
34．（1）5
（2）2；
（3）
35．（1）解：由折叠的性质可知，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴线段的长度是；
（2）解：由（1）可知，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴线段的长度是，
∴线段的长度是．
（1）由折叠的性质可知，即，根据矩形的性质得到，再利用勾股定理即可求出线段的长度；
（2）由（1）求出，设，则，即，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程求得，即线段的长度是，进而即可求出线段的长度.
36．解：设AE=x，则BE=25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE=CE，
所以：102+x2=152+（25﹣x）2，
解得：x=15km．（6分）
所以，E应建在距A点15km处
根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
37．（1）且
（2）
38．（1）3
（2）
39．（1）解：∵，，
∴，
∴“勾系一元二次方程”为：；
（2）证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）解：当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
⑴、根据勾股定理先求得斜边c的值，然后将a、b、c的值代入“勾系一元二次方程 ”即可写出该勾系一元二次方程。
⑵、证明一元二次方程有实数根，也即证明该方程的根的判别式大于或等于零即可。
⑶、把方程的根代入一元二次方程可得a、b、c间的一个数量关系；根据四边形周长又可得a、b、c间的另一个数量关系；根据上述两关系式，可求得c的值，再加上a、b、c满足勾股定理，进一步得到abd的值，进而求出三角形ABC的面积。
40．（1）解：不是直角三角形，理由如下∶
根据勾股定理知，，，，
，
∴不是直角三角形；
（2）解：
（3）解：设点C到的距离是h．
由（2）知，三角形的面积是，
则，即，
解得，
点C到的距离为；
⑴、把三斜线段利用网格组成直角三角形，利用勾股定理可求其线段长，然后根据勾股定理逆定理判断三角形ABC是否是直角三角形。
⑵、利用割补法将三角形ABC的面积转化为边长为3 的正方形减去周围三个直角三角形面积即可。
41．（1）解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．
则AP=x，QB=2x，∴PB=6﹣x，∴×（6﹣x）2x=8，解得，．
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；
（2）解：设出发x秒时△DPQ的面积等于8cm2．∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=S△DPQ，∴12×6﹣×12x﹣×2x（6﹣x）﹣×6×（12﹣2x）=8，化简整理得：，∵△=36﹣4×28=﹣76＜0，∴原方程无解，∴不存在这样的时刻，使S△PDQ=8cm2．
（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，则AP=x，QB=2x，得到PB=6﹣x，根据△PBQ的面积等于8cm2列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设出发x秒时△DPQ面积等于8cm2，根据题意得到，利用三角形面积公式得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案.
42．（1）
（2）
43．（1）
（2）
44．（1）2或14
（2）
（3）8或
45．（1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）
答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为
件
根据题意得：
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该款棉帽售价为元时，月销售利润达8400元．
（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，销售量为件，根据题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可得到答案.
46．（1）证明：，
∵，
∴，
∵在实数范围内，m无论取何值，都有，即．
∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程，
可得，
解得．
根据方程恒有两个不相等的实数根，即，得到，即在实数范围内，m无论取何值，都有，即，即可得到答案；
（2）将代入方程得到，求解即可得到答案.
47．（1）
（2）
48．（1）
（2）
（3）