章末小结(第20章)
考点1 频数与频率
1．下列说法正确的是( C )
A．频数是表示所有对象出现的次数
B．频率是表示每个对象出现的次数
C．所有频率之和等于1
D．频数和频率都不能够反映每个对象出现的频率程度
2．(广西钦州期末)大课间活动在某市各校开展，某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据(单位：次)：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188，则跳绳次数在90～100(包含下限、不包含上限)这一组的频数是( B )
A．1 B．2 C．3 D．7
3．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是__0.8__．
类型 健康 亚健康 不健康
数据(人) 32 7 1
考点2 频数分布直方图
4．(广西北海期末)小文同学统计了他所在小区部分居民每天阅读的时间，绘制了直方图．得出了如下结论：①样本中每天阅读的时间没人超过1小时，由此可以断定这个小区的居民每天阅读时间超过1小时的很少；②样本中每天阅读不足20分钟的人数大约占16%；③选取样本的样本容量是60；④估计所有居民每天阅读35分钟以上的人数大约占总居民数的一半左右．其中正确的是( B )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
5．体育老师对九年级(1)班学生“你最喜欢的体育项目是什么(只写一项)”的问题进行了调查，把所得数据绘制成频数分布直方图(如图).由图可知，最喜欢篮球的频率是__0.4__．
九年级(1)班学生最喜欢体育项目的频数分布直方图
考点3 平均数
6．(广西玉林模拟)某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是( B )
A．25立方米 B．30立方米
C．32立方米 D．35立方米
7．(四川南充中考)学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为( B )
A．170分 B．86分 C．85分 D．84分
8．(福建中考)已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3 000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2 000人，数学平均分为80分．
(1)求A地考生的数学平均分；
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明．
(1)由题意，得A地考生的数学平均分为(90×3 000＋80×2 000)＝86(分).
(2)不能．
举例如下：如B地甲类学校有考生1 000人，乙类学校有考生3 000人，则B地考生的数学平均分为(94×1 000＋82×3 000)＝85(分).
因为85＜86，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高(答案不唯一，只要学生能作出正确判断，并且所举的例子能说明其判断即可).
考点4 中位数与众数
9．(广西崇左期末)某校举行“英语单词拼写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数是( A )
A．15，15 B．15，13
C．20，13 D．10，15
10．为响应“双减”政策，老师们都精心设计每天的作业，某学校想调查本校学生每天完成作业所用时间，随机抽取了100名学生，将他们每天完成作业所用时间绘制成如下统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)这100名学生每天完成作业所用时间的众数为__1.5小时__，中位数为__1.5小时__；
(2)求这100名学生每天完成作业所用时间的平均数；
(3)若该校共有学生2 000人，请估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数．
(1)由条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5小时；中位数为＝1.5(小时)；
(2)x＝×(12×0.5＋30×1＋40×1.5＋18×2)＝1.32(小时)，
答：这100名学生每天完成作业所用时间的平均数是1.32小时．
(3)估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数为2 000×＝600(人).
11．(广西玉林期末)某校德育处利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了15名学生的测试成绩，得分用x表示，共分成4组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，对得分进行整理、分析，给出了下面部分信息：
初二的测试成绩在C组中的数据为80，86，88.
初三的测试成绩：76，83，100，88，81，100，82，71，95，90，100，93，89，86，86.
年级 平均数 中位数 最高分 众数
初二 88 a 98 98
初三 88 88 100 b
初二学生成绩频数分布直方图
(1)a＝__86__，b＝__100__；
(2)通过以上数据分析，你认为__初三__(填“初二”或“初三”)学生对防疫知识的掌握更好？请写出一条理由；
(3)若初二、初三共有3 000名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
(1)由直方图可知，初二的测试成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个．∵初二的测试成绩在C组中的数据为80，86，88，∴中位数a＝86.
∵初三的测试成绩中100出现的次数最多，
∴众数b＝100；
(2)根据以上数据，我认为初三对防疫知识的掌握更好．理由：两个年级的平均成绩一样，而初三的中位数、最高分、众数均高于初二，说明初三掌握得更好；]
(3)3 000×＝1 200(人)，
答：此次测试成绩达到90分及以上的约有1 200人．
考点5 方差
12．一组数据a，b，c，d，e，f，g的平均数是m，方差是n，则另一组数据3a－2，3b－2，3c－2，3d－2，3e－2，3f－2，3g－2的平均数和方差分别是( D )
A．m－2，3n－2 B．3m－2，9n2
C．m－2，3n D．3m－2，9n
依题意，＝(a＋b＋c＋d＋e＋f＋g)＝m，∴a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＝7m，∴3a－2，3b－2，3c－2，3d－2，3e－2，3f－2，3g－2的平均数为[(3a－2)＋(3b－2)＋(3c－2)＋(3d－2)＋(3e－2)＋(3f－2)＋(3g－2)]＝×(3×7m－2×7)＝3m－2.∵数据a，b，c，d，e，f，g的方差为n，∴s2＝[(a－m)2＋(b－m)2＋(c－m)2＋(d－m)2＋(e－m)2＋(f－m)2＋(g－m)2]＝n，∴数据3a－2，3b－2，3c－2，3d－2，3e－2，3f－2，3g－2的方差s′2＝[(3a－2－3m＋2)2＋(3b－2－3m＋2)2＋(3c－2－3m＋2)2＋(3d－2－3m＋2)2＋(3e－2－3m＋2)2＋(3f－2－3m＋2)2＋(3g－2－3m＋2)2]＝[(a－m)2＋(b－m)2＋(c－m)2＋(d－m)2＋(e－m)2＋(f－m)2＋(g－m)2]×9＝9n.
