章末小结(第17章)
考点1 一元二次方程的识别
1．(广西柳州月考)已知关于x的方程(m＋1)x2＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是__ __.
2．已知方程x3-a＋3x－10＝0和x3b-4＋6x＋8＝0都是关于x的一元二次方程，试求代数式(－)2 023·(＋)2 025的值．
考点2 一元二次方程的解
3．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)有一根为2 023，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＝－5必有一根为( )
A．2 022 B．2 023
C．2 024 D．2 025
4．(广西来宾模拟)已知方程a(x＋m)2＋p＝0的两根为x1＝2，x2＝－3，则方程a(x－3＋m)2＋p＝0的两根为__ __．
5．已知关于x的一元二次方程(k－3)x2＋3x＋k2＋2k－15＝0的一个根为0，求k的值及方程的另一根.
考点3 一元二次方程的解法
6．(广西百色期中)将方程x2＋4x＋5＝0的左边配成完全平方式后，得到的方程是( )
A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝－1
C．(x＋2)2＝－9 D．(x＋2)2＝1
7．设x＝a＋2b，y＝a＋b2＋1，则x和y的大小关系是：x__ __y(填“＞”“≥”“＜”或“≤”).
考点4 一元二次方程根的判别式
8．(广西南宁月考)已知关于x的一元二次方程2x2－(m＋n)x＋mn＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
9．关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是__ __.
10．(广西贺州模拟)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.
(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
考点5 一元二次方程根与系数的关系
11．已知m，n是一元二次方程x2＋x－6＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
12．(广西南宁月考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－m2－m＝0(m＞0).
(1)试判断这个方程根的情况；
(2)若对于m＝1，2，3，…，2 022，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2 022、β2 022，求＋＋＋＋…＋＋的值．
考点6 一元二次方程的应用
13．如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，则该矩形草坪AB边的长是( )
A．6米 B．8米
C．10米 D．6或10米
14．某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
(2)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1 200元，问每件衬衫应降价多少元？
15．根据以下素材，探索完成任务.
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景 学校手工社团小组想把一张长50 cm，宽40 cm的矩形硬纸板，制作成一个高5 cm，容积4 680 cm3的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于32 cm(纸板的厚度忽略不计).
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm(阴影部分)，剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm，横着裁剪y cm(阴影部分)，剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1 判断 方案 请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2 改进 方案 改进方案中，当x＝y时，求x的值．
任务3 探究 方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式．章末小结(第17章)
考点1 一元二次方程的识别
1．(广西柳州月考)已知关于x的方程(m＋1)x2＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是__m≠－1__.
2．已知方程x3-a＋3x－10＝0和x3b-4＋6x＋8＝0都是关于x的一元二次方程，试求代数式(－)2 023·(＋)2 025的值．
根据题意，得3－a＝2，3b－4＝2，
解得a＝1，b＝2，
所以(－)2 023·(＋)2 025
＝(1－)2 023·(1＋)2 025
＝[(1－)(1＋)]2 023·(1＋)2
＝(1－2) 2 023·(1＋)2
＝－(1＋)2
＝－3－2.
考点2 一元二次方程的解
3．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)有一根为2 023，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＝－5必有一根为( A )
A．2 022 B．2 023
C．2 024 D．2 025
由a(x＋1)2＋b(x＋1)＝－5得到a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5＝0，对于一元二次方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5＝0，设t＝x＋1，∴at2＋bt＋5＝0，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)有一根为2 023，∴at2＋bt＋5＝0有一个根为t＝2 023，则x＋1＝2 023，∴x＝2 022.
4．(广西来宾模拟)已知方程a(x＋m)2＋p＝0的两根为x1＝2，x2＝－3，则方程a(x－3＋m)2＋p＝0的两根为__x1＝5，x2＝0__．
5．已知关于x的一元二次方程(k－3)x2＋3x＋k2＋2k－15＝0的一个根为0，求k的值及方程的另一根.
∵关于x的一元二次方程(k－3)x2＋3x＋k2＋2k－15＝0的一个根为0，
∴k2＋2k－15＝0且k－3≠0，
整理，得(k＋5)(k－3)＝0且k－3≠0，
所以k＋5＝0，解得k＝－5.
设方程一根x1＝0，另一根为x2.x1＋x2＝－＝－＝0＋x2，－＝x2，x2＝.
综上所述，k的值是－5，方程的另一根是.
考点3 一元二次方程的解法
6．(广西百色期中)将方程x2＋4x＋5＝0的左边配成完全平方式后，得到的方程是( B )
A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝－1
C．(x＋2)2＝－9 D．(x＋2)2＝1
7．设x＝a＋2b，y＝a＋b2＋1，则x和y的大小关系是：x__≤__y(填“＞”“≥”“＜”或“≤”).
∵x＝a＋2b，y＝a＋b2＋1，∴x－y＝a＋2b－(a＋b2＋1)＝2b－b2－1＝－(b2－2b＋1)＝－(b－1)2≤0，∴x≤y.
