考点专题训练（三） 勾股定理
(时间：100分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．)
1．如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为41，25，则正方形C的面积是( )
A．4 B．5 C．16 D．66
2．如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，3，CB⊥OB于点B，BC＝2，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值为( )
A． B．－
C． D．－
3．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5 m，树的顶端离树根4 m，则这棵树在折断之前的高度是( )
A．16 m B．18 m
C．22 m D．24 m
4．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．三边之比为1∶∶2
B．三内角之比为3∶4∶5
C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差
D．三边长分别为40，9，41
5．如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6 m，AB＝4 m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是( )
A.8 m B．10 m
C．2 m D．2 m
7．将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出( )
A．直角三角形的面积
B．最大半圆形的面积
C．较小两个半圆形的面积和
D．最大半圆形与直角三角形的面积和
8．如图，已知圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的最小周长为( )
A．10 dm B．15 dm
C．20 dm D．25 dm
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( )
A．4.8 B．6 C．9.6 D．12
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为( )
A．10 B．
C． D．9
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__ __.
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上的一点，且满足DA＝DB＝6.若△DAB的面积为12，则DC的长是__ __．
13．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形(如图1，2)，边长分别为6和2.若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形(如图3)，其面积分别为S1，S2，则S1－S2＝__ __．
14．一个直角三角形的三边分别是6 cm，8 cm，x cm，则这个三角形的面积为__ _ _ __．
15．如图，已知长方形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝10 cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CF的长为__ _ __．
16．定义：若三个正整数a，b，c满足a＜b，a2＋b2＝c2，且c－b＝2，则称(a，b，c)为“偶差”勾股数组．例如：(6，8，10)，(8，15，17)都是“偶差”勾股数组．令m＝a＋b＋c，将m从小到大排列，分别记为m1，m2，m3，…，mn(n为正整数)，则m20的值为__ _ __．
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为 20 cm，求底部边缘A处与E处之间的距离AE的长.
18．(本题满分12分)定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝9，MN＝15，BN＝12，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
19．(本题满分14分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从A移动到B，已知点C是一个海港，且点C与A，B两点的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，A，B两点的距离为AB＝500 km.
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C会受到这次台风的影响吗？请说明理由.
20．(本题满分14分)“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP＋BP的和最小．
请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答.
理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′.
∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上，
∴PB＝__ __，P′B＝__ __(依据__ __)，
∴AP＋PB＝AP＋PB′＝__ __．
在△AP′B′中，∵AB′＜AP′＋P′B′(依据__ __)，
∴AP＋PB＜AP′＋P′B′，即AP＋BP最小．
【归纳总结】
在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线).
由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】
如图④，圆柱形玻璃杯，高为14 cm，底面周长为16 cm，在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短路程．考点专题训练（三） 勾股定理
(时间：100分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．)
1．如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为41，25，则正方形C的面积是( C )
A．4 B．5 C．16 D．66
2．如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，3，CB⊥OB于点B，BC＝2，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值为( A )
A． B．－
C． D．－
3．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5 m，树的顶端离树根4 m，则这棵树在折断之前的高度是( A )
A．16 m B．18 m
C．22 m D．24 m
4．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是( B )
A．三边之比为1∶∶2
B．三内角之比为3∶4∶5
C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差
D．三边长分别为40，9，41
5．如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是( C )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6 m，AB＝4 m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是( B )
A.8 m B．10 m
C．2 m D．2 m
7．将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出( A )
A．直角三角形的面积
B．最大半圆形的面积
C．较小两个半圆形的面积和
D．最大半圆形与直角三角形的面积和
以AC为直径的半圆的面积＝π×＝AC2，
同理：以BC，AB为直径的半圆的面积分别是BC2，AB2，
∴两个月牙形的面积和＝以AC，BC为直径的半圆的面积和＋直角三角形的面积－以AB为直径的半圆的面积，∴两个月牙形的面积和＝AC2＋BC2－AB2＋直角三角形的面积＝(AC2＋BC2－AB2)＋直角三角形的面积．由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
∴两个月牙形的面积和＝直角三角形的面积．
8．如图，已知圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的最小周长为( A )
A．10 dm B．15 dm
C．20 dm D．25 dm
如图，
把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的最小周长为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，∴AB＝4 dm，BC＝BC′＝3 dm，∴AC2＝42＋32＝25，∴AC＝5，∴这圈金属丝的最小周长为2AC＝10 dm.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( C )
A．4.8 B．6 C．9.6 D．12
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，CD＝BD＝BC＝6，
∴AD＝＝8，
∴PC＋PQ＝PB＋PQ＝BQ，
∴BQ取得最小值时，PC＋PQ的值最小．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，如图，
∴S△ABC＝BC·AD＝AC·BQ，
∴BQ＝＝＝9.6，
∴PC＋PQ的最小值是9.6.
