17．1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义
1．下列方程一定是一元二次方程的是( D )
A．3x2＋－1＝0 B．5x2－6y－3＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2－3x＝0
2．(广西柳州期中)已知方程(2－m)x|m|－x＋3＝0，当m＝__－2__时，是关于x的一元二次方程．
知识点2 一元二次方程的一般形式及其相关概念
3．一元二次方程3x2－2x－7＝0的一次项系数是( B )
A．3 B．－2 C．2 D．－7
4．(广西来宾期中)已知关于x的一元二次方程(k－2)x2＋3x＋k2－4＝0的常数项为0，则k的值为( A )
A．－2 B．2
C．2或－2 D．4或－2
知识点3 一元二次方程的解
5．(广西来宾月考)若x＝－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则下列式子成立的是( B )
A．a＋b＋c＝0 B．a－b＋c＝0
C．a＋b－c＝0 D．－a＋b＋c＝0
6．关于x的一元二次方程x2－x＋a－2＝0的一个根是0，则实数a的值为( A )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
7．已知m是一元二次方程x2－x－2＝0的一个根，则－2m2＋2m＋23的值为__19__．
知识点4 建立一元二次方程模型
8．(四川眉山中考)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，设该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为( B )
A．670×(1＋2x)＝780
B．670×(1＋x)2＝780
C．670×(1＋x2)＝780
D．670×(1＋x)＝780
9．(广西中考)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( B )
A．3.2(1－x)2＝3.7 B．3.2(1＋x)2＝3.7
C．3.7(1－x)2＝3.2 D．3.7(1＋x)2＝3.2
易错易混点 误解一元二次方程的定义
10．(广西百色期中)关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，
(1)当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
(2)当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
(1)∵关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0是一元二次方程，
∴k2－1≠0，∴k≠±1，
所以k≠±1时关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0是一元二次方程；
(2)∵关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0是一元一次方程，
∴k2－1＝0且k－1≠0，
∴k＝－1，
∴k＝－1时关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0是一元一次方程．
11．一元二次方程x2＋2x－3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( D )
A．1，2，3 B．0，2，－3
C．0，－2，－3 D．1，2，－3
12．(广西来宾期中)若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则3a＋6b＝( C )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－6
13．(广西百色模拟)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根为－1，则m的值为__－3__．
14．若a，b，c满足 求关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根的平方和．
∵a，b，c满足
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x＝1和x＝－2，
∴12＋(－2)2＝5，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根的平方和是5.
【母题P21习题17.1T1】根据下列问题中的条件，列出关于x的方程，并将其化为标准形式．
(1)一个长方形的长比宽多2，面积是120，求这个长方形的长x；
(2)一个直角三角形的两条直角边之和为7，它的面积为6，求这个三角形的其中一条直角边长x；
(3)某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，求这个小组的同学数x；
(4)一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手10次，求这组同学数x；
(5)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，前侧内墙保留3 m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道，要使蔬菜种植区域的面积为288 m2，求矩形温室的长x.
(1)根据题意，得x(x－2)＝120，
化为一般形式为x2－2x－120＝0；
(2)∵直角三角形的两条直角边长的和为7，一条直角边长为x，则另一条直角边长为7－x.
∵该直角三角形的面积为6，
∴＝6，
化为一般形式为x2－7x＋12＝0；
(3)根据题意，得x(x－1)＝90，
化为一般形式为x2－x－90＝0；
(4)根据题意，得x(x－1)＝2×10，
化为一般形式为x2－x－20＝0；
(5)∵矩形温室的长为x m，则宽为 m，
根据题意，得(－2)·(x－4)＝288，
化为一般形式为x2－8x－560＝0.
【变式1】(四川内江中考)某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是( B )
A．0.64(1＋x)＝0.69
B．0.64(1＋x)2＝0.69
C．0.64(1＋2x)＝0.69
D．0.64(1＋2x)2＝0.69
【变式2】(重庆中考)重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为__200(1＋x)2＝401__.
15．(运算能力)先化简，再求值：(－)· ，其中x是方程x2＋3x－3＝0的根．
原式＝·
＝·
＝
＝.
∵x是方程x2＋3x－3＝0的根，
∴x2＋3x－3＝0，
即x2＋3x＝3，
∴原式＝.17．1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义
1．下列方程一定是一元二次方程的是( )
A．3x2＋－1＝0 B．5x2－6y－3＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2－3x＝0
2．(广西柳州期中)已知方程(2－m)x|m|－x＋3＝0，当m＝__ __时，是关于x的一元二次方程．
知识点2 一元二次方程的一般形式及其相关概念
3．一元二次方程3x2－2x－7＝0的一次项系数是( )
A．3 B．－2 C．2 D．－7
4．(广西来宾期中)已知关于x的一元二次方程(k－2)x2＋3x＋k2－4＝0的常数项为0，则k的值为( )
A．－2 B．2
C．2或－2 D．4或－2
知识点3 一元二次方程的解
5．(广西来宾月考)若x＝－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则下列式子成立的是( )
A．a＋b＋c＝0 B．a－b＋c＝0
C．a＋b－c＝0 D．－a＋b＋c＝0
6．关于x的一元二次方程x2－x＋a－2＝0的一个根是0，则实数a的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
7．已知m是一元二次方程x2－x－2＝0的一个根，则－2m2＋2m＋23的值为__ __．
知识点4 建立一元二次方程模型
8．(四川眉山中考)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，设该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为( )
A．670×(1＋2x)＝780
B．670×(1＋x)2＝780
C．670×(1＋x2)＝780
D．670×(1＋x)＝780
9．(广西中考)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( )
A．3.2(1－x)2＝3.7 B．3.2(1＋x)2＝3.7
C．3.7(1－x)2＝3.2 D．3.7(1＋x)2＝3.2
易错易混点 误解一元二次方程的定义
10．(广西百色期中)关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，
(1)当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
(2)当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
11．一元二次方程x2＋2x－3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．1，2，3 B．0，2，－3
C．0，－2，－3 D．1，2，－3
12．(广西来宾期中)若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则3a＋6b＝( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－6
13．(广西百色模拟)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根为－1，则m的值为__ __．
14．若a，b，c满足 求关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根的平方和．
【母题P21习题17.1T1】根据下列问题中的条件，列出关于x的方程，并将其化为标准形式．
(1)一个长方形的长比宽多2，面积是120，求这个长方形的长x；
(2)一个直角三角形的两条直角边之和为7，它的面积为6，求这个三角形的其中一条直角边长x；
(3)某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，求这个小组的同学数x；
(4)一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手10次，求这组同学数x；
(5)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，前侧内墙保留3 m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道，要使蔬菜种植区域的面积为288 m2，求矩形温室的长x.
【变式1】(四川内江中考)某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是( )
A．0.64(1＋x)＝0.69
B．0.64(1＋x)2＝0.69
C．0.64(1＋2x)＝0.69
D．0.64(1＋2x)2＝0.69
【变式2】(重庆中考)重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为__ __.
15．(运算能力)先化简，再求值：(－)· ，其中x是方程x2＋3x－3＝0的根．