考点4 一元二次方程根的判别式
8．(广西南宁月考)已知关于x的一元二次方程2x2－(m＋n)x＋mn＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
由数轴看出m＞0，n＜0，
∵2x2－(m＋n)x＋mn＝0是关于x的一元二次方程，∴Δ＝(m＋n)2－8mn，
∵m＞0，n＜0，∴－8mn＞0，
∴Δ＝(m＋n)2－8mn＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．
9．关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是__0或8__.
∵关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，即m2－8m＝0，解得m＝0或m＝8.
10．(广西贺州模拟)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.
(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
(1)Δ＝(m＋2)2－8m＝(m－2)2≥0，
∵m≠0，∴当m取任何值时，方程总有实数根．
(2)mx2－(m＋2)x＋2＝0，
∴(x－1)(mx－2)＝0，∴x＝1或x＝，
由题意，可知m≠2且m≠0且m≠－1，
由题意，可知m＝1.
考点5 一元二次方程根与系数的关系
11．已知m，n是一元二次方程x2＋x－6＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值等于( B )
A．4 B．5 C．6 D．7
∵m，n是一元二次方程x2＋x－6＝0的两个实数根，∴m＋n＝－1，m2＋m＝6，∴m2＋2m＋n＝m2＋m＋(m＋n)＝6－1＝5.
12．(广西南宁月考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－m2－m＝0(m＞0).
(1)试判断这个方程根的情况；
(2)若对于m＝1，2，3，…，2 022，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2 022、β2 022，求＋＋＋＋…＋＋的值．
(1)由x2＋2x－m2－m＝0(m＞0)，
∴Δ＝4－4×1×(－m2－m)
＝4m2＋4m＋4
＝(2m＋1)2＋3≥3＞0，
∴无论m取何值，x2＋2x－m2－m＝0总有两个不等实数根；
(2)由x2＋2x－m2－m＝0两根为αi，βi，
∴αi＋βi＝－2，αiβi＝－m2－m，
当m＝1时，则α1＋β1＝－2，α1β1＝－2，
故＋＝＝1；
当m＝2时，则α2＋β2＝－2，α2β2＝－6，
故＋＝＝；
当m＝3时，则α3＋β3＝－2，α3β3＝－12，
故＋＝＝；
当m＝4时，则α4＋β4＝－2，α4β4＝－20，
故＋＝＝；
当m＝5时，则α5＋β5＝－2，α5β5＝－30，
故＋＝＝；
当m＝6时，则α6＋β6＝－2，α6β6＝－42，
故＋＝＝；
…
当m＝2 022时，则α2 022＋β20 22＝－2，α2 022β2 022＝－4 090 506，
则＋＝＝，
∴＋＋＋＋…＋＋
＝1＋＋＋＋＋＋…＋
＝2×(＋＋＋＋＋…＋)
＝2×(－＋－＋－＋－＋－＋…＋－)
＝2×(1－)
＝2×
＝.
考点6 一元二次方程的应用
13．如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，则该矩形草坪AB边的长是( C )
A．6米 B．8米
C．10米 D．6或10米
设草坪BC边的长为x米，则宽为，由题意，得x·＝120，解得x1＝12，x2＝20.
∵墙为16米，
∴x＝20不合题意，故x＝12，
∴AB＝(32－12)÷2＝20÷2＝10(米).
14．某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
(2)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1 200元，问每件衬衫应降价多少元？
(1)根据题意，每件衬衫降价4元时，
平均每天的销售量为20＋2×4＝28(件)，
每天销售获利为28×(40－4)＝1 008(元)，
答：平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1 008元．
(2)设每件衬衫应降价x元．
由题意，知(20＋2x)(40－x)＝1 200，
整理，得x2－30x＋200＝0，
解得x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，每件盈利为40－10＝30(元)，30＞25，符合题意；
当x＝20时，每件盈利为40－20＝20(元)，20＜25，不符合题意，舍去；
答：每件衬衫应降价10元．
15．根据以下素材，探索完成任务.
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景 学校手工社团小组想把一张长50 cm，宽40 cm的矩形硬纸板，制作成一个高5 cm，容积4 680 cm3的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于32 cm(纸板的厚度忽略不计).
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm(阴影部分)，剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm，横着裁剪y cm(阴影部分)，剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1 判断 方案 请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2 改进 方案 改进方案中，当x＝y时，求x的值．
任务3 探究 方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式．
任务1：根据题意，得
(50－x－2×5)×(40－2×5)×5＝4 680，
解得x＝8.8，
此时长方体盒子的长为50－8.8－2×5＝31.2(cm)，
∵31.2＜32，
∴初始方案不可行．
任务2：当x＝y时，根据题意，得
(50－x－2×5)×(40－x－2×5)×5＝4 680，
解得x1＝4或x2＝66，
当x1＝4时，盒子的长为50－2×5－4＝36＞32，符合题意；
当x2＝66时，盒子的长为50－2×5－66＝－26＜32，不符合题意，
∴x的值为4；
任务3：根据题意，得
(50－x－2×5)×(40－y－2×5)×5＝4 680，
整理，得y＝30－，
∵纸盒的长不小于32 cm，
∴50－5×2－x≥32，解得x≤8，
∴0≤x≤8，∴y＝30－(0≤x≤8).