13．(广西桂林模拟)中国体操队，是中国体育军团的王牌之师，是目前现役中国运动员中拥有最多奥运冠军的团队，为了发现和培养更多优秀的体操后备人才，某校进行了一次团体操比赛，已知甲、乙两支体操队队员的平均身高相等，均为165 cm，甲队5名队员身高的方差为2，乙队五名队员的身高依次为165 cm，165 cm，163 cm，167 cm，165 cm，那么两队中身高更整齐的是__乙__(填“甲”或“乙”)队．
乙队队员的身高的方差为×[3×(165－165)2＋(163－165)2＋(167－165)2]＝1.6.∵甲队5名队员身高的方差为2，∴乙队队员身高的方差小于甲队，所以两队中身高更整齐的是乙队．
14．甲、乙、丙三个小组各有20人，一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如图：
(1)请计算甲组的平均数和方差；
(2)乙组和丙组平均数和方差如下表：
乙组 丙组
平均数 2.25 1.1
方差 0.987 5 1.39
得分情况最稳定的小组是__乙__组；
(3)对比这三组数据，“柱子的高度”都是1，2，3，6，8，但是它们的排序不同，导致了平均数和方差各不相同，你能否谈谈你的想法，如何排序可以使平均数最大？如何排序可以使方差最小？
(1)根据题意，得
甲组的平均数是＝×(0×1＋1×2＋2×3＋3×6＋4×8)＝2.9，
甲组的方差是s2＝×[(0－2.9)2×1＋(1－2.9)2×2＋(2－2.9)2×3＋(3－2.9)2×6＋(4－2.9)2×8]＝1.39.
(2)∵0.987 5＜1.39，即乙组的方差＜丙组的方差，
∴乙组的得分情况比丙组的得分情况稳定．
(3)∵得高分的人数越多，平均数越大，
∴甲组的排序平均数最大．
∵离平均数数值接近的人数越多，方差越小，
∴乙组的排序方差最小．
15．(广西崇左月考)经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就．随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤返回地球，中国探月工程“绕、落、回”计划完美收官.2021年2月10日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球1.9亿千米外传回新春祝福……开学初，某学校组织首届“航天梦，报国情”航天知识竞赛活动，旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就，提升爱国热情．活动中，七、八年级各200人参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动，从两个年级中各随机抽取20名学生进行测试，并对测试成绩(百分制)进行收集、整理和分析．部分信息如下：
【收集数据】
七年级：66 70 71 78 71 77 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
八年级：61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c
【整理数据】
成绩x/分 七年级成绩 统计情况 八年级成绩 统计情况
频数 频率 频数 频率
50≤x≤59 1 0.05 0 0
60≤x≤69 2 0.10 3 0.15
70≤x≤79 6 0.30
80≤x≤89 m 10 0.50
90≤x≤100 1 0.05 1 0.05
(说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为合格，60分以下为不合格)
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 77.5 79 80
八年级 77.4 n 74
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a＝__81__，m＝__0.45__，n＝__80__；
(2)在此次竞赛中，七年级的小敏和八年级的小强都取得了79分，那么谁的成绩在本年级的排名可能更靠前？请说明理由；
(3)请估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．
(1)∵七年级成绩的平均数为＝77.5，
∴a＝81.
∵七年级同学成绩在80≤x≤89之间的频数为9，
∴m＝＝0.45.
根据统计情况可知，b和c在80≤x≤89分之间，
∵八年级的众数是74，∴b和c不会是80.