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为( A )
A．10 B．
C． D．9
如图1，∵AB＝9，BC＝6，BF＝5，∴BM＝9－3＝6，BN＝5＋3＝8，∴MN＝＝10；如图2，∵AB＝9，BC＝GF＝6，BF＝5，∴PM＝9－3＋3＝9，NP＝5，∴MN＝＝.
∵10＜，∴它需要爬行的最短路程为10.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__等腰直角三角形__.
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上的一点，且满足DA＝DB＝6.若△DAB的面积为12，则DC的长是__2__．
13．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形(如图1，2)，边长分别为6和2.若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形(如图3)，其面积分别为S1，S2，则S1－S2＝__12__．
14．一个直角三角形的三边分别是6 cm，8 cm，x cm，则这个三角形的面积为__24_cm2或6_cm2__．
分两种情况进行讨论：①两直角边分别为6 cm，8 cm，∴S△＝×6×8＝24(cm2)；②一直角边为6 cm，一斜边为8 cm，由勾股定理得x＝＝2(cm)，∴S△＝×6×2＝6(cm2).
15．如图，已知长方形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝10 cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CF的长为__4_cm__．
16．定义：若三个正整数a，b，c满足a＜b，a2＋b2＝c2，且c－b＝2，则称(a，b，c)为“偶差”勾股数组．例如：(6，8，10)，(8，15，17)都是“偶差”勾股数组．令m＝a＋b＋c，将m从小到大排列，分别记为m1，m2，m3，…，mn(n为正整数)，则m20的值为__1_012__．
由题，知a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b).又因为c－b＝2，所以a2＝2(c＋b)＝2(b＋2＋b)＝4b＋4.因为a，b，c为正整数，所以4b＋4为偶数，则a为偶数．当a＝2时，b＝0，不符合题意；当a＝4时，b＝3，不符合题意；当a＝6时，b＝8，c＝10，符合题意，则m1＝6＋8＋10＝24.当a＝8时，b＝15，c＝17，符合题意，则m2＝8＋15＋17＝40，…，依次类推，第n组“偶差”勾股数中的最小数为2(n＋2)；当n＝20时，a＝44，此时b＝483，c＝485，
所以m20＝44＋483＋485＝1 012.
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为 20 cm，求底部边缘A处与E处之间的距离AE的长.
在Rt△BCA中，AB2＝AC2＋BC2＝242＋72＝625(cm2)，∴AB＝25 cm.
在Rt△DEA中，AE2＝AD2－DE2＝252－202＝225(cm2)，∴AE＝15 cm，
答：底部边缘A处与E处之间的距离AE的长为15 cm.
18．(本题满分12分)定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝9，MN＝15，BN＝12，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
(1)是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝92＋122＝225，MN2＝152＝225，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
(2)设BN＝x，则MN＝24－AM－BN＝18－x.
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即(18－x)2＝x2＋36，
解得x＝8；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，
即x2＝36＋(18－x)2，
解得x＝10.
综上所述，BN＝8或BN＝10.
19．(本题满分14分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从A移动到B，已知点C是一个海港，且点C与A，B两点的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，A，B两点的距离为AB＝500 km.
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C会受到这次台风的影响吗？请说明理由.
(1)∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
(2)海港C不受台风的影响．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
即300×400＝500CD，
解得CD＝240.
∵240 km＞200 km.
∴海港C不受台风的影响．
20．(本题满分14分)“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP＋BP的和最小．
请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答.
理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′.
∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上，
∴PB＝__PB′__，P′B＝__P′B′__(依据__轴对称的性质__)，
∴AP＋PB＝AP＋PB′＝__AB′__．
在△AP′B′中，∵AB′＜AP′＋P′B′(依据__三角形三边关系__)，
∴AP＋PB＜AP′＋P′B′，即AP＋BP最小．
【归纳总结】
在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线).
由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】
如图④，圆柱形玻璃杯，高为14 cm，底面周长为16 cm，在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短路程．
理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′.
∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上，
∴PB＝PB′，P′B＝P′B′(依据轴对称的性质)，
∴AP＋PB＝AP＋PB′＝AB′.
在△AP′B′中，
∵AB′＜AP′＋P′B′(依据三角形三边关系)，
∴AP＋PB＜AP′＋P′B′，
即AP＋PB最小；
【模型应用】把图④的半个侧面展开为矩形EFGH，如图，作点A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，作CD⊥EF于D，
∴A′P＝AP，A′E＝AE＝4 cm，DF＝CG＝3 cm.
由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C.
∵EF＝14 cm，∴DE＝EF－DF＝11 cm，
∴A′D＝A′E＋DE＝15 cm.
又∵圆柱形玻璃杯底面周长为16 cm，
∴CD＝8 cm，
∴A′C＝＝17(cm)，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为17 cm.
