考点专题训练（二） 一元二次方程
(时间：100分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．)
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是( C )
A．x－1＝0 B．x3＋x＝3
C．x2＋3x－5＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
2．利用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( D )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
3．(广西百色月考)已知x＝2是一元二次方程x2＋bx－c＝0的解，则－4b＋2c＝( A )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
4．若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为( C )
A．15 B．－15
C．±15 D．－1
5．已知方程(x－2)(3x＋1)＝0，则x－2的值为( D )
A．－ B．0
C．－2 D．－或0
6．(广西百色期中)对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2＋2x－35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：将原方程变形为(x＋1)2＝35＋1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为(x＋1)2；另一方面，它又等于35＋1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔·花拉子米的思路，解方程x2－4x－21＝0时构造的图形及相应正方形面积(阴影部分)S正确的是( C )
)Ｂ )Ｂ
)Ｂ )Ｂ
7．(广西来宾期中)近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( A )
A．23(1－x)2＝18.63
B．18.63(1＋x)2＝23
C．18.63(1－x)2＝23
D．23(1－2x)＝18.63
8．(广西柳州期中)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个负实数根；
③若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2－bx＋a＝0(c≠0)的实数根为－ 和－ ；
④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2－4ac＝(2ax0＋b)2 .
其中正确的个数有( C )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在宽为20 m、长为30 m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551 m2，则修建的路宽应为( A )
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．2.5 m
10．(广西百色期中)若m，n是方程x2＋2x－2 024＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n的值为( D )
A．2 023 B．－2 022
C．2 024 D．2 022
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．已知α，β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝__5__．
12．(广西崇左月考)如图，在用配方法解一元二次方程x2＋6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是(x＋6)、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是__3__．
13．(广西北海模拟)社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640 m2，则道路的宽是__6__m.
14．师徒加工某种零件，加工1个零件，师傅比徒弟少用2.5小时；加工10小时，师傅比徒弟多做9个零件．师徒合做3个零件，需要__2__小时．
15．若关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有实数根，则实数k可取的最小整数值是__－1__.
16．(江西宜春高安一模)已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是__3__．
∵α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－2m－3，α·β＝m2，∴＋＝＝＝－1，∴m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1.
∵一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m＋3)2－4×1×m2＝12m＋9＞0，∴m＞－，∴m＝－1不合题意舍去，∴m＝3.
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)解方程：
(1)x2－6x＋5＝0；
(2)x(x－4)＋5(x－4)＝0；
(3)3x2－6x－2＝0；
(4)4(x＋3)2－(x－2)2＝0.
(1)x2－6x＋5＝0，
∴(x－5)(x－1)＝0，
∴x－5＝0或x－1＝0，
解得x1＝1，x2＝5；
(2)x(x－4)＋5(x－4)＝0，
∴(x－4)(x＋5)＝0，
∴x－4＝0或x＋5＝0，
解得x1＝－5，x2＝4；
(3)3x2－6x－2＝0，
∴a＝3，b＝－6，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝36＋24＝60，
∴x＝＝＝1±，
解得x1＝1＋，x2＝1－；
(4)4(x＋3)2－(x－2)2＝0，
∴2(x＋3)＝±(x－2)，
∴2x＋6＝x－2或2x＋6＝－x＋2，
解得x1＝－8，x2＝－.