将八年级同学成绩从小到大排序，处在中间的两个数都是80，∴n＝80；
(2)∵七年级成绩的中位数是79，八年级成绩的中位数是80，
∴七年级的小敏成绩在本年级的排名更靠前；
(3)∵七年级的成绩为优秀的人数为(0.45＋0.05)×200＝100人，八年级的成绩为优秀的人数为(0.5＋0.05)×200＝110人，
∴七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为100＋110＝210人．章末小结(第20章)
考点1 频数与频率
1．下列说法正确的是( )
A．频数是表示所有对象出现的次数
B．频率是表示每个对象出现的次数
C．所有频率之和等于1
D．频数和频率都不能够反映每个对象出现的频率程度
2．(广西钦州期末)大课间活动在某市各校开展，某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据(单位：次)：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188，则跳绳次数在90～100(包含下限、不包含上限)这一组的频数是( )
A．1 B．2 C．3 D．7
3．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是__ __．
类型 健康 亚健康 不健康
数据(人) 32 7 1
考点2 频数分布直方图
4．(广西北海期末)小文同学统计了他所在小区部分居民每天阅读的时间，绘制了直方图．得出了如下结论：①样本中每天阅读的时间没人超过1小时，由此可以断定这个小区的居民每天阅读时间超过1小时的很少；②样本中每天阅读不足20分钟的人数大约占16%；③选取样本的样本容量是60；④估计所有居民每天阅读35分钟以上的人数大约占总居民数的一半左右．其中正确的是( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
5．体育老师对九年级(1)班学生“你最喜欢的体育项目是什么(只写一项)”的问题进行了调查，把所得数据绘制成频数分布直方图(如图).由图可知，最喜欢篮球的频率是__ __．
九年级(1)班学生最喜欢体育项目的频数分布直方图
考点3 平均数
6．(广西玉林模拟)某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是( )
A．25立方米 B．30立方米
C．32立方米 D．35立方米
7．(四川南充中考)学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为( )
A．170分 B．86分 C．85分 D．84分
8．(福建中考)已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3 000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2 000人，数学平均分为80分．
(1)求A地考生的数学平均分；
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明．
考点4 中位数与众数
9．(广西崇左期末)某校举行“英语单词拼写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数是( )
A．15，15 B．15，13
C．20，13 D．10，15
10．为响应“双减”政策，老师们都精心设计每天的作业，某学校想调查本校学生每天完成作业所用时间，随机抽取了100名学生，将他们每天完成作业所用时间绘制成如下统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)这100名学生每天完成作业所用时间的众数为__ __，中位数为__ __；
(2)求这100名学生每天完成作业所用时间的平均数；
(3)若该校共有学生2 000人，请估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数．
11．(广西玉林期末)某校德育处利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了15名学生的测试成绩，得分用x表示，共分成4组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，对得分进行整理、分析，给出了下面部分信息：
初二的测试成绩在C组中的数据为80，86，88.
初三的测试成绩：76，83，100，88，81，100，82，71，95，90，100，93，89，86，86.
年级 平均数 中位数 最高分 众数
初二 88 a 98 98
初三 88 88 100 b
初二学生成绩频数分布直方图
(1)a＝__ __，b＝__ __；
(2)通过以上数据分析，你认为__ __(填“初二”或“初三”)学生对防疫知识的掌握更好？请写出一条理由；
(3)若初二、初三共有3 000名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
考点5 方差
12．一组数据a，b，c，d，e，f，g的平均数是m，方差是n，则另一组数据3a－2，3b－2，3c－2，3d－2，3e－2，3f－2，3g－2的平均数和方差分别是( )
A．m－2，3n－2 B．3m－2，9n2
C．m－2，3n D．3m－2，9n
13．(广西桂林模拟)中国体操队，是中国体育军团的王牌之师，是目前现役中国运动员中拥有最多奥运冠军的团队，为了发现和培养更多优秀的体操后备人才，某校进行了一次团体操比赛，已知甲、乙两支体操队队员的平均身高相等，均为165 cm，甲队5名队员身高的方差为2，乙队五名队员的身高依次为165 cm，165 cm，163 cm，167 cm，165 cm，那么两队中身高更整齐的是__ __(填“甲”或“乙”)队．
14．甲、乙、丙三个小组各有20人，一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如图：
(1)请计算甲组的平均数和方差；
(2)乙组和丙组平均数和方差如下表：
乙组 丙组
平均数 2.25 1.1
方差 0.987 5 1.39
得分情况最稳定的小组是__ __组；
(3)对比这三组数据，“柱子的高度”都是1，2，3，6，8，但是它们的排序不同，导致了平均数和方差各不相同，你能否谈谈你的想法，如何排序可以使平均数最大？如何排序可以使方差最小？
15．(广西崇左月考)经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就．随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤返回地球，中国探月工程“绕、落、回”计划完美收官.2021年2月10日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球1.9亿千米外传回新春祝福……开学初，某学校组织首届“航天梦，报国情”航天知识竞赛活动，旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就，提升爱国热情．活动中，七、八年级各200人参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动，从两个年级中各随机抽取20名学生进行测试，并对测试成绩(百分制)进行收集、整理和分析．部分信息如下：
【收集数据】
七年级：66 70 71 78 71 77 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
八年级：61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c
【整理数据】
成绩x/分 七年级成绩 统计情况 八年级成绩 统计情况
频数 频率 频数 频率
50≤x≤59 1 0.05 0 0
60≤x≤69 2 0.10 3 0.15
70≤x≤79 6 0.30
80≤x≤89 m 10 0.50
90≤x≤100 1 0.05 1 0.05
(说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为合格，60分以下为不合格)
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 77.5 79 80
八年级 77.4 n 74
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a＝__ __，m＝__ __，n＝__ __；
(2)在此次竞赛中，七年级的小敏和八年级的小强都取得了79分，那么谁的成绩在本年级的排名可能更靠前？请说明理由；
(3)请估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．