18．(本小题满分12分)已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚(如图)，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为28 m)，另外的边利用学校现有总长55 m的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段AB的取值范围；
(2)若围成的面积为270 m2，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为300 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(1)设线段AB的长为x m，则AD的长为(55－3x＋2)m，
根据题意，得0＜55－3x＋2≤28，解得≤x＜19，∴线段AB的取值范围为≤x＜19；
(2)根据题意列方程，得x(55－3x＋2)＝270，
解得x1＝10，x2＝9；
当x＝10时，55－3x＋2＝27(米)，
当x＝9时，55－3x＋2＝30(米)，而墙长28 m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为270 m2，自行车车棚的长和宽分别为27米，10米；
(3)不能围成面积为300 m2的自行车车棚．理由如下：
根据题意，得x(55－3x＋2)＝300，
整理得x2－19x＋100＝0，
∵Δ＝(－19)2－4×100＝－39＜0，
∴方程无实数根，
∴不能围成面积为300 m2的自行车车棚．
19．(本小题满分19分)某公司先从甲地用9 000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12 000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11 000元．
(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是__160－x__；
(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．
(1)设从乙地购进的商品件数是y，
则200(x＋y)＝11 000＋9 000＋12 000，
解得y＝160－x；
(2)由题意，得－30＝，
解得x＝60或x＝800(不合题意，舍去)，
经检验，x＝60是原分式方程的解，
∴160－x＝100，
答：公司从甲地购进商品80件，从乙地购进商品100件．
20．(本小题满分14分)如果方程x2＋px＋q＝0有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知a，b是方程x2＋15x＋5＝0的两根，则＋＝__43__．
(2)已知a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2－－＝2？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
(1)∵a，b是方程x2＋15x＋5＝0的两根，
∴a＋b＝－15，ab＝5，
∴＋＝＝＝43；
(2)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，
∴a＋b＝－c，ab＝，
∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的解，
∴c2－4·≥0，c2－≥0.
∵c是正数，
∴c3－43≥0，c3≥43，c≥4，
∴正数c的最小值是4.
(3)存在，当k＝－2时，y1y2－－＝2.
由x2－y＋k＝0变形，得y＝x2＋k，
由x－y＝1变形，得y＝x－1，把y＝x－1代入y＝x2＋k并整理，得x2－x＋k＋1＝0，
由题意，可知x1，x2是方程x2－x＋k＋1＝0的两个不相等的实数根，故有
即解得k＝－2.考点专题训练（二） 一元二次方程
(时间：100分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．)
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是( )
A．x－1＝0 B．x3＋x＝3
C．x2＋3x－5＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
2．利用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
3．(广西百色月考)已知x＝2是一元二次方程x2＋bx－c＝0的解，则－4b＋2c＝( )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
4．若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为( )
A．15 B．－15
C．±15 D．－1
5．已知方程(x－2)(3x＋1)＝0，则x－2的值为( )
A．－ B．0
C．－2 D．－或0
6．(广西百色期中)对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2＋2x－35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：将原方程变形为(x＋1)2＝35＋1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为(x＋1)2；另一方面，它又等于35＋1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔·花拉子米的思路，解方程x2－4x－21＝0时构造的图形及相应正方形面积(阴影部分)S正确的是( )
)Ｂ )Ｂ
)Ｂ )Ｂ
7．(广西来宾期中)近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )
A．23(1－x)2＝18.63
B．18.63(1＋x)2＝23
C．18.63(1－x)2＝23
D．23(1－2x)＝18.63
8．(广西柳州期中)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个负实数根；
③若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2－bx＋a＝0(c≠0)的实数根为－ 和－ ；
④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2－4ac＝(2ax0＋b)2 .
其中正确的个数有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在宽为20 m、长为30 m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551 m2，则修建的路宽应为( )
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．2.5 m
10．(广西百色期中)若m，n是方程x2＋2x－2 024＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n的值为( )
A．2 023 B．－2 022
C．2 024 D．2 022
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．已知α，β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝__ __．
12．(广西崇左月考)如图，在用配方法解一元二次方程x2＋6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是(x＋6)、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是__ __．
13．(广西北海模拟)社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640 m2，则道路的宽是__ __m.
14．师徒加工某种零件，加工1个零件，师傅比徒弟少用2.5小时；加工10小时，师傅比徒弟多做9个零件．师徒合做3个零件，需要__ __小时．
15．若关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有实数根，则实数k可取的最小整数值是__ __.
16．(江西宜春高安一模)已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是__ __．
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)解方程：
(1)x2－6x＋5＝0；
(2)x(x－4)＋5(x－4)＝0；
(3)3x2－6x－2＝0；
(4)4(x＋3)2－(x－2)2＝0.
18．(本小题满分12分)已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚(如图)，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为28 m)，另外的边利用学校现有总长55 m的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段AB的取值范围；
(2)若围成的面积为270 m2，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为300 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
19．(本小题满分19分)某公司先从甲地用9 000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12 000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11 000元．
(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是__ __；
(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．
20．(本小题满分14分)如果方程x2＋px＋q＝0有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知a，b是方程x2＋15x＋5＝0的两根，则＋＝__ __．
(2)已知a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2－－＝2？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
